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1.（教材习题变式）下列图形中的角是圆周角的是 （
A.①②③
B.②④
C.②⑤
D.②
D
）A.①②③
B.②④
C.②⑤
D.②
答案
1. D
解析
【分析】判断一个角是否为圆周角，需严格依据圆周角的定义：顶点在圆上，且角的两边都与圆相交。我们逐个分析图形：①的顶点不在圆上，不符合；②顶点在圆上，两边都和圆相交，符合；③顶点在圆内，不符合；④的一边仅与圆交于顶点，另一边未相交，不符合；⑤的两边除顶点外未与圆相交，不符合。因此只有②是圆周角。
【解析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一分析各图形：
1. 图形①：角的顶点不在圆上，不满足圆周角定义，不是圆周角；
2. 图形②：角的顶点在圆上，且两边都与圆相交，满足圆周角定义，是圆周角；
3. 图形③：角的顶点在圆内，不满足圆周角定义，不是圆周角；
4. 图形④：角的一边仅与圆交于顶点，另一边未与圆相交，不满足圆周角定义，不是圆周角；
5. 图形⑤：角的两边除顶点外未与圆相交，不满足圆周角定义，不是圆周角。
综上，只有图形②是圆周角，对应选项D。
【答案】D
【知识点】圆周角的定义
【点评】本题考查圆周角的定义，核心是牢记“顶点在圆上、两边都与圆相交”两个关键条件，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，逐一分析各图形：
1. 图形①：角的顶点不在圆上，不满足圆周角定义，不是圆周角；
2. 图形②：角的顶点在圆上，且两边都与圆相交，满足圆周角定义，是圆周角；
3. 图形③：角的顶点在圆内，不满足圆周角定义，不是圆周角；
4. 图形④：角的一边仅与圆交于顶点，另一边未与圆相交，不满足圆周角定义，不是圆周角；
5. 图形⑤：角的两边除顶点外未与圆相交，不满足圆周角定义，不是圆周角。
综上，只有图形②是圆周角，对应选项D。
【答案】D
【知识点】圆周角的定义
【点评】本题考查圆周角的定义，核心是牢记“顶点在圆上、两边都与圆相交”两个关键条件，属于基础概念题，难度较低。
【难度系数】0.3
2. (2025·重庆)如图,点A、B、C在$\odot O$上,$∠ AOB=100°$,则$∠ C$的度数为 （
A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决本题，需运用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。观察图形可知，∠AOB是弧AB对应的圆心角，∠C是弧AB对应的圆周角，已知圆心角∠AOB的度数，直接代入定理即可计算出∠C的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
因为∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，
所以∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB。
已知∠AOB = 100°，代入得：
∠C = $\frac{1}{2}$×100° = 50°，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题直接考查圆周角定理的基础应用，属于简单题型，核心是识别同弧对应的圆心角与圆周角，适合巩固圆的基本性质知识点。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需运用圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。观察图形可知，∠AOB是弧AB对应的圆心角，∠C是弧AB对应的圆周角，已知圆心角∠AOB的度数，直接代入定理即可计算出∠C的度数。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
因为∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠C是弧AB所对的圆周角，
所以∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB。
已知∠AOB = 100°，代入得：
∠C = $\frac{1}{2}$×100° = 50°，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题直接考查圆周角定理的基础应用，属于简单题型，核心是识别同弧对应的圆心角与圆周角，适合巩固圆的基本性质知识点。
【难度系数】
0.7
3. (2025·山西) 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$C$、$D$ 是 $\odot O$ 上位于 $AB$ 异侧的两点，连接 $AD$、$CD$。若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ D$的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
3. B 解析:如图,连接OC.$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,AB为$\odot O$的直径,$\therefore ∠AOC=∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=90^{\circ },\therefore ∠D=\frac{1}{2}∠AOC=45^{\circ }$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合弧与圆心角的关系、圆周角定理进行推导：首先利用AB是直径得到平角∠AOB=180°，再根据等弧对应的圆心角相等求出∠AOC的度数，最后依据圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）计算∠D的度数。
【解析】
连接OC，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠AOB = 180°，
又
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠AOC = ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×180°=90°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠D是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴ ∠D = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，弧与圆心角的关系
【点评】
本题考查圆的基础性质，解题关键是利用等弧与圆心角的关系、圆周角定理逐步推导，属于难度较低的基础题，适合巩固圆的相关概念。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合弧与圆心角的关系、圆周角定理进行推导：首先利用AB是直径得到平角∠AOB=180°，再根据等弧对应的圆心角相等求出∠AOC的度数，最后依据圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半）计算∠D的度数。
【解析】
连接OC，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠AOB = 180°，
又
∵ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ ∠AOC = ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×180°=90°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠D是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴ ∠D = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}×90°=45°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，弧与圆心角的关系
【点评】
本题考查圆的基础性质，解题关键是利用等弧与圆心角的关系、圆周角定理逐步推导，属于难度较低的基础题，适合巩固圆的相关概念。
【难度系数】
0.7
4. 如图，点A、B、C均在$\odot O$上，当$∠ OAC=50^{\circ }$时，$∠ ABC$的度数为
$40^{\circ }$
.答案
4. $40^{\circ }$ 解析:$\because ∠OAC=50^{\circ },OA=OC,\therefore ∠OCA=∠OAC=50^{\circ },\therefore ∠AOC=180^{\circ }-∠OAC-∠OCA=180^{\circ }-50^{\circ }-50^{\circ }=80^{\circ },\therefore ∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×80^{\circ }=40^{\circ }.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用圆的半径相等得到等腰三角形OAC，结合已知角求出圆心角∠AOC；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可算出∠ABC的度数。
【解析】
∵OA、OC是⊙O的半径，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∴∠OCA=∠OAC=50°。
根据三角形内角和为180°，可得∠AOC=180°−∠OAC−∠OCA=180°−50°−50°=80°。
又
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ABC=½∠AOC=½×80°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础题型，核心考查等腰三角形性质和圆周角定理的应用，解题关键是明确圆心角与对应圆周角的关系，难度较低，是学生需掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先利用圆的半径相等得到等腰三角形OAC，结合已知角求出圆心角∠AOC；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可算出∠ABC的度数。
【解析】
∵OA、OC是⊙O的半径，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∴∠OCA=∠OAC=50°。
根据三角形内角和为180°，可得∠AOC=180°−∠OAC−∠OCA=180°−50°−50°=80°。
又
∵∠ABC是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ABC=½∠AOC=½×80°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础题型，核心考查等腰三角形性质和圆周角定理的应用，解题关键是明确圆心角与对应圆周角的关系，难度较低，是学生需掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.7
5. 如图，正方形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$E$ 是$\overset{\frown}{AD}$的中点，连接 $BE、CE$，则 $∠ ABE$ 的度数为
$22.5^{\circ }$
。答案
5. $22.5^{\circ }$ 解析:如图,连接OA、OD、OE.$\because$ 四边形ABCD是圆内接正方形,$\therefore ∠AOD=90^{\circ }$. $\because E$ 是$\overset{\frown}{AD}$的中点,$\therefore ∠AOE=45^{\circ },\therefore ∠ABE=22.5^{\circ }$.
解析
【分析】要计算∠ABE的度数，需结合圆内接正方形的中心角性质、弧中点的特点，利用圆周角定理求解。首先，正方形内接于圆时，对应的圆心角为90°；E是弧AD中点，可得到弧AE对应的圆心角，再根据圆周角定理（同弧所对圆周角是圆心角的一半），即可求出∠ABE的度数。
【解析】连接OA、OE，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠AOD = 360°÷4 = 90°，
∵E是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}$ = $\overset{\frown}{ED}$，
∴∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
又
∵∠ABE是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ABE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×45° = 22.5°。
【答案】22.5°
【知识点】圆内接正方形、圆周角定理、弧中点的性质
【点评】本题综合考查圆内接正方形的性质与圆周角定理，解题关键是利用正方形的中心角和弧中点的性质确定对应弧的圆心角，再转化为所求圆周角，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.6
【解析】连接OA、OE，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠AOD = 360°÷4 = 90°，
∵E是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AE}$ = $\overset{\frown}{ED}$，
∴∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×90° = 45°，
又
∵∠ABE是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ABE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×45° = 22.5°。
【答案】22.5°
【知识点】圆内接正方形、圆周角定理、弧中点的性质
【点评】本题综合考查圆内接正方形的性质与圆周角定理，解题关键是利用正方形的中心角和弧中点的性质确定对应弧的圆心角，再转化为所求圆周角，属于中等难度的几何题。
【难度系数】0.6
6. 如图,$\odot O$的弦$AB$、$CD$的延长线相交于点$P$,且$AB=CD$,求证:$PA=PC$.
答案
6. 证明:连接AC.$\because AB=CD,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CD}$,即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB},\therefore ∠C=∠A,\therefore PA=PC.$
解析
【分析】要证明PA=PC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明∠A=∠C。在同圆中，相等的弦对应相等的弧，已知AB=CD可推出弧AB=弧CD，结合公共弧BD，能得到弧AD=弧CB；再利用同圆中相等的弧对应相等的圆周角，即可得到∠C=∠A，进而证得结论。
【解析】连接AC。
∵ AB=CD（已知），
∴ 在⊙O中，相等的弦所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$（等式的性质），
即 $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$，
又
∵ 在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，
∴ ∠C=∠A，
∴ PA=PC（等角对等边）。
【答案】证明：连接AC。
∵ AB=CD，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ ∠C=∠A，
∴ PA=PC。
【知识点】圆的弦弧关系，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】本题综合考查圆的基本性质与等腰三角形的判定，核心是利用“等弦对等弧”“等弧对等圆周角”转化角的关系，思路直接，属于基础几何证明题。
【难度系数】0.5
【解析】连接AC。
∵ AB=CD（已知），
∴ 在⊙O中，相等的弦所对的弧相等，即$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{BD}$（等式的性质），
即 $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$，
又
∵ 在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，
∴ ∠C=∠A，
∴ PA=PC（等角对等边）。
【答案】证明：连接AC。
∵ AB=CD，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ ∠C=∠A，
∴ PA=PC。
【知识点】圆的弦弧关系，圆周角定理，等腰三角形判定
【点评】本题综合考查圆的基本性质与等腰三角形的判定，核心是利用“等弦对等弧”“等弧对等圆周角”转化角的关系，思路直接，属于基础几何证明题。
【难度系数】0.5
