1. 二次根式$\sqrt{x-4}$中的$x$的值可以是()

A.0
B.3
C.5
D.$-2$

1.C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确二次根式有意义的前提：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们先根据这个条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围，再逐一比对选项，选出符合范围的数值即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于0，因此：
$x-4≥0$
解得：$x≥4$
逐一分析选项：
A选项，$0＜4$，不符合要求；
B选项，$3＜4$，不符合要求；
C选项，$5≥4$，符合要求；
D选项，$-2＜4$，不符合要求。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心考查对二次根式有意义条件的识记与简单应用，只要掌握被开方数非负的规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

2. 如果$\sqrt{(x-3)^2}=3-x$,则$x$的取值范围是()

A.$x≥3$
B.$x＞3$
C.$x≤3$
D.$x＜3$

2.C

【分析】
拿到这道题，首先观察到等式左边是二次根号下平方的形式，首先要联想到二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，先把原式转化为绝对值等式。再回忆绝对值的化简规则：当一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数是非正数，据此列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$
因此原等式可化为：$|x-3|=3-x$
根据绝对值的性质：若$|a|=-a$，则$a≤0$，因此可得：
$x-3≤0$
解不等式得：$x≤3$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式的性质
2.绝对值的性质
【点评】
本题属于二次根式性质的基础应用题型，解题关键是熟练掌握$\sqrt{a^2}$的化简规则，易错点是容易遗漏$x=3$的情况，误选D选项。
【难度系数】
0.8

3. 当$x=-2$时,二次根式$\sqrt{1-4x}$的值为.

3.3

【分析】
拿到本题，首先明确解题目标是求x=-2时二次根式的值，解题思路分为两步：第一步先把x=-2代入二次根式的被开方数中，计算出被开方数的结果，计算时要注意负数相乘的符号规则；第二步对被开方数的结果求算术平方根，注意二次根式的结果是非负数，只能取非负的平方根。
【解析】
解：将$x=-2$代入二次根式$\sqrt{1-4x}$中：
1. 先计算被开方数：$1-4×(-2)=1+8=9$
2. 再计算算术平方根：$\sqrt{9}=3$
【答案】
3
【知识点】
1. 二次根式求值
2. 算术平方根计算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查代入求值的运算能力，解题时要注意代入负数值时的符号运算，避免因符号算错失分。
【难度系数】
0.9

4. 已知$x,y$都是实数，且$y=\sqrt{3x-1}+\sqrt{1-3x}+2$，则$x^y$的值为。

4.$\frac{1}{9}$

【分析】
要计算$x^y$的值，需要先求出x和y的取值。根据二次根式的定义，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，本题中两个根号下的式子$3x-1$和$1-3x$互为相反数，因此二者必须同时等于0才能满足非负要求，由此可先求出x的值，再代入原式求出y的值，最后计算乘方即可得到结果。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}3x-1≥0 \\1-3x≥0 \end{cases}$
解不等式$3x-1≥0$，得$x≥\frac{1}{3}$；
解不等式$1-3x≥0$，得$x≤\frac{1}{3}$；
因此$x=\frac{1}{3}$。
将$x=\frac{1}{3}$代入$y=\sqrt{3x-1}+\sqrt{1-3x}+2$，得：
$y=\sqrt{3×\frac{1}{3}-1}+\sqrt{1-3×\frac{1}{3}}+2=0+0+2=2$
所以$x^y=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
【答案】
$\frac{1}{9}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 乘方运算
【点评】
本题解题核心是利用二次根式被开方数的非负性挖掘隐含的取值限制，进而求出未知数的值，是二次根式性质的基础应用题型，解题时注意不要忽略隐含的不等式条件。
【难度系数】
0.8

5. 已知$2 ≤ x ≤ 6$，化简：$\sqrt{(x-6)^2} - \sqrt{(2-x)^2} =$ .

5.$8-2x$

【分析】
要化简该式，首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将原式转化为两个绝对值的差；再结合给定的$2≤ x≤6$的取值范围，分别判断两个绝对值内表达式的正负性，根据绝对值的性质去掉绝对值符号；最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|x-6|-|2-x|$
$\because 2≤ x≤6$
$\therefore x-6≤0$，$2-x≤0$
根据绝对值的性质，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|x-6|=6-x$，$|2-x|=x-2$
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(6-x)-(x-2)\\&=6-x-x+2\\&=8-2x\end{aligned}$
【答案】
$8-2x$
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简、整式的加减运算
【点评】
本题属于二次根式化简的基础题，解题关键是先将二次根式的化简转化为绝对值化简问题，再结合取值范围正确去绝对值，计算时要注意去括号的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75

6. 观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息,猜想:
(1) $\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=$.
(2) 按照上述等式反映的规律,写出用$n(n$为正整数)表示的等式:.
(3) 利用上述规律计算:$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}$(仿照上式写出过程).

6. (1) $1\frac{1}{20}$
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1\frac{1}{n(n+1)}$（$n≥1$的整数）
(3) $\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}}=1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1\frac{1}{56}$

【分析】
首先观察已知的三个等式，梳理结构特征：等式左侧均为$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}$的形式（k依次取1、2、3），右侧运算规律为1加k分之一减去(k+1)分之一，最终结果的整数部分为1，分数部分的分母是k与(k+1)的乘积、分子为1。解题时先根据规律求解第(1)问，再将规律推广到任意正整数n得到第(2)问的通用公式，最后把第(3)问的被开方数变形为符合规律的结构，套用公式计算即可。
【解析】
(1) 根据已知规律，当k=4时：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=1+\frac{5-4}{20}=1\frac{1}{20}$
(2) 对任意正整数n，归纳规律可得：
$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}=1\frac{1}{n(n+1)}$（n为正整数）
(3) 先将被开方数变形为符合规律的形式：
$\sqrt{\frac{50}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{49}+\frac{1}{64}}=\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}$
套用上述规律计算：
$\sqrt{1+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}}=1+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}=1+\frac{8-7}{56}=1\frac{1}{56}$
【答案】
(1) $1\frac{1}{20}$
(2) $\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1\frac{1}{n(n+1)}$（n为正整数）
(3) $1\frac{1}{56}$
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，分式加减运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，核心考查学生的观察归纳能力和知识迁移能力，需要从特殊例子中总结通用规律，再应用规律解决运算问题，整体解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7