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优美的黄金分割
【阅读材料】
材料 1: 如图,线段 $AC$ 的长为 1,点 $B$ 把线段 $AC$ 分成两部分,如果 $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$,那么称线段 $AC$ 被点 $B$黄金分割,点 $B$ 为线段 $AC$ 的黄金分割点.$AB$ 与 $AC$(或 $BC$ 与 $AB$)的比称为黄金比.“黄金分割”给人以美感,它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用. 比如:我国的国歌歌词是散文式的自由体新诗,作曲家聂耳在谱曲时,创造性地将它谱成由 6 个长短不等的乐句组成的自由体乐段,歌曲高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置,音乐富有动力,让人感到无比振奋.
材料 2:意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现如果每对兔子每月能繁殖一对小兔子,每对兔子第一个月没有繁殖能力,但从第二个月以后便能每月生一对小兔子,假定这些兔子都没有死亡现象,那么从第一对刚出生的兔子开始第 1 个月有 1 对兔子,第 2 个月有 1 对兔子,从第 3 个月开始,每个月的兔子对数是前两个月之和. 由此得到数列: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,···$,这个数列即为斐波那契数列 (又称黄金分割数列), 可用 $F_n$ 表示第 $n$ 项 ($n$ 为正整数), 则 $F_1=1,F_2=1,···$,$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.$
【解决问题】
(1) 设材料 1 中 $AB=x$, 根据黄金比的定义列出关于 $x$ 的一元二次方程, 并计算黄金比的值; ($\sqrt{5}\approx2.236$, 结果精确到 0.001)
(2) 计算 $\dfrac{F_n}{F_{n+1}}$ 的值 ($n$ 依次取 $1∼9$ 的整数, 结果精确到 0.001), 观察各个结果的值, 并判断当 $n$ 足够大时, $\dfrac{F_n}{F_{n+1}}$ 是否趋向某个近似值 $t$, 并请给出证明.
【阅读材料】
材料 1: 如图,线段 $AC$ 的长为 1,点 $B$ 把线段 $AC$ 分成两部分,如果 $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$,那么称线段 $AC$ 被点 $B$黄金分割,点 $B$ 为线段 $AC$ 的黄金分割点.$AB$ 与 $AC$(或 $BC$ 与 $AB$)的比称为黄金比.“黄金分割”给人以美感,它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用. 比如:我国的国歌歌词是散文式的自由体新诗,作曲家聂耳在谱曲时,创造性地将它谱成由 6 个长短不等的乐句组成的自由体乐段,歌曲高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置,音乐富有动力,让人感到无比振奋.
材料 2:意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现如果每对兔子每月能繁殖一对小兔子,每对兔子第一个月没有繁殖能力,但从第二个月以后便能每月生一对小兔子,假定这些兔子都没有死亡现象,那么从第一对刚出生的兔子开始第 1 个月有 1 对兔子,第 2 个月有 1 对兔子,从第 3 个月开始,每个月的兔子对数是前两个月之和. 由此得到数列: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,···$,这个数列即为斐波那契数列 (又称黄金分割数列), 可用 $F_n$ 表示第 $n$ 项 ($n$ 为正整数), 则 $F_1=1,F_2=1,···$,$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.$
【解决问题】
(1) 设材料 1 中 $AB=x$, 根据黄金比的定义列出关于 $x$ 的一元二次方程, 并计算黄金比的值; ($\sqrt{5}\approx2.236$, 结果精确到 0.001)
(2) 计算 $\dfrac{F_n}{F_{n+1}}$ 的值 ($n$ 依次取 $1∼9$ 的整数, 结果精确到 0.001), 观察各个结果的值, 并判断当 $n$ 足够大时, $\dfrac{F_n}{F_{n+1}}$ 是否趋向某个近似值 $t$, 并请给出证明.
答案
(1) 因为 $AB = x,AC = 1$, 所以 $BC = AC - AB = 1 - x$.因为$\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{AB}{AC}$, 所以$\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{x}{1}$, 所以 $1-x=x^2$, 所以关于 $x$ 的一元二次方程为 $x^2 + x - 1 = 0$. 解方程, 得$x_1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$,$x_2=-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$. 因为 $0＜x＜1$, 所以 $AB=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$, 所以黄金比的值$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$.
(2) 由题意, 得$\dfrac{F_1}{F_2}=1.000$,$\dfrac{F_2}{F_3}=0.500$,$\dfrac{F_3}{F_4}\approx0.667$,$\dfrac{F_4}{F_5}=0.600$,$\dfrac{F_5}{F_6}=0.625$,$\dfrac{F_6}{F_7}\approx0.615$,$\dfrac{F_7}{F_8}\approx0.619$,$\dfrac{F_8}{F_9}\approx0.618$,$\dfrac{F_9}{F_{10}}\approx0.618$. 当 $n$ 足够大时,$\dfrac{F_n}{F_{n+1}}$趋向某个近似值 $t$,且$t\approx0.618$. 证明如下: 因为 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, 所以$\dfrac{F_{n+2}}{F_{n+1}}=1+\dfrac{F_n}{F_{n+1}}$, 所以$\dfrac{1}{t}=1+t$, 即 $t^2 + t - 1 = 0$, 解得 $t_1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$,$t_2=-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$(不合题意,舍去).
(2) 由题意, 得$\dfrac{F_1}{F_2}=1.000$,$\dfrac{F_2}{F_3}=0.500$,$\dfrac{F_3}{F_4}\approx0.667$,$\dfrac{F_4}{F_5}=0.600$,$\dfrac{F_5}{F_6}=0.625$,$\dfrac{F_6}{F_7}\approx0.615$,$\dfrac{F_7}{F_8}\approx0.619$,$\dfrac{F_8}{F_9}\approx0.618$,$\dfrac{F_9}{F_{10}}\approx0.618$. 当 $n$ 足够大时,$\dfrac{F_n}{F_{n+1}}$趋向某个近似值 $t$,且$t\approx0.618$. 证明如下: 因为 $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$, 所以$\dfrac{F_{n+2}}{F_{n+1}}=1+\dfrac{F_n}{F_{n+1}}$, 所以$\dfrac{1}{t}=1+t$, 即 $t^2 + t - 1 = 0$, 解得 $t_1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$,$t_2=-\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$(不合题意,舍去).
