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10. 有这样一个问题:探究函数 $y=\dfrac{2x-6}{x-2}$ 的图象与性质.
小慧根据学习函数的经验, 对函数 $y=\dfrac{2x-6}{x-2}$ 的图象与性质进行了探究.
下面是小慧的探究过程, 请补充完整:
(1) 函数 $y=\dfrac{2x-6}{x-2}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是
(2) 列出 $y$ 与 $x$ 的几组对应值. 请直接写出 $m$ 的值, $m=$
(3) 请在平面直角坐标系 $xOy$ 中描出以上表中各组对应值为坐标的点, 并画出该函数的图象.
(4) 结合函数的图象, 写出该函数的两条性质:
①
小慧根据学习函数的经验, 对函数 $y=\dfrac{2x-6}{x-2}$ 的图象与性质进行了探究.
下面是小慧的探究过程, 请补充完整:
(1) 函数 $y=\dfrac{2x-6}{x-2}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是
$x≠2$
.(2) 列出 $y$ 与 $x$ 的几组对应值. 请直接写出 $m$ 的值, $m=$
3
.(3) 请在平面直角坐标系 $xOy$ 中描出以上表中各组对应值为坐标的点, 并画出该函数的图象.
(4) 结合函数的图象, 写出该函数的两条性质:
①
该函数图象是轴对称图形
; ②该函数图象不经过原点(答案不唯一)
.答案
10.(1)$x≠2$
(2)3
(3)解:如答图所示.
(4)该函数图象是轴对称图形 该函数图象不经过原点(答案不唯一)
解析
【分析】
我们按照题目设置的小问顺序逐步思考：
1. 第一问求自变量取值范围，这个函数是分式形式，分式有意义的核心要求是分母不能为0，所以只需要令分母不等于0，解不等式就能得到x的取值范围。
2. 第二问求m的值，m是表格里某组x对应的函数值，只需要把该组对应的x代入函数表达式，计算出y的结果就是m。
3. 第三问画函数图象，先把表格里所有的点在坐标系里准确描出，这个函数化简后是反比例函数平移得到的双曲线，用平滑曲线分别连接左右两支的点，注意图象不能穿过渐近线x=2和y=2。
4. 第四问归纳函数性质，从图象的形状、对称性、增减性、是否过定点、渐近线特征等角度任选两个合理的性质写出即可。
【解析】
(1) 对于分式函数，要使表达式有意义，分母不能为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$，因此自变量x的取值范围是$x≠2$。
(2) 将表格中对应m的x值代入函数$y=\dfrac{2x-6}{x-2}$，计算可得y=3，即m=3。
(3) 描出所有给定的坐标点后，用平滑曲线分别连接$x＜2$和$x＞2$区域内的点，得到该函数的两支双曲线图象，如参考图所示。
(4) 观察绘制完成的函数图象，可归纳得到多条合理性质，例如图象对称性、是否过原点、增减性等符合图象特征的结论均可。
【答案】
(1)$x≠2$
(2)$3$
(3) 如答图所示：
(4) 该函数图象是轴对称图形；该函数图象不经过原点(答案不唯一)
【知识点】
分式有意义的条件；描点法画函数图象；函数性质探究
【点评】
本题是典型的初中函数探究类题型，完整还原了学习新函数的标准探究流程，从确定自变量范围、计算对应点、绘制图象到归纳性质，既考察了基础的分式相关知识点，也锻炼了学生的图象观察和归纳能力，最后一问开放性较强，只要性质符合图象特征即可得分。
【难度系数】
0.7
我们按照题目设置的小问顺序逐步思考：
1. 第一问求自变量取值范围，这个函数是分式形式，分式有意义的核心要求是分母不能为0，所以只需要令分母不等于0，解不等式就能得到x的取值范围。
2. 第二问求m的值，m是表格里某组x对应的函数值，只需要把该组对应的x代入函数表达式，计算出y的结果就是m。
3. 第三问画函数图象，先把表格里所有的点在坐标系里准确描出，这个函数化简后是反比例函数平移得到的双曲线，用平滑曲线分别连接左右两支的点，注意图象不能穿过渐近线x=2和y=2。
4. 第四问归纳函数性质，从图象的形状、对称性、增减性、是否过定点、渐近线特征等角度任选两个合理的性质写出即可。
【解析】
(1) 对于分式函数，要使表达式有意义，分母不能为0，即$x-2≠0$，解得$x≠2$，因此自变量x的取值范围是$x≠2$。
(2) 将表格中对应m的x值代入函数$y=\dfrac{2x-6}{x-2}$，计算可得y=3，即m=3。
(3) 描出所有给定的坐标点后，用平滑曲线分别连接$x＜2$和$x＞2$区域内的点，得到该函数的两支双曲线图象，如参考图所示。
(4) 观察绘制完成的函数图象，可归纳得到多条合理性质，例如图象对称性、是否过原点、增减性等符合图象特征的结论均可。
【答案】
(1)$x≠2$
(2)$3$
(3) 如答图所示：
(4) 该函数图象是轴对称图形；该函数图象不经过原点(答案不唯一)
【知识点】
分式有意义的条件；描点法画函数图象；函数性质探究
【点评】
本题是典型的初中函数探究类题型，完整还原了学习新函数的标准探究流程，从确定自变量范围、计算对应点、绘制图象到归纳性质，既考察了基础的分式相关知识点，也锻炼了学生的图象观察和归纳能力，最后一问开放性较强，只要性质符合图象特征即可得分。
【难度系数】
0.7
11. 参照学习反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 的过程与方法, 探究函数 $y=\dfrac{2}{x-2}(x≠2)$ 的图象与性质.
(1)$m=$
(2)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,画出函数
$y=\dfrac{2}{x-2}(x≠2)$ 的图象.
(3)观察图象并分析表格,解答下列问题:
①当 $x＜2$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而
②$y=\dfrac{2}{x-2}$ 的图象是由 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象向
③图象关于点
第11题图
(1)$m=$
$-\dfrac{4}{3}$
.(2)如图,在平面直角坐标系中,观察描出的这些点的分布,画出函数
$y=\dfrac{2}{x-2}(x≠2)$ 的图象.
(3)观察图象并分析表格,解答下列问题:
①当 $x＜2$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而
减小
;(填“增大”或“减小”)②$y=\dfrac{2}{x-2}$ 的图象是由 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象向
右
平移2
个单位长度而得到的;③图象关于点
$(2,0)$
中心对称.(填点的坐标)第11题图
答案
11.(1)$-\dfrac{4}{3}$
(2)解:由题意,作图如答图所示.
(3)①减小 ②右 2 ③$(2,0)$
解析
【分析】
这道题是类比已学的基础反比例函数$y=\frac{2}{x}$的研究方法，探究平移后的反比例函数的图象与性质。解题时首先处理第一问：直接将表格中对应给出的x值代入函数解析式，即可计算得到m的值。第二问画图象时，注意该函数定义域是x≠2，图象是两支独立的双曲线，用平滑曲线分别连接x＜2和x＞2两侧的描点即可，曲线无限靠近渐近线x=2、y=0但不相交。第三问的几个性质推导：①观察x＜2区间内图象的升降趋势，就能判断y随x的变化情况；②结合函数图象平移“左加右减”的规律，对比两个函数的解析式差异，就能得到平移方向和单位；③原反比例函数的对称中心是(0,0)，图象整体平移后对称中心也会同步平移，即可得到新的对称中心坐标。
【解析】
(1) 将对应自变量$x=\frac{1}{2}$代入函数$y=\dfrac{2}{x-2}$，可得：
$m=\dfrac{2}{\frac{1}{2}-2}=\dfrac{2}{-\frac{3}{2}}=-\dfrac{4}{3}$。
(2) 分别将x＜2一侧的所有描点用平滑曲线顺次连接，再将x＞2一侧的所有描点用平滑曲线顺次连接，得到两支双曲线，曲线无限趋近于直线$x=2$和$y=0$，不与两条直线相交，最终图象如参考图所示。
(3) ①观察图象可得，当$x＜2$时，图象从左到右呈下降趋势，因此$y$随$x$的增大而减小。
②根据函数图象平移的“左加右减”规则，将$y=\dfrac{2}{x}$中的自变量$x$替换为$x-2$，即可得到$y=\dfrac{2}{x-2}$，因此该图象是由$y=\dfrac{2}{x}$的图象向右平移2个单位长度得到的。
③原反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的中心对称点为$(0,0)$，图象向右平移2个单位后，对称中心同步向右平移2个单位，得到新的对称中心坐标为$(2,0)$，即该函数图象关于点$(2,0)$中心对称。
【答案】
(1)$-\dfrac{4}{3}$
(2) 作图结果如下图所示：
(3) ①减小；②右，2；③$(2,0)$
【知识点】
反比例函数性质，函数图象平移，中心对称
【点评】
本题采用类比探究的命题思路，引导学生从已掌握的基础反比例函数知识出发，通过知识迁移推导平移后的反比例函数的相关性质，既巩固了函数图象平移的规律，也加深了对反比例函数图象特征的理解，整体难度适中，适合锻炼学生的自主探究能力。
【难度系数】
0.7
这道题是类比已学的基础反比例函数$y=\frac{2}{x}$的研究方法，探究平移后的反比例函数的图象与性质。解题时首先处理第一问：直接将表格中对应给出的x值代入函数解析式，即可计算得到m的值。第二问画图象时，注意该函数定义域是x≠2，图象是两支独立的双曲线，用平滑曲线分别连接x＜2和x＞2两侧的描点即可，曲线无限靠近渐近线x=2、y=0但不相交。第三问的几个性质推导：①观察x＜2区间内图象的升降趋势，就能判断y随x的变化情况；②结合函数图象平移“左加右减”的规律，对比两个函数的解析式差异，就能得到平移方向和单位；③原反比例函数的对称中心是(0,0)，图象整体平移后对称中心也会同步平移，即可得到新的对称中心坐标。
【解析】
(1) 将对应自变量$x=\frac{1}{2}$代入函数$y=\dfrac{2}{x-2}$，可得：
$m=\dfrac{2}{\frac{1}{2}-2}=\dfrac{2}{-\frac{3}{2}}=-\dfrac{4}{3}$。
(2) 分别将x＜2一侧的所有描点用平滑曲线顺次连接，再将x＞2一侧的所有描点用平滑曲线顺次连接，得到两支双曲线，曲线无限趋近于直线$x=2$和$y=0$，不与两条直线相交，最终图象如参考图所示。
(3) ①观察图象可得，当$x＜2$时，图象从左到右呈下降趋势，因此$y$随$x$的增大而减小。
②根据函数图象平移的“左加右减”规则，将$y=\dfrac{2}{x}$中的自变量$x$替换为$x-2$，即可得到$y=\dfrac{2}{x-2}$，因此该图象是由$y=\dfrac{2}{x}$的图象向右平移2个单位长度得到的。
③原反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$的中心对称点为$(0,0)$，图象向右平移2个单位后，对称中心同步向右平移2个单位，得到新的对称中心坐标为$(2,0)$，即该函数图象关于点$(2,0)$中心对称。
【答案】
(1)$-\dfrac{4}{3}$
(2) 作图结果如下图所示：
(3) ①减小；②右，2；③$(2,0)$
【知识点】
反比例函数性质，函数图象平移，中心对称
【点评】
本题采用类比探究的命题思路，引导学生从已掌握的基础反比例函数知识出发，通过知识迁移推导平移后的反比例函数的相关性质，既巩固了函数图象平移的规律，也加深了对反比例函数图象特征的理解，整体难度适中，适合锻炼学生的自主探究能力。
【难度系数】
0.7
