7. 如图，AB、AC 是$\odot O$的弦，OB、OC 是$\odot O$的半径，P 为 OB 上任意一点（点 P 不与点 B 重合），连接 CP. 若$∠ BAC = 70°$，则$∠ BPC$的度数可能是（）

A.$70°$
B.$105°$
C.$125°$
D.$155°$

7. D 解析:如图,连接BC.$\because ∠BAC=70^{\circ },\therefore ∠BOC=2∠BAC=140^{\circ }$.$\because OB=OC,\therefore ∠OBC=∠OCB=\frac{1}{2}(180^{\circ }-∠BOC)=20^{\circ }$.$\because P$ 为 OB 上任意一点(点 P 不与点 B 重合),$\therefore 0^{\circ }≤∠OCP＜20^{\circ }$.$\because ∠BPC=∠BOC+∠OCP=140^{\circ }+∠OCP,\therefore 140^{\circ }≤∠BPC＜160^{\circ }$,只有 D 选项符合题意.

【分析】要解决这道题，首先连接辅助线BC，利用圆周角定理求出圆心角∠BOC的度数；再结合等腰三角形性质算出∠OCB的度数，确定∠OCP的取值范围；最后利用三角形外角的性质，推导∠BPC的取值范围，从而选出符合条件的选项。
【解析】连接BC。
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠BAC=70°，所以∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
2. 因为OB、OC是⊙O的半径，所以OB=OC，△OBC是等腰三角形。根据三角形内角和为180°，可得∠OCB=(180°-∠BOC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
3. 因为P为OB上任意一点（不与B重合），所以点P在OB上移动时，∠OCP的取值范围是0°≤∠OCP＜20°。
4. 根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在△OPC中，∠BPC是外角，所以∠BPC=∠BOC + ∠OCP=140°+∠OCP。
5. 结合∠OCP的范围，可得∠BPC的取值范围是140°≤∠BPC＜160°。
6. 观察选项，只有155°在这个范围内，因此选D。
【答案】D
【知识点】圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】本题综合考查圆的圆周角定理、等腰三角形性质及三角形外角性质，解题关键是通过辅助线建立圆心角与圆周角的关系，再推导目标角的取值范围，属于中等难度的几何题，需要学生熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.5

8. 已知点$A$、$B$、$C$在圆上，若弦$AB$的长等于圆半径的$\sqrt{2}$倍，则$∠ ACB$的度数为.

8. $45^{\circ }$或$135^{\circ }$ 解析:如图,$\because$ 弦 AB 的长等于圆半径的$\sqrt{2}$倍,即$AB=\sqrt{2}OA=\sqrt{2}OB,\therefore OA^{2}+OB^{2}=AB^{2},\therefore ∠AOB=90^{\circ }$. 当点 C 在优弧 AB 上时,$∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB=45^{\circ }$;当点 C 在劣弧 AB 上时,$∠AC'B+∠ACB=180^{\circ },\therefore ∠AC'B=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$. 综上所述,$∠ACB$的度数是$45^{\circ }$或$135^{\circ }$.

【分析】
要解决本题，需结合圆的相关性质逐步推导：首先根据弦长与半径的关系，利用勾股定理逆定理求出圆心角∠AOB的度数；再考虑点C在圆上的位置有两种（优弧AB、劣弧AB），通过分类讨论，结合圆周角定理或圆内接四边形的性质计算∠ACB的度数，避免漏解。
【解析】
设圆O的半径为r，则OA=OB=r。
已知弦AB的长等于圆半径的√2倍，即AB=√2 r，
计算得：OA² + OB² = r² + r² = 2r²，AB²=(√2 r)²=2r²，
因此OA² + OB² = AB²，根据勾股定理逆定理，△AOB为直角三角形，且∠AOB=90°。
分两种情况讨论：
1. 当点C在优弧AB上时，∠ACB是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠ACB = 1/2 ∠AOB = 1/2 × 90° = 45°；
2. 当点C在劣弧AB上时，∠ACB是弧ACB所对的圆周角，此时弧ACB对应的圆心角为360° - ∠AOB = 270°，根据圆周角定理，∠ACB = 1/2 × 270° = 135°；也可利用圆内接四边形对角互补，优弧AB上的圆周角为45°，故劣弧AB上的圆周角为180° - 45° = 135°。
综上，∠ACB的度数为45°或135°。
【答案】
$45^{\circ }$或$135^{\circ }$

【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心考查圆周角与圆心角的关系，关键在于运用分类讨论思想，注意点C在圆上的两种位置，避免漏解，是学生易出错的常规题型。
【难度系数】
0.5

9. 如图,矩形$OABC$的边$OA$、$OC$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上,点$D$在$OA$的延长线上,若点$A$的坐标为$(2,0)$,点$D$的坐标为$(4,0)$,以点$O$为圆心、$OD$的长为半径的弧经过点$B$,交$y$轴正半轴于点$E$,连接$DE$、$BE$,则$∠ BED$的度数为.

9. $30^{\circ }$ 解析:连接OB、BD.$\because$ 点A(2,0)、D(4,0),四边形OABC是矩形,$\therefore OA=2,OD=4,BA⊥OD,\therefore OA=AD,\therefore OB=BD$.$\because OB=OD,\therefore OB=BD=OD,\therefore △OBD$是等边三角形,$\therefore ∠BOD=60^{\circ },\therefore ∠BED=\frac{1}{2}∠BOD=\frac{1}{2}×60^{\circ }=30^{\circ }$.

【分析】
要计算∠BED的度数，需结合矩形性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定以及圆周角定理。首先连接OB，利用已知坐标推出线段关系得到等边三角形，求出圆心角∠BOD，再根据圆周角定理计算圆周角∠BED。
【解析】
连接OB、BD。
1. 由点A(2,0)、D(4,0)，可得OA=2，OD=4；
2. 因为四边形OABC是矩形，所以BA⊥OD，又AD=OD-OA=4-2=2，故OA=AD，即BA是OD的垂直平分线，因此OB=BD；
3. 由于OB和OD都是⊙O的半径，所以OB=OD，结合OB=BD，得OB=BD=OD，即△OBD是等边三角形，因此∠BOD=60°；
4. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，∠BED是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，所以∠BED=½∠BOD=½×60°=30°。
【答案】
30°
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定、圆周角定理
【点评】
本题综合考查多个几何知识点的应用，核心是通过线段关系构造等边三角形，再利用圆周角定理求解角度，需熟练掌握相关几何定理的推导与应用。
【难度系数】
0.5

10. 如图,在扇形$AOB$中,点$C$、$D$在$\overset{\frown}{AB}$上,连接$AD$、$BC$交于点$E$.若$∠ AOB=120°$,$\overset{\frown}{CD}$的度数为$50°$,则$∠ AEB$的度数为.

10. $145^{\circ }$ 解析:作$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角$∠APB$,连接OC、OD、BD.$\because ∠APB=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×120^{\circ }=60^{\circ },\therefore ∠ADB=180^{\circ }-∠APB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.$\because \overset{\frown}{CD}$的度数为$50^{\circ },\therefore ∠COD=50^{\circ },\therefore ∠CBD=\frac{1}{2}∠COD=25^{\circ },\therefore ∠AEB=∠ADB+∠EBD=120^{\circ }+25^{\circ }=145^{\circ }$.

【分析】要计算∠AEB的度数，需结合圆周角定理和三角形外角的性质。首先利用“弧的度数等于对应圆心角的度数”，结合圆周角定理求出相关圆周角，再根据三角形外角性质将所求角转化为两个已知角的和，即可得出结果。
【解析】
1. 由弧与圆心角的关系：弧CD的度数为50°，则对应圆心角∠COD=50°。根据圆周角定理（同弧所对圆周角等于圆心角的一半），得∠CBD=½∠COD=½×50°=25°。
2. 同理，弧AB对应圆心角∠AOB=120°，故弧AB度数为120°，优弧AB度数为360°-120°=240°。再由圆周角定理，优弧AB所对圆周角∠ADB=½×240°=120°。
3. 在△BED中，∠AEB是外角，根据三角形外角性质（三角形外角等于不相邻两内角和），得∠AEB=∠ADB+∠CBD=120°+25°=145°。
【答案】145°
【知识点】圆周角定理、三角形外角性质、圆心角与弧的关系
【点评】本题综合考查圆周角定理和三角形外角性质的应用，核心是找到对应弧的圆周角，利用外角性质转化角度，属于几何基础题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.5

11. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,弦$CD ⊥ AB$于点$E$,连接$DO$并延长交$\odot O$于点$F$,连接$AF$,$∠ AFD = ∠ CDF$.
(1)求证:$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CF}$.
(2)连接$AC$,若$AB = 12$,求$AC$的长.

11. (1)证明:$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径,$CD⊥AB,\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$.$\because ∠AFD=∠CDF,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CF},\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF}$.
(2)连接 OC.$\because \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CF},\therefore ∠AOD=∠AOC=∠COF$.$\because DF$ 是直径,$\therefore ∠AOD=∠AOC=∠COF=60^{\circ }$. 又$\because OA=OC,\therefore △AOC$是等边三角形,$\therefore AC=OA=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$.

【分析】
要解决本题，第一问需利用垂径定理得到弧AC与弧AD的关系，再结合圆周角定理中“相等圆周角所对弧相等”的性质，完成弧相等的证明；第二问通过连接半径OC，利用弧与圆心角的对应关系确定圆心角度数，结合等边三角形的判定求出AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的弧，
∴ $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD}$。
又
∵ 在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，
∠AFD对$\overset{\frown}{AD}$，∠CDF对$\overset{\frown}{CF}$，且∠AFD=∠CDF，
∴ $\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CF}$，
因此 $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CF}$。
(2) 解：
连接OC，
由(1)得 $\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CF}$，
∵ DF是⊙O的直径，
∴ $\overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{CF} = 180°$（半圆对应的弧为180°），
∴ 对应圆心角：$∠ AOD = ∠ AOC = ∠ COF = \frac{180°}{3} = 60°$。
又
∵ OA=OC（⊙O的半径相等），
∴ △AOC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ AC=OA。
∵ AB=12，AB是直径，
∴ OA=$\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×12 = 6$，
∴ AC=6。
【答案】
(1) 证明成立；(2) AC的长为6。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查圆的核心性质与等边三角形的判定，解题关键是利用弧、圆心角、圆周角的关系推导角度，进而求解线段长度，需熟练掌握圆的相关定理。
【难度系数】
0.6

12. 如图是一个 $6 × 6$ 的正方形网格，$A$、$B$、$O$ 均为格点，$∠ AOB$ 是$\overgroup{AB}$所对圆心角. 请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母.
(1) 在图 1 中画出一个$\overgroup{AB}$所对的圆周角$∠ ACB$，且 $C$ 是格点.
(2) 在图 2 中画出一个$\overgroup{AB}$所在圆的圆周角$∠ DEF$，且$∠ DEF = \dfrac{3}{2}∠ ACB$，其中 $C$ 为(1)中所画的点.

12. (1) 如图 1,$∠ACB$ 即为所求.

(2) 如图 2,$∠DEF$ 即为所求.

【分析】
(1) 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，要画$\overgroup{AB}$所对的圆周角，需找到格点$C$，使$C$在$\overgroup{AB}$所在的圆上（圆心为$O$，半径为$OA$），此时$∠ ACB$即为$\overgroup{AB}$的圆周角。观察网格，图1中$C$点满足$OC=OA$，符合要求。
(2) 由(1)知$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB$，要使$∠ DEF=\frac{3}{2}∠ ACB$，则$∠ DEF=\frac{3}{4}∠ AOB$，结合圆周角定理，在图2中找到格点$E$、$F$，构造出满足度数要求的圆周角$∠ DEF$。
【解析】
(1) 在图1中，确定格点$C$（满足$OC=OA$，即$C$在$\overgroup{AB}$所在圆上），连接$AC$、$BC$，则$∠ ACB$就是$\overgroup{AB}$所对的圆周角，符合题目要求。
(2) 在图2中，找到格点$E$、$F$，连接$DE$、$EF$，得到$∠ DEF$，该角满足$∠ DEF=\frac{3}{2}∠ ACB$，符合题目要求。
【答案】
(1) 如图1，$∠ ACB$即为所求；
(2) 如图2，$∠ DEF$即为所求。
【知识点】
圆周角定理，格点作图
【点评】
本题结合网格考查圆周角定理的应用，需理解圆心角与圆周角的关系，利用网格格点特征确定点的位置，锻炼几何作图与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.5