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【生活情境】古希腊几何学家海伦在《度量》一书中,给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”:如果一个三角形的三边长分别为a, b, c, 设$ p=\frac{a+b+c}{2} $, 则三角形的面积$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $.
我国南宋著名的数学家秦九韶在《数书九章》一书中,曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术):如果一个三角形的三边长分别为a, b, c, 则三角形的面积$ S=$
$ $.
【问题提出】（1）若一个三角形的三边长分别是5,6,7,求这个三角形的面积.
（2）若一个三角形的三边长分别是$ \sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7} $,求这个三角形的面积.
【问题分析】直接将这三个数据代入公式计算即可.我们可以根据数的特点选择恰当的公式进行计算,以减轻计算量.
【问题解决】
【问题反思】我国数学家秦九韶提出的“秦九韶公式”,虽然在形式上与海伦公式不同,但其实与海伦公式等价,我们可以尝试由“秦九韶公式”推导“海伦公式”.
我国南宋著名的数学家秦九韶在《数书九章》一书中,曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术):如果一个三角形的三边长分别为a, b, c, 则三角形的面积$ S=$
$ $.【问题提出】（1）若一个三角形的三边长分别是5,6,7,求这个三角形的面积.
（2）若一个三角形的三边长分别是$ \sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7} $,求这个三角形的面积.
【问题分析】直接将这三个数据代入公式计算即可.我们可以根据数的特点选择恰当的公式进行计算,以减轻计算量.
【问题解决】
【问题反思】我国数学家秦九韶提出的“秦九韶公式”,虽然在形式上与海伦公式不同,但其实与海伦公式等价,我们可以尝试由“秦九韶公式”推导“海伦公式”.
答案
(1) $p=\frac{5+6+7}{2}=9, S=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=\sqrt{9×4×3×2}=6\sqrt{6}$
(2) $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}=\sqrt{\frac{1}{4}[5×6-(\frac{5+6-7}{2})^2]}=\sqrt{\frac{26}{4}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$
(2) $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}=\sqrt{\frac{1}{4}[5×6-(\frac{5+6-7}{2})^2]}=\sqrt{\frac{26}{4}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$
解析
【分析】
第（1）问的三边长均为整数，选择海伦公式计算更简便：先计算半周长$p=\frac{a+b+c}{2}$，再将$p$和三边长代入海伦公式，最后化简二次根式得到面积；第（2）问的三边长均为二次根式，选择秦九韶公式计算更简便：先算出三边长的平方，直接代入秦九韶公式即可避免根号加减的复杂运算，再化简二次根式得到结果。
【解析】
（1）已知三角形三边长分别为$a=5$，$b=6$，$c=7$
第一步，计算半周长：$p=\frac{5+6+7}{2}=9$
第二步，代入海伦公式计算：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$
（2）已知三角形三边长分别为$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{7}$，可得$a^2=5$，$b^2=6$，$c^2=7$
代入秦九韶公式计算：
$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}[5×6-(\frac{5+6-7}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}[30-4]}=\sqrt{\frac{26}{4}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$
【答案】
（1）$\boxed{6\sqrt{6}}$；（2）$\boxed{\frac{\sqrt{26}}{2}}$
【知识点】
1. 二次根式运算
2. 海伦-秦九韶公式
3. 代数式代入求值
【点评】
本题结合数学史背景考查三角形面积公式的灵活应用，解题核心是根据边长特征选择简便公式降低计算量，既巩固了二次根式的运算能力，也能让学生感受古代数学家的智慧。
【难度系数】
0.8
第（1）问的三边长均为整数，选择海伦公式计算更简便：先计算半周长$p=\frac{a+b+c}{2}$，再将$p$和三边长代入海伦公式，最后化简二次根式得到面积；第（2）问的三边长均为二次根式，选择秦九韶公式计算更简便：先算出三边长的平方，直接代入秦九韶公式即可避免根号加减的复杂运算，再化简二次根式得到结果。
【解析】
（1）已知三角形三边长分别为$a=5$，$b=6$，$c=7$
第一步，计算半周长：$p=\frac{5+6+7}{2}=9$
第二步，代入海伦公式计算：
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9×(9-5)×(9-6)×(9-7)}=\sqrt{9×4×3×2}=\sqrt{216}=6\sqrt{6}$
（2）已知三角形三边长分别为$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{7}$，可得$a^2=5$，$b^2=6$，$c^2=7$
代入秦九韶公式计算：
$S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}[5×6-(\frac{5+6-7}{2})^2]}$
$=\sqrt{\frac{1}{4}[30-4]}=\sqrt{\frac{26}{4}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$
【答案】
（1）$\boxed{6\sqrt{6}}$；（2）$\boxed{\frac{\sqrt{26}}{2}}$
【知识点】
1. 二次根式运算
2. 海伦-秦九韶公式
3. 代数式代入求值
【点评】
本题结合数学史背景考查三角形面积公式的灵活应用，解题核心是根据边长特征选择简便公式降低计算量，既巩固了二次根式的运算能力，也能让学生感受古代数学家的智慧。
【难度系数】
0.8
