1. 情境素材 某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到某地观光旅游.下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话.
领队:“组团去旅游每人收费多少元?”
导游:“若不超过25人,则人均旅游费用为100元.”
领队:“超过25人该怎样优惠呢?”
导游:“若超过25人,则每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元.”
已知该单位按旅行社的收费标准组团游玩结束后,共支付给旅行社2700元.
请你根据上述信息,求该单位这次到该地观光旅游的共有多少人.

设该单位这次到该地观光旅游的共有 x 人. 因为100×25=2 500(元),且 2 500＜2 700,所以 x＞25. 由题意,得[100−2(x−25)]x=2 700. 整理,得 x²−75x+1 350=0,解得 x₁=45,x₂=30. 因为 100−2×(45−25)=60(元),且 60＜70,所以 x=45 不合题意,舍去. 故该单位这次到该地观光旅游的共有 30 人.

2. 新定义 定义:如图,在平面直角坐标系中,O 是原点.若一个点的横坐标与纵坐标互为倒数,则称这个点为“倒数点”. 例如:$(1,1),(-\sqrt{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3}),(2\ 026,\dfrac{1}{2\ 026})$都是“倒数点”.
(1) 若直线 $l_1:y=-x+b(b＞0)$ 上有且只有一个“倒数点”,记作点 $P$,求直线 $l_1$ 的函数表达式以及点 $P$ 的坐标；
(2) 求直线 $l_2:y=3x+2$ 上“倒数点”的坐标；
(3) 若直线 $l_3:y=kx+1$ 上有两个“倒数点”,记作点 $T_1,T_2$,则当$∠ T_1OT_2$ 为锐角时,求 $k$ 的取值范围.

(1) 设 $P(m,\dfrac{1}{m})(m≠0)$. 因为 $P$ 为直线 $l_1:y=-x+b(b＞0)$ 上的“倒数点”,所以 $\dfrac{1}{m}=-m+b$,即 $m^2-bm+1=0$. 因为“倒数点”有且只有一个,所以 $b^2-4=0$,解得 $b_1=2,b_2=-2$. 因为 $b＞0$,所以 $b=2$,所以直线 $l_1$ 的函数表达式为 $y=-x+2$. 解方程 $m^2-2m+1=0$,得 $m_1=m_2=1$,所以点 $P$ 的坐标为 $(1,1)$.
(2) 设直线 $l_2:y=3x+2$ 上“倒数点”的坐标为 $(n,\dfrac{1}{n})(n≠0)$,则 $\dfrac{1}{n}=3n+2$,即 $3n^2+2n-1=0$,解得 $n_1=\dfrac{1}{3},n_2=-1$. 当 $n=\dfrac{1}{3}$ 时, $\dfrac{1}{n}=3$;当 $n=-1$ 时, $\dfrac{1}{n}=-1$. 故直线 $l_2:y=3x+2$ 上“倒数点”的坐标为 $(\dfrac{1}{3},3)$或$(-1,-1)$.
(3) 令 $y=\dfrac{1}{x}$,得 $\dfrac{1}{x}=kx+1$,即 $kx^2+x-1=0$. 因为直线 $l_3:y=kx+1$ 上有两个“倒数点”,所以 $1+4k＞0$ 且 $k≠0$,解得 $k＞-\dfrac{1}{4}$ 且 $k≠0$. 设 $T_1(x_1,\dfrac{1}{x_1})$,$T_2(x_2,\dfrac{1}{x_2})$. 因为 $x_1$ 与 $\dfrac{1}{x_1}$ 同号,所以点 $T_1$ 在第一象限或第三象限. 同理可得点 $T_2$ 在第一象限或第三象限. 因为$∠ T_1OT_2$ 为锐角,所以点 $T_1,T_2$ 都在第一象限或第三象限,所以 $x_1$ 与 $x_2$ 同号,所以 $x_1x_2＞0$. 又 $x_1x_2=-\dfrac{1}{k}$,所以 $-\dfrac{1}{k}＞0$,解得 $k＜0$,所以 $k$ 的取值范围为 $-\dfrac{1}{4}＜k＜0$.