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8. (2025·工业园区期末)反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$($k$为正整数)在第一象限的图象如图所示,已知图中点$A$的坐标为$(2,1)$,则$k$的值可能是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
第8题图
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
第8题图
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先观察图像，判断点A和反比例函数图像的位置关系：点A(2,1)位于反比例函数图像的上方，说明当x=2时，反比例函数对应的函数值小于点A的纵坐标1。接下来把x=2代入反比例函数表达式，就能得到关于k的不等式，解出k的取值范围后，结合题目给出的“k为正整数”的条件，筛选出符合要求的k值即可。
【解析】
解：由图像可知，点$A(2,1)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图像上方，
因此当$x=2$时，反比例函数的函数值满足：
$\dfrac{k}{2} ＜ 1$
解这个不等式可得：$k ＜ 2$，
已知k是正整数，满足$k＜2$的正整数只有1，因此k的值为1。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题考查反比例函数参数k的取值判断，核心是通过点与图像的位置关系推导k的范围，要注意不要直接将点A代入函数得到k=2的错误结论，结合图像位置和k为正整数的限制即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图像，判断点A和反比例函数图像的位置关系：点A(2,1)位于反比例函数图像的上方，说明当x=2时，反比例函数对应的函数值小于点A的纵坐标1。接下来把x=2代入反比例函数表达式，就能得到关于k的不等式，解出k的取值范围后，结合题目给出的“k为正整数”的条件，筛选出符合要求的k值即可。
【解析】
解：由图像可知，点$A(2,1)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图像上方，
因此当$x=2$时，反比例函数的函数值满足：
$\dfrac{k}{2} ＜ 1$
解这个不等式可得：$k ＜ 2$，
已知k是正整数，满足$k＜2$的正整数只有1，因此k的值为1。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题考查反比例函数参数k的取值判断，核心是通过点与图像的位置关系推导k的范围，要注意不要直接将点A代入函数得到k=2的错误结论，结合图像位置和k为正整数的限制即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.7
9.(2025·新沂月考)已知点$(3,2)$和点$(-1,a)$都在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,则$a$的值为
$-6$
.答案
9.$-6$
解析
【分析】
这道题的解题思路非常清晰：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中仅含一个未知参数k，我们可以先利用坐标完全已知的点$(3,2)$，通过待定系数法求出k的取值，确定完整的反比例函数解析式，之后再将含参数a的点$(-1,a)$代入已确定的解析式中，就能直接算出a的值。也可以利用反比例函数的固有性质：图像上任意点的横纵坐标乘积都等于定值k，直接列等式$3×2=(-1)× a$快速求解。
【解析】
步骤1：求解反比例函数的参数k
已知点$(3,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将$x=3$，$y=2$代入解析式可得：
$2 = \dfrac{k}{3}$
解得$k=3×2=6$，因此该反比例函数的完整解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
步骤2：代入点$(-1,a)$计算a的值
将$x=-1$，$y=a$代入$y=\dfrac{6}{x}$，可得：
$a = \dfrac{6}{-1} = -6$
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数定义，函数图象点的性质
【点评】
本题是反比例函数的入门基础题，核心考察待定系数法求反比例函数解析式的基础操作，整体难度很低，解题时仅需要注意代入负数计算时的符号规则，避免低级计算错误即可，是后续学习反比例函数综合题型的必备基础考点。
【难度系数】
0.9
这道题的解题思路非常清晰：反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中仅含一个未知参数k，我们可以先利用坐标完全已知的点$(3,2)$，通过待定系数法求出k的取值，确定完整的反比例函数解析式，之后再将含参数a的点$(-1,a)$代入已确定的解析式中，就能直接算出a的值。也可以利用反比例函数的固有性质：图像上任意点的横纵坐标乘积都等于定值k，直接列等式$3×2=(-1)× a$快速求解。
【解析】
步骤1：求解反比例函数的参数k
已知点$(3,2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将$x=3$，$y=2$代入解析式可得：
$2 = \dfrac{k}{3}$
解得$k=3×2=6$，因此该反比例函数的完整解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
步骤2：代入点$(-1,a)$计算a的值
将$x=-1$，$y=a$代入$y=\dfrac{6}{x}$，可得：
$a = \dfrac{6}{-1} = -6$
【答案】
-6
【知识点】
反比例函数定义，函数图象点的性质
【点评】
本题是反比例函数的入门基础题，核心考察待定系数法求反比例函数解析式的基础操作，整体难度很低，解题时仅需要注意代入负数计算时的符号规则，避免低级计算错误即可，是后续学习反比例函数综合题型的必备基础考点。
【难度系数】
0.9
10. 已知点$P(m,n)$在直线$y=-x+2$上，也在双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$上，则$m^{2}+n^{2}$的值为
6
.答案
10.6
解析
【分析】
我们可以按照以下思路解题：首先，点在函数图像上时，点的坐标一定满足对应函数的解析式，因此把P(m,n)分别代入直线和双曲线的表达式，就能得到两个关于m、n的关系式，直接得到m+n的和与mn的乘积。接下来观察要求的代数式m²+n²，它可以通过完全平方和公式变形为用m+n和mn表示的形式，不需要单独求解m、n的具体数值，直接整体代入计算就能快速得到结果，避免解二次方程的复杂运算。
【解析】
解：
1. 代入直线解析式：
因为点P(m,n)在直线$y=-x+2$上，将$x=m$，$y=n$代入得：
$n = -m + 2$，整理可得：$m + n = 2$
2. 代入反比例函数解析式：
因为点P(m,n)在双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$上，将$x=m$，$y=n$代入得：
$n = -\dfrac{1}{m}$，两边同乘m整理可得：$mn = -1$
3. 利用完全平方公式变形计算：
由完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，变形得：
$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$
将$m+n=2$，$mn=-1$代入上式：
$m^2 + n^2 = 2^2 - 2×(-1) = 4 + 2 = 6$
【答案】
6
【知识点】
函数图像点的坐标特征；完全平方公式变形；整体代换思想
【点评】
本题是典型的代数综合求值题，核心考察整体代换的解题思路，不需要求解m、n的具体值，通过点的坐标性质直接得到两个整体参数的值，再代入变形后的公式即可算出结果，能有效锻炼学生对公式灵活运用的能力，避免了复杂的二次方程求解步骤。
【难度系数】
0.7
我们可以按照以下思路解题：首先，点在函数图像上时，点的坐标一定满足对应函数的解析式，因此把P(m,n)分别代入直线和双曲线的表达式，就能得到两个关于m、n的关系式，直接得到m+n的和与mn的乘积。接下来观察要求的代数式m²+n²，它可以通过完全平方和公式变形为用m+n和mn表示的形式，不需要单独求解m、n的具体数值，直接整体代入计算就能快速得到结果，避免解二次方程的复杂运算。
【解析】
解：
1. 代入直线解析式：
因为点P(m,n)在直线$y=-x+2$上，将$x=m$，$y=n$代入得：
$n = -m + 2$，整理可得：$m + n = 2$
2. 代入反比例函数解析式：
因为点P(m,n)在双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$上，将$x=m$，$y=n$代入得：
$n = -\dfrac{1}{m}$，两边同乘m整理可得：$mn = -1$
3. 利用完全平方公式变形计算：
由完全平方和公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，变形得：
$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$
将$m+n=2$，$mn=-1$代入上式：
$m^2 + n^2 = 2^2 - 2×(-1) = 4 + 2 = 6$
【答案】
6
【知识点】
函数图像点的坐标特征；完全平方公式变形；整体代换思想
【点评】
本题是典型的代数综合求值题，核心考察整体代换的解题思路，不需要求解m、n的具体值，通过点的坐标性质直接得到两个整体参数的值，再代入变形后的公式即可算出结果，能有效锻炼学生对公式灵活运用的能力，避免了复杂的二次方程求解步骤。
【难度系数】
0.7
11. 有这样一个问题:探究函数 $y=\dfrac{1}{x-1}+x$ 的图象与性质.
小明根据学习函数的经验,对函数 $y=\dfrac{1}{x-1}+x$ 的图象与性质进行了探究.
(1) 函数 $y=\dfrac{1}{x-1}+x$ 的自变量 $x$ 的取值范围是
(2) 下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值,其中 $m=$
(3) 如图,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,描出了以上表中各组数值为坐标的点,请你画出该函数的图象;
(4) 结合函数的图象,写出该函数的一条性质:
小明根据学习函数的经验,对函数 $y=\dfrac{1}{x-1}+x$ 的图象与性质进行了探究.
(1) 函数 $y=\dfrac{1}{x-1}+x$ 的自变量 $x$ 的取值范围是
$x\ne1$
;(2) 下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值,其中 $m=$
$\dfrac{13}{3}$
;(3) 如图,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,描出了以上表中各组数值为坐标的点,请你画出该函数的图象;
(4) 结合函数的图象,写出该函数的一条性质:
函数图象与$y$轴交于点$(0,-1)$(答案不唯一)
.答案
11.(1)$x\ne1$
(2)$\dfrac{13}{3}$
(3)解:该函数的图象如答图所示.
(4)函数图象与$y$轴交于点$(0,-1)$(答案不唯一)
解析
【分析】
这道题是分式型函数的探究题，我们可以按照分步逻辑逐步思考：
1. 第一问求自变量取值范围，观察函数表达式是分式形式，分式有意义的核心要求是分母不能为0，只需令分母不等于0，解出x的范围即可。
2. 第二问求m的值，本质是已知对应自变量x的取值，代入函数解析式计算对应的函数值，代入后通分计算就能得到结果。
3. 第三问绘制函数图像，已经提前描好了对应点，只需要用平滑的曲线把同区域的点依次连接，注意x=1时分母为0函数无定义，图像要分成x＜1和x＞1的两支，不能跨过x=1这条直线。
4. 第四问总结函数性质，可以从图像分布、增减性、与坐标轴交点、对称性等角度观察，写出任意符合图像特征的结论即可。
【解析】
(1) 对于函数$y=\dfrac{1}{x-1}+x$，要使表达式有意义，分母不能为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$，因此自变量x的取值范围是$x≠1$。
(2) 由表格对应关系可知，求m时对应的自变量x=4，将x=4代入函数解析式：
$y=\dfrac{1}{4-1}+4=\dfrac{1}{3}+4=\dfrac{1}{3}+\dfrac{12}{3}=\dfrac{13}{3}$，因此$m=\dfrac{13}{3}$。
(3) 使用平滑曲线将已描出的点分别在$x＜1$和$x＞1$两个区域依次连接，注意x=1处函数无定义，图像分为不连通的两支，最终得到完整函数图像。
(4) 观察图像可得到多条合理性质，例如函数图象与y轴交于点$(0,-1)$，也可以写当$x＞1$时y随x的增大而增大等，答案不唯一。
【答案】
(1)$x≠1$
(2)$\dfrac{13}{3}$
(3)该函数的图象如答图所示。
(4)函数图象与$y$轴交于点$(0,-1)$(答案不唯一)
【知识点】
分式有意义条件，函数图象绘制，函数性质探究
【点评】
本题属于初中阶段的拓展型函数探究题，依托反比例函数的探究经验展开，逐层考察定义域求解、函数值计算、描点绘图、性质归纳的全流程能力，难度梯度平缓，既巩固了分式的基础概念，也能锻炼学生数形结合总结规律的思维，注意绘图时不要遗漏x=1处的间断特征。
【难度系数】
0.6
这道题是分式型函数的探究题，我们可以按照分步逻辑逐步思考：
1. 第一问求自变量取值范围，观察函数表达式是分式形式，分式有意义的核心要求是分母不能为0，只需令分母不等于0，解出x的范围即可。
2. 第二问求m的值，本质是已知对应自变量x的取值，代入函数解析式计算对应的函数值，代入后通分计算就能得到结果。
3. 第三问绘制函数图像，已经提前描好了对应点，只需要用平滑的曲线把同区域的点依次连接，注意x=1时分母为0函数无定义，图像要分成x＜1和x＞1的两支，不能跨过x=1这条直线。
4. 第四问总结函数性质，可以从图像分布、增减性、与坐标轴交点、对称性等角度观察，写出任意符合图像特征的结论即可。
【解析】
(1) 对于函数$y=\dfrac{1}{x-1}+x$，要使表达式有意义，分母不能为0，即$x-1≠0$，解得$x≠1$，因此自变量x的取值范围是$x≠1$。
(2) 由表格对应关系可知，求m时对应的自变量x=4，将x=4代入函数解析式：
$y=\dfrac{1}{4-1}+4=\dfrac{1}{3}+4=\dfrac{1}{3}+\dfrac{12}{3}=\dfrac{13}{3}$，因此$m=\dfrac{13}{3}$。
(3) 使用平滑曲线将已描出的点分别在$x＜1$和$x＞1$两个区域依次连接，注意x=1处函数无定义，图像分为不连通的两支，最终得到完整函数图像。
(4) 观察图像可得到多条合理性质，例如函数图象与y轴交于点$(0,-1)$，也可以写当$x＞1$时y随x的增大而增大等，答案不唯一。
【答案】
(1)$x≠1$
(2)$\dfrac{13}{3}$
(3)该函数的图象如答图所示。
(4)函数图象与$y$轴交于点$(0,-1)$(答案不唯一)
【知识点】
分式有意义条件，函数图象绘制，函数性质探究
【点评】
本题属于初中阶段的拓展型函数探究题，依托反比例函数的探究经验展开，逐层考察定义域求解、函数值计算、描点绘图、性质归纳的全流程能力，难度梯度平缓，既巩固了分式的基础概念，也能锻炼学生数形结合总结规律的思维，注意绘图时不要遗漏x=1处的间断特征。
【难度系数】
0.6
12. 如图,正方形$OABC$的面积为9,$O$为坐标原点,点$A$在$x$轴上,点$C$在$y$轴上,点$B$在函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,$P(m,n)$是函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上异于点$B$的任意一点,过点$P$分别作$x$轴,$y$轴的垂线,垂足分别为$E,F$. 设矩形$OEPF$和正方形$OABC$不重合部分的面积为$S$.
(1)点$B$的坐标是
(2)当$S=\dfrac{9}{2}$时,求点$P$的坐标.
(1)点$B$的坐标是
$(3,3)$
,$k=$$9$
;(2)当$S=\dfrac{9}{2}$时,求点$P$的坐标.
答案
12.(1)$(3,3)\quad9$
(2)解:分两种情况:①如答图,当点$P_1$在点$B$的左侧时,
$\because$点$P_1(m,n)$在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,$\therefore mn=9$,
$\therefore S=m(n-3)=mn-3m=\dfrac{9}{2}$,解得$m=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore n=6,\therefore P_1(\dfrac{3}{2},6)$.
②如答图,当点$P_2$在点$B$的右侧时,
$\because$点$P_2(m,n)$在函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,$\therefore mn=9$,
$\therefore S=n(m-3)=mn-3n=\dfrac{9}{2}$,解得$n=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore m=6,\therefore P_2(6,\dfrac{3}{2})$.
综上所述,点$P$的坐标为$(\dfrac{3}{2},6)$或$(6,\dfrac{3}{2})$.
解析
【分析】
我们可以分两步梳理解题思路：
1. 解决第一小问：已知正方形OABC面积为9，可直接算出正方形边长为3，结合O是原点、A在x轴、C在y轴的坐标设定，就能得到B点的横纵坐标都等于边长3，得到B点坐标后，代入反比例函数解析式，利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质，即可求出k值。
2. 解决第二小问：首先明确P(m,n)在y=9/x上，因此满足mn=9。由于P点位置不确定，需要分两类讨论：①P在点B左侧（m＜3）时，两个图形不重合部分是长为m、高为n-3的矩形，代入S=9/2列方程求解；②P在点B右侧（m＞3）时，不重合部分是宽为m-3、高为n的矩形，同样代入S=9/2列方程求解，最后汇总两种情况得到所有符合条件的P点坐标。
【解析】
(1) 已知正方形OABC的面积为9，因此正方形边长为$\sqrt{9}=3$。
因为O为坐标原点，点A在x轴，点C在y轴，可得$OA=3$，$OC=3$，因此点B的坐标为$(3,3)$。
将$B(3,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$3=\dfrac{k}{3}$，解得$k=9$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\dfrac{9}{x}$，因为$P(m,n)$在该函数图象上，因此满足$mn=9$，分两种情况计算：
① 当点$P$在点$B$的左侧（$m＜3$）时：
不重合部分的矩形水平边长为$m$，竖直高度为$n-3$，因此面积$S = m(n-3)$，代入$S=\dfrac{9}{2}$得：
$mn - 3m = \dfrac{9}{2}$
将$mn=9$代入上式：
$9 - 3m = \dfrac{9}{2}$
解得$m=\dfrac{3}{2}$，代入$mn=9$得$n=\dfrac{9}{\frac{3}{2}}=6$，此时$P$点坐标为$(\dfrac{3}{2},6)$。
② 当点$P$在点$B$的右侧（$m＞3$）时：
不重合部分的矩形水平宽度为$m-3$，竖直高度为$n$，因此面积$S = n(m-3)$，代入$S=\dfrac{9}{2}$得：
$mn - 3n = \dfrac{9}{2}$
将$mn=9$代入上式：
$9 - 3n = \dfrac{9}{2}$
解得$n=\dfrac{3}{2}$，代入$mn=9$得$m=\dfrac{9}{\frac{3}{2}}=6$，此时$P$点坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$。
综上所述，符合条件的点P共有两个。
【答案】
(1)$(3,3)\quad9$
(2)点$P$的坐标为$(\dfrac{3}{2},6)$或$(6,\dfrac{3}{2})$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，正方形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是反比例函数章节的经典基础题型，结合正方形性质考查反比例函数的图象性质，核心是利用“反比例函数上任意点向坐标轴作垂线，所得矩形面积等于|k|”的结论简化计算，解题时需要对点P的位置进行分类讨论，避免遗漏其中一种情况。
【难度系数】
0.6
我们可以分两步梳理解题思路：
1. 解决第一小问：已知正方形OABC面积为9，可直接算出正方形边长为3，结合O是原点、A在x轴、C在y轴的坐标设定，就能得到B点的横纵坐标都等于边长3，得到B点坐标后，代入反比例函数解析式，利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质，即可求出k值。
2. 解决第二小问：首先明确P(m,n)在y=9/x上，因此满足mn=9。由于P点位置不确定，需要分两类讨论：①P在点B左侧（m＜3）时，两个图形不重合部分是长为m、高为n-3的矩形，代入S=9/2列方程求解；②P在点B右侧（m＞3）时，不重合部分是宽为m-3、高为n的矩形，同样代入S=9/2列方程求解，最后汇总两种情况得到所有符合条件的P点坐标。
【解析】
(1) 已知正方形OABC的面积为9，因此正方形边长为$\sqrt{9}=3$。
因为O为坐标原点，点A在x轴，点C在y轴，可得$OA=3$，$OC=3$，因此点B的坐标为$(3,3)$。
将$B(3,3)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$3=\dfrac{k}{3}$，解得$k=9$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=\dfrac{9}{x}$，因为$P(m,n)$在该函数图象上，因此满足$mn=9$，分两种情况计算：
① 当点$P$在点$B$的左侧（$m＜3$）时：
不重合部分的矩形水平边长为$m$，竖直高度为$n-3$，因此面积$S = m(n-3)$，代入$S=\dfrac{9}{2}$得：
$mn - 3m = \dfrac{9}{2}$
将$mn=9$代入上式：
$9 - 3m = \dfrac{9}{2}$
解得$m=\dfrac{3}{2}$，代入$mn=9$得$n=\dfrac{9}{\frac{3}{2}}=6$，此时$P$点坐标为$(\dfrac{3}{2},6)$。
② 当点$P$在点$B$的右侧（$m＞3$）时：
不重合部分的矩形水平宽度为$m-3$，竖直高度为$n$，因此面积$S = n(m-3)$，代入$S=\dfrac{9}{2}$得：
$mn - 3n = \dfrac{9}{2}$
将$mn=9$代入上式：
$9 - 3n = \dfrac{9}{2}$
解得$n=\dfrac{3}{2}$，代入$mn=9$得$m=\dfrac{9}{\frac{3}{2}}=6$，此时$P$点坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$。
综上所述，符合条件的点P共有两个。
【答案】
(1)$(3,3)\quad9$
(2)点$P$的坐标为$(\dfrac{3}{2},6)$或$(6,\dfrac{3}{2})$
【知识点】
反比例函数k的几何意义，正方形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是反比例函数章节的经典基础题型，结合正方形性质考查反比例函数的图象性质，核心是利用“反比例函数上任意点向坐标轴作垂线，所得矩形面积等于|k|”的结论简化计算，解题时需要对点P的位置进行分类讨论，避免遗漏其中一种情况。
【难度系数】
0.6
