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三、解答题(共40分)
11. (10分) 如图,在$\odot O$中,$AB$、$CD$是直径,$CE // AB$且交$\odot O$于点$E$,求证:$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$.
11. (10分) 如图,在$\odot O$中,$AB$、$CD$是直径,$CE // AB$且交$\odot O$于点$E$,求证:$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$.
答案
11. 证明:连接 OE.
∵$CE// AB$,
∴$∠DOB=∠C$,$∠BOE=∠E$.
∵$OC=OE$,
∴$∠C=∠E$,
∴$∠DOB=∠BOE$,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$.
∵$CE// AB$,
∴$∠DOB=∠C$,$∠BOE=∠E$.
∵$OC=OE$,
∴$∠C=∠E$,
∴$∠DOB=∠BOE$,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$.
解析
【分析】要证明$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$，根据“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”，需证明圆心角$∠ DOB = ∠ BOE$。已知$CE// AB$，利用平行线的性质可得到这两个角分别与$∠ C$、$∠ E$相等；再结合同圆半径相等得到$OC=OE$，由等腰三角形底角相等推出$∠ C=∠ E$，通过等量代换得到$∠ DOB=∠ BOE$，即可完成证明。
【解析】证明：连接$OE$。
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠ DOB = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
$∠ BOE = ∠ E$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because OC=OE$（$\odot O$的半径相等），
$\therefore ∠ C = ∠ E$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ DOB = ∠ BOE$（等量代换），
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$（同圆中相等的圆心角所对的弧相等）。
【答案】$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$得证。
【知识点】圆心角与弧的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】本题为圆的基础证明题，核心是利用圆心角与弧的对应关系，结合平行线和等腰三角形的性质转化角，逻辑清晰，侧重考察圆的基本性质的应用，属于常规题型。
【难度系数】0.6
【解析】证明：连接$OE$。
$\because CE// AB$，
$\therefore ∠ DOB = ∠ C$（两直线平行，同位角相等），
$∠ BOE = ∠ E$（两直线平行，内错角相等）。
又$\because OC=OE$（$\odot O$的半径相等），
$\therefore ∠ C = ∠ E$（等腰三角形两底角相等），
$\therefore ∠ DOB = ∠ BOE$（等量代换），
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$（同圆中相等的圆心角所对的弧相等）。
【答案】$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BE}$得证。
【知识点】圆心角与弧的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】本题为圆的基础证明题，核心是利用圆心角与弧的对应关系，结合平行线和等腰三角形的性质转化角，逻辑清晰，侧重考察圆的基本性质的应用，属于常规题型。
【难度系数】0.6
12. (10 分)(1)请用直尺和圆规作出$△ ABC$的外接圆.(不写作法,保留作图痕迹)
(2) 当$AB=AC=4\sqrt{5}$,$BC=16$,求$△ ABC$外接圆的半径.
(2) 当$AB=AC=4\sqrt{5}$,$BC=16$,求$△ ABC$外接圆的半径.
答案
12. (1)如图,分别作 AC、BC 的垂直平分线,两直线交于点 O,则点 O 为$△ABC$的外接圆的圆心,$\odot O$即为所求.
(2)如图,设 BC 的垂直平分线交 BC 于点 D,连接 OC.
∵$AB=AC$,
∴点 A 在 BC 的垂直平分线上,即点 A 在直线 OD 上,
∴$OA⊥BC$,
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×16=8$.
∵$AC=4\sqrt{5}$,
∴$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=4$. 设$OA=OC=r$,则$OD=r-4$. 在$Rt△ODC$中,$OC^2=CD^2+OD^2$,即$r^2=8^2+(r-4)^2$,解得$r=10$,
∴$△ABC$外接圆的半径为 10.
解析
【分析】
要作出△ABC的外接圆，需先找到其外心（三角形三边垂直平分线的交点），通过尺规作AC、BC的垂直平分线，交点即为外心，再以该点到顶点的距离为半径画圆即可；求外接圆半径时，利用等腰三角形三线合一的性质，确定外心在BC的垂直平分线上，结合勾股定理建立方程求解。
【解析】
(1) 分别用直尺和圆规作AC、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，⊙O即为△ABC的外接圆，作图痕迹保留垂直平分线及圆的痕迹。
(2) 设BC的垂直平分线交BC于点D，连接OC。
∵ AB=AC，
∴ 点A在BC的垂直平分线上，即A、O、D三点共线，且AD⊥BC，
∴ CD = ½BC = ½×16 = 8。
在Rt△ACD中，AC=4√5，CD=8，
由勾股定理得：AD = √(AC² - CD²) = √[(4√5)² - 8²] = √(80 - 64) = 4。
设△ABC外接圆的半径为r，则OA=OC=r，OD = |4 - r|，
在Rt△ODC中，由勾股定理得：OC² = CD² + OD²，
即 r² = 8² + (r - 4)²，
展开得：r² = 64 + r² - 8r + 16，
化简得：8r = 80，
解得：r = 10。
∴ △ABC外接圆的半径为10。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 10
【知识点】
三角形外接圆、垂直平分线、勾股定理
【点评】
本题综合考查尺规作图与几何计算，利用等腰三角形性质简化外心位置的确定，结合勾股定理列方程求解半径，属于中等难度的几何基础题，学生需掌握外心的定义及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
要作出△ABC的外接圆，需先找到其外心（三角形三边垂直平分线的交点），通过尺规作AC、BC的垂直平分线，交点即为外心，再以该点到顶点的距离为半径画圆即可；求外接圆半径时，利用等腰三角形三线合一的性质，确定外心在BC的垂直平分线上，结合勾股定理建立方程求解。
【解析】
(1) 分别用直尺和圆规作AC、BC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA长为半径作圆，⊙O即为△ABC的外接圆，作图痕迹保留垂直平分线及圆的痕迹。
(2) 设BC的垂直平分线交BC于点D，连接OC。
∵ AB=AC，
∴ 点A在BC的垂直平分线上，即A、O、D三点共线，且AD⊥BC，
∴ CD = ½BC = ½×16 = 8。
在Rt△ACD中，AC=4√5，CD=8，
由勾股定理得：AD = √(AC² - CD²) = √[(4√5)² - 8²] = √(80 - 64) = 4。
设△ABC外接圆的半径为r，则OA=OC=r，OD = |4 - r|，
在Rt△ODC中，由勾股定理得：OC² = CD² + OD²，
即 r² = 8² + (r - 4)²，
展开得：r² = 64 + r² - 8r + 16，
化简得：8r = 80，
解得：r = 10。
∴ △ABC外接圆的半径为10。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 10
【知识点】
三角形外接圆、垂直平分线、勾股定理
【点评】
本题综合考查尺规作图与几何计算，利用等腰三角形性质简化外心位置的确定，结合勾股定理列方程求解半径，属于中等难度的几何基础题，学生需掌握外心的定义及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.6
13. (10 分) 如图, 在 $△ A B C$ 中, $A B=A C=2 \sqrt{10}, B C=4, \odot O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆.
(1) 求 $\odot O$ 的半径.
(2) 若在同一平面内的 $\odot P$ 也经过 $B 、 C$ 两点, 且 $P A=2$, 请直接写出 $\odot P$ 的半径.
(1) 求 $\odot O$ 的半径.
(2) 若在同一平面内的 $\odot P$ 也经过 $B 、 C$ 两点, 且 $P A=2$, 请直接写出 $\odot P$ 的半径.
答案
13. (1)如图,过点 A 作$AD⊥BC$,垂足为 D,连接 OB、OC.
∵$AB=AC$,$AD⊥BC$,
∴AD 垂直平分 BC.
∵$OB=OC$,
∴点 O 在 BC 的垂直平分线上,即点 O 在 AD 上.
∵$BC=4$,
∴$BD=\frac{1}{2}BC=2$.
∵在$Rt△ABD$中,$∠ADB=90°$,$AB=2\sqrt{10}$,
∴$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=6$. 设$OA=OB=r$,则$OD=6-r$. 在$Rt△OBD$中,$OD^2+BD^2=OB^2$,即$(6-r)^2+2^2=r^2$,解得$r=\frac{10}{3}$,
∴$\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$.
(2)若$\odot P$也经过 B、C 两点,则点 P 在直线 AD 上,$PA=2$,则$PD=6-2=4$或$6+2=8$,$BD=2$,
∴$PB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$或$PB=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$. 综上所述,$\odot P$的半径的长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{17}$.
∵$AB=AC$,$AD⊥BC$,
∴AD 垂直平分 BC.
∵$OB=OC$,
∴点 O 在 BC 的垂直平分线上,即点 O 在 AD 上.
∵$BC=4$,
∴$BD=\frac{1}{2}BC=2$.
∵在$Rt△ABD$中,$∠ADB=90°$,$AB=2\sqrt{10}$,
∴$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=6$. 设$OA=OB=r$,则$OD=6-r$. 在$Rt△OBD$中,$OD^2+BD^2=OB^2$,即$(6-r)^2+2^2=r^2$,解得$r=\frac{10}{3}$,
∴$\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$.
(2)若$\odot P$也经过 B、C 两点,则点 P 在直线 AD 上,$PA=2$,则$PD=6-2=4$或$6+2=8$,$BD=2$,
∴$PB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$或$PB=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$. 综上所述,$\odot P$的半径的长为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{17}$.
解析
【分析】
第(1)问：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，作AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一，AD是BC的中垂线，而外接圆圆心O在BC的中垂线上，故O在AD上。先通过勾股定理算出AD的长度，再设外接圆半径为r，在Rt△OBD中根据勾股定理列方程求解半径。
第(2)问：⊙P经过B、C两点，根据圆的性质，圆心P在BC的中垂线AD上，结合PA=2，需分P在A与O之间、P在A的另一侧两种情况，分别计算PD的长度，再用勾股定理求出PB，即为⊙P的半径。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC。
又
∵OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，即点O在AD上。
∵BC=4，
∴BD=½BC=2。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=2√10，
∴AD=√(AB² - BD²)=√[(2√10)² - 2²]=√(40 - 4)=6。
设OA=OB=r，则OD=6 - r。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD² + BD² = OB²，
即(6 - r)² + 2² = r²，
展开化简得：36 -12r + r² +4 = r²，解得r=10/3。
∴⊙O的半径为10/3。
(2)
∵⊙P经过B、C两点，
∴点P在直线AD上。已知PA=2，AD=6，分两种情况：
① 当P在线段AD上时，PD=AD - PA=6-2=4，
在Rt△PBD中，PB=√(4² +2²)=2√5；
② 当P在线段AD的延长线上（A的另一侧）时，PD=AD + PA=6+2=8，
在Rt△PBD中，PB=√(8² +2²)=2√17。
综上，⊙P的半径为2√5或2√17。
【答案】
(1) ⊙O的半径为$\frac{10}{3}$；(2) ⊙P的半径为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{17}$。
【知识点】
等腰三角形性质，外接圆半径，勾股定理
【点评】
本题考查等腰三角形外接圆半径的计算，利用等腰三角形三线合一和勾股定理是核心方法；第(2)问需分类讨论圆心位置，避免漏解，体现了数学的严谨性。
【难度系数】
0.6
第(1)问：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，作AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一，AD是BC的中垂线，而外接圆圆心O在BC的中垂线上，故O在AD上。先通过勾股定理算出AD的长度，再设外接圆半径为r，在Rt△OBD中根据勾股定理列方程求解半径。
第(2)问：⊙P经过B、C两点，根据圆的性质，圆心P在BC的中垂线AD上，结合PA=2，需分P在A与O之间、P在A的另一侧两种情况，分别计算PD的长度，再用勾股定理求出PB，即为⊙P的半径。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC。
又
∵OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，即点O在AD上。
∵BC=4，
∴BD=½BC=2。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=2√10，
∴AD=√(AB² - BD²)=√[(2√10)² - 2²]=√(40 - 4)=6。
设OA=OB=r，则OD=6 - r。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD² + BD² = OB²，
即(6 - r)² + 2² = r²，
展开化简得：36 -12r + r² +4 = r²，解得r=10/3。
∴⊙O的半径为10/3。
(2)
∵⊙P经过B、C两点，
∴点P在直线AD上。已知PA=2，AD=6，分两种情况：
① 当P在线段AD上时，PD=AD - PA=6-2=4，
在Rt△PBD中，PB=√(4² +2²)=2√5；
② 当P在线段AD的延长线上（A的另一侧）时，PD=AD + PA=6+2=8，
在Rt△PBD中，PB=√(8² +2²)=2√17。
综上，⊙P的半径为2√5或2√17。
【答案】
(1) ⊙O的半径为$\frac{10}{3}$；(2) ⊙P的半径为$2\sqrt{5}$或$2\sqrt{17}$。
【知识点】
等腰三角形性质，外接圆半径，勾股定理
【点评】
本题考查等腰三角形外接圆半径的计算，利用等腰三角形三线合一和勾股定理是核心方法；第(2)问需分类讨论圆心位置，避免漏解，体现了数学的严谨性。
【难度系数】
0.6
14. (10 分)【新情境】如图,某大桥的拱桥线均为相等的圆弧,其中两拱脚之间的水平距离 $L=$$40\ \mathrm{m}$,弓形的高度 $S=10\ \mathrm{m}$.
(1)求桥拱圆弧所在圆的半径.
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图,$AB$ 为船身宽,为保证安全,点 $A$、$B$与其正上方拱桥线上的对应点 $E$、$F$ 的距离均应不小于 2 m. 某日,测得拱顶 $C$ 点高出水面 15 m. 现有一艘货轮露出水面部分的高度为 $13.2\ \mathrm{m}$,$AB=14\ \mathrm{m}$. 该货轮每增加货物 10 t,船身就会下降 0.1 m,请问:要保证该货轮安全通过大桥,是否需要提前增加货物? 如果需要,至少需要增加多少吨?
(1)求桥拱圆弧所在圆的半径.
(2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图,$AB$ 为船身宽,为保证安全,点 $A$、$B$与其正上方拱桥线上的对应点 $E$、$F$ 的距离均应不小于 2 m. 某日,测得拱顶 $C$ 点高出水面 15 m. 现有一艘货轮露出水面部分的高度为 $13.2\ \mathrm{m}$,$AB=14\ \mathrm{m}$. 该货轮每增加货物 10 t,船身就会下降 0.1 m,请问:要保证该货轮安全通过大桥,是否需要提前增加货物? 如果需要,至少需要增加多少吨?
答案
14. (1)如图 1,设桥拱圆弧所在圆的圆心为 O,连接 OM、OQ. 由题意可知,$MP=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×40=20$(m). 设$OQ=OM=x$ m,则$OP=OQ-PQ=(x-10)$m. 在$Rt△OPM$中,$OP^2+MP^2=OM^2$,
∴$(x-10)^2+20^2=x^2$,解得$x=25$,即桥拱圆弧所在圆的半径为 25 m.
(2)如图 2,设桥拱圆弧所在圆的圆心为 O,连接 OE、EF,连接 OC 交 EF 于点 G. 由题意可知,四边形 ABFE 是矩形,
∴$EF=AB=14$ m,
∴$EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×14=7$(m). 由(1)知,$OE=OC=25$ m,
∴$OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=\sqrt{25^2-7^2}=24$(m),
∴$CG=OC-OG=25-24=1$(m). 要保证该货轮安全通过大桥,则货轮露出水面部分的高度应不超过$15-1-2=12$(m).
∵$13.2＞12$,
∴需要提前增加货物,则至少需要增加$\frac{13.2-12}{0.1}×10=120$(t). 答:要保证该货轮安全通过大桥,需要提前增加货物,至少需要增加 120 t.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用垂径定理和勾股定理求解圆的半径，思路是设出圆的半径，结合已知的拱脚水平距离和弓形高度，构造直角三角形列方程；第(2)问先利用垂径定理求出货轮对应位置的拱高，再计算货轮安全通过所需的最大高度，对比现有货轮露出水面的高度，结合船身下降与货物重量的关系，计算需要增加的货物量。
【解析】
(1) 设桥拱圆弧所在圆的圆心为$O$，连接$OM$、$OQ$。
由题意，两拱脚水平距离$MN=L=40\ \mathrm{m}$，则$MP=\frac{1}{2}MN=20\ \mathrm{m}$，弓形高度$PQ=S=10\ \mathrm{m}$。
设圆的半径为$x\ \mathrm{m}$，则$OM=OQ=x\ \mathrm{m}$，$OP=OQ-PQ=(x-10)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPM$中，根据勾股定理：$OP^2 + MP^2 = OM^2$，
代入得：$(x - 10)^2 + 20^2 = x^2$，
展开计算：$x^2 - 20x + 100 + 400 = x^2$，
化简得：$-20x + 500 = 0$，解得$x=25$。
即桥拱圆弧所在圆的半径为$25\ \mathrm{m}$。
(2) 设桥拱圆弧所在圆的圆心为$O$，连接$OE$、$EF$，$OC$交$EF$于点$G$。
由题意，四边形$ABFE$是矩形，故$EF=AB=14\ \mathrm{m}$，
根据垂径定理，$EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×14=7\ \mathrm{m}$。
已知圆半径$OE=OC=25\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，由勾股定理：
$OG=\sqrt{OE^2 - EG^2}=\sqrt{25^2 - 7^2}=\sqrt{625 - 49}=\sqrt{576}=24\ \mathrm{m}$，
则$CG=OC - OG=25 - 24=1\ \mathrm{m}$。
要保证安全，点$A$、$B$到对应点$E$、$F$的距离不小于$2\ \mathrm{m}$，且拱顶$C$高出水面$15\ \mathrm{m}$，故货轮露出水面部分的最大允许高度为：$15 - CG - 2 = 15 - 1 - 2 = 12\ \mathrm{m}$。
现有货轮露出水面高度为$13.2\ \mathrm{m}$，$13.2＞12$，需要增加货物。
每增加$10\ \mathrm{t}$船身下降$0.1\ \mathrm{m}$，需要下降的高度为$13.2 - 12 = 1.2\ \mathrm{m}$，
则需要增加的货物量为：$\frac{1.2}{0.1}×10 = 120\ \mathrm{t}$。
【答案】
(1) 桥拱圆弧所在圆的半径为$25\ \mathrm{m}$；
(2) 需要提前增加货物，至少需要增加$120\ \mathrm{t}$。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的实际应用
【点评】
本题结合大桥拱桥的实际情境，考查垂径定理和勾股定理的综合运用，将实际问题转化为几何问题，需要学生具备一定的建模能力，同时结合货物重量与船身下降的关系，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问利用垂径定理和勾股定理求解圆的半径，思路是设出圆的半径，结合已知的拱脚水平距离和弓形高度，构造直角三角形列方程；第(2)问先利用垂径定理求出货轮对应位置的拱高，再计算货轮安全通过所需的最大高度，对比现有货轮露出水面的高度，结合船身下降与货物重量的关系，计算需要增加的货物量。
【解析】
(1) 设桥拱圆弧所在圆的圆心为$O$，连接$OM$、$OQ$。
由题意，两拱脚水平距离$MN=L=40\ \mathrm{m}$，则$MP=\frac{1}{2}MN=20\ \mathrm{m}$，弓形高度$PQ=S=10\ \mathrm{m}$。
设圆的半径为$x\ \mathrm{m}$，则$OM=OQ=x\ \mathrm{m}$，$OP=OQ-PQ=(x-10)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OPM$中，根据勾股定理：$OP^2 + MP^2 = OM^2$，
代入得：$(x - 10)^2 + 20^2 = x^2$，
展开计算：$x^2 - 20x + 100 + 400 = x^2$，
化简得：$-20x + 500 = 0$，解得$x=25$。
即桥拱圆弧所在圆的半径为$25\ \mathrm{m}$。
(2) 设桥拱圆弧所在圆的圆心为$O$，连接$OE$、$EF$，$OC$交$EF$于点$G$。
由题意，四边形$ABFE$是矩形，故$EF=AB=14\ \mathrm{m}$，
根据垂径定理，$EG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×14=7\ \mathrm{m}$。
已知圆半径$OE=OC=25\ \mathrm{m}$，在$\mathrm{Rt}△ OEG$中，由勾股定理：
$OG=\sqrt{OE^2 - EG^2}=\sqrt{25^2 - 7^2}=\sqrt{625 - 49}=\sqrt{576}=24\ \mathrm{m}$，
则$CG=OC - OG=25 - 24=1\ \mathrm{m}$。
要保证安全，点$A$、$B$到对应点$E$、$F$的距离不小于$2\ \mathrm{m}$，且拱顶$C$高出水面$15\ \mathrm{m}$，故货轮露出水面部分的最大允许高度为：$15 - CG - 2 = 15 - 1 - 2 = 12\ \mathrm{m}$。
现有货轮露出水面高度为$13.2\ \mathrm{m}$，$13.2＞12$，需要增加货物。
每增加$10\ \mathrm{t}$船身下降$0.1\ \mathrm{m}$，需要下降的高度为$13.2 - 12 = 1.2\ \mathrm{m}$，
则需要增加的货物量为：$\frac{1.2}{0.1}×10 = 120\ \mathrm{t}$。
【答案】
(1) 桥拱圆弧所在圆的半径为$25\ \mathrm{m}$；
(2) 需要提前增加货物，至少需要增加$120\ \mathrm{t}$。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的实际应用
【点评】
本题结合大桥拱桥的实际情境，考查垂径定理和勾股定理的综合运用，将实际问题转化为几何问题，需要学生具备一定的建模能力，同时结合货物重量与船身下降的关系，体现了数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.5
