登录
1. (教材例题变式)如图,AB 是$\odot O$的直径,$∠ BAC=50^{\circ }$,则$∠ D$的度数为 （
A.$20^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$80^{\circ }$
B
）A.$20^{\circ }$
B.$40^{\circ }$
C.$50^{\circ }$
D.$80^{\circ }$
答案
1. B 解析:
∵AB 是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°.
∵∠BAC=50°,
∴∠B=40°,
∴∠D=∠B=40°.
∵AB 是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠B=90°.
∵∠BAC=50°,
∴∠B=40°,
∴∠D=∠B=40°.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用“直径所对的圆周角是直角”的性质，结合直角三角形两锐角互余算出∠B的度数；再根据“同弧所对的圆周角相等”，可知∠D和∠B相等，进而求出∠D的度数。
【解析】
1. 因为AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角，所以∠ACB=90°；
2. 在Rt△ACB中，直角三角形两锐角互余，因此∠BAC + ∠B = 90°，已知∠BAC=50°，代入得∠B=90°-50°=40°；
3. 又因为∠D和∠B都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，所以∠D=∠B=40°，故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直径的性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，核心考查直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的知识点，解题思路清晰，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先利用“直径所对的圆周角是直角”的性质，结合直角三角形两锐角互余算出∠B的度数；再根据“同弧所对的圆周角相等”，可知∠D和∠B相等，进而求出∠D的度数。
【解析】
1. 因为AB是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角，所以∠ACB=90°；
2. 在Rt△ACB中，直角三角形两锐角互余，因此∠BAC + ∠B = 90°，已知∠BAC=50°，代入得∠B=90°-50°=40°；
3. 又因为∠D和∠B都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，所以∠D=∠B=40°，故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，直径的性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，核心考查直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等的知识点，解题思路清晰，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
2. (2024·泰安)如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$、$D$是$\odot O$上的两点,$BA$平分$∠ CBD$.若$∠ AOD=$$50°$,则$∠ BAC$的度数为（
A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
A
）A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
答案
2. A 解析:
∵∠AOD=50°,
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD=25°.又
∵BA平分∠CBD,
∴∠ABC=∠ABD=25°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°,
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-90°-25°=65°.
∵∠AOD=50°,
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠AOD=25°.又
∵BA平分∠CBD,
∴∠ABC=∠ABD=25°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°,
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-90°-25°=65°.
解析
【分析】
要解决本题，需结合圆的性质逐步推导：首先利用圆周角定理，由圆心角∠AOD求出同弧对应的圆周角∠ABD；再根据角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后利用直径所对的圆周角为直角，结合三角形内角和定理计算∠BAC的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。已知∠AOD=50°，∠ABD是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，因此∠ABD = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
2. 因为BA平分∠CBD，根据角平分线的定义，可得∠ABC = ∠ABD = 25°。
3. 由于AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可知∠ACB = 90°。
4. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，因此∠BAC = 180° - ∠ACB - ∠ABC = 180° - 90° - 25° = 65°。
【答案】A
【知识点】圆周角定理、直径的性质、角平分线的定义
【点评】本题综合考查圆的基本性质与三角形内角和，属于基础几何题，解题关键是熟练运用圆周角定理和直径的性质，步骤清晰易操作。
【难度系数】0.6
要解决本题，需结合圆的性质逐步推导：首先利用圆周角定理，由圆心角∠AOD求出同弧对应的圆周角∠ABD；再根据角平分线的性质得到∠ABC的度数；最后利用直径所对的圆周角为直角，结合三角形内角和定理计算∠BAC的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。已知∠AOD=50°，∠ABD是弧AD所对的圆周角，∠AOD是弧AD所对的圆心角，因此∠ABD = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
2. 因为BA平分∠CBD，根据角平分线的定义，可得∠ABC = ∠ABD = 25°。
3. 由于AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，可知∠ACB = 90°。
4. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，因此∠BAC = 180° - ∠ACB - ∠ABC = 180° - 90° - 25° = 65°。
【答案】A
【知识点】圆周角定理、直径的性质、角平分线的定义
【点评】本题综合考查圆的基本性质与三角形内角和，属于基础几何题，解题关键是熟练运用圆周角定理和直径的性质，步骤清晰易操作。
【难度系数】0.6
3. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$C$、$D$、$E$都在$\odot O$上，$∠ 1=55°$，则$∠ 2$的度数为
35°
.答案
3. 35° 解析:连接 BC.
∵AB 为直径,
∴∠BCA=90°.
∵∠1=55°,
∴∠BCE=35°,
∴∠2=∠BCE=35°.
∵AB 为直径,
∴∠BCA=90°.
∵∠1=55°,
∴∠BCE=35°,
∴∠2=∠BCE=35°.
解析
【分析】
要解决本题，需运用圆周角的核心性质：直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等。解题时先添加辅助线BC，利用AB是直径构造直角，结合已知角度求出中间角，再通过同弧圆周角相等的性质得到∠2的度数。
【解析】
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴∠ACB=90°，
已知∠1=55°，
∴∠BCE=∠ACB - ∠1=90° - 55°=35°，
又
∵∠2和∠BCE都是弧BE所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠2=∠BCE=35°。
【答案】
35°
【知识点】
圆周角定理、直径的圆周角性质
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，通过辅助线构造直角，结合同弧圆周角相等的性质解题，是基础的圆周角应用题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需运用圆周角的核心性质：直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等。解题时先添加辅助线BC，利用AB是直径构造直角，结合已知角度求出中间角，再通过同弧圆周角相等的性质得到∠2的度数。
【解析】
连接BC，
∵AB是⊙O的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，
∴∠ACB=90°，
已知∠1=55°，
∴∠BCE=∠ACB - ∠1=90° - 55°=35°，
又
∵∠2和∠BCE都是弧BE所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，
∴∠2=∠BCE=35°。
【答案】
35°
【知识点】
圆周角定理、直径的圆周角性质
【点评】
本题考查圆周角定理的应用，通过辅助线构造直角，结合同弧圆周角相等的性质解题，是基础的圆周角应用题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.5
4. (2025·陕西) 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ CDB=24°$，则 $∠ ACD$ 的度数为
66°
.答案
4. 66° 解析:如图,连接 BC.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴∠BCD=∠CDB=24°.
∵AB 为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-24°=66°.
解析
【分析】要解决该问题，需运用圆的核心性质：等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角。首先根据等弧关系求出∠BCD的度数，再结合直径对应的直角，通过角的和差计算∠ACD的度数。
【解析】连接BC。
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，根据“等弧所对的圆周角相等”，得 $∠ BCD=∠ CDB=24°$。
又
∵ AB为$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得 $∠ ACB=90°$。
∴ $∠ ACD=∠ ACB - ∠ BCD=90° -24°=66°$。
【答案】66°
【知识点】圆周角定理、直径的性质
【点评】本题属于圆的基础题型，解题关键是利用等弧的圆周角关系和直径的直角性质，步骤简洁，侧重对基础性质的应用。
【难度系数】0.7
【解析】连接BC。
∵ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，根据“等弧所对的圆周角相等”，得 $∠ BCD=∠ CDB=24°$。
又
∵ AB为$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得 $∠ ACB=90°$。
∴ $∠ ACD=∠ ACB - ∠ BCD=90° -24°=66°$。
【答案】66°
【知识点】圆周角定理、直径的性质
【点评】本题属于圆的基础题型，解题关键是利用等弧的圆周角关系和直径的直角性质，步骤简洁，侧重对基础性质的应用。
【难度系数】0.7
5. 如图 ,$AB$、$AC$ 分别是$\odot O$ 的直径和弦 ,$OD⊥ AC$ 于点 $D$, 连接 $BD$、$BC$, 且 $AB=10$,$AC=8$,则 $BD$ 的长为
$2\sqrt{13}$
.答案
5. $2\sqrt{13}$ 解析:
∵AB为直径,
∴∠ACB = 90°,
∴BC = $\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
∵OD⊥AC,
∴CD = AD = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$. 在Rt△DCB中,BD = $\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$.
∵AB为直径,
∴∠ACB = 90°,
∴BC = $\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$.
∵OD⊥AC,
∴CD = AD = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$. 在Rt△DCB中,BD = $\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
要计算BD的长度，首先利用“直径所对的圆周角为直角”的性质，得到直角三角形ACB，求出BC的长；再根据“垂径定理”，由OD⊥AC得到D是AC中点，算出CD的长度；最后在直角三角形DCB中，利用勾股定理计算BD的长度。
【解析】
1. 因为AB是⊙O的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，所以∠ACB = 90°，即△ACB为直角三角形。
2. 在Rt△ACB中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$。
3. 因为OD⊥AC，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，所以$CD = AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$。
4. 在Rt△DCB中，BC=6，CD=4，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合圆的基本性质与勾股定理进行考查，属于常规几何计算题，解题关键是利用直径的性质和垂径定理构造直角三角形，再用勾股定理求解，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算BD的长度，首先利用“直径所对的圆周角为直角”的性质，得到直角三角形ACB，求出BC的长；再根据“垂径定理”，由OD⊥AC得到D是AC中点，算出CD的长度；最后在直角三角形DCB中，利用勾股定理计算BD的长度。
【解析】
1. 因为AB是⊙O的直径，根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，所以∠ACB = 90°，即△ACB为直角三角形。
2. 在Rt△ACB中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$。
3. 因为OD⊥AC，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，所以$CD = AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×8 = 4$。
4. 在Rt△DCB中，BC=6，CD=4，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题结合圆的基本性质与勾股定理进行考查，属于常规几何计算题，解题关键是利用直径的性质和垂径定理构造直角三角形，再用勾股定理求解，难度适中。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径作$\odot O$,交$BC$于点$D$,交$AC$于点$E$.
(1)求证:$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$.
(2)若$∠ BAC=50°$,求$\overset{\frown}{AE}$的度数.
(1)求证:$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$.
(2)若$∠ BAC=50°$,求$\overset{\frown}{AE}$的度数.
答案
6. (1)证明:如图,连接 AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$.
(2) 如图,连接 OE.
∵OA=OE,
∴∠OEA=∠BAC=50°,
∴∠AOE=180°-∠BAC-∠OEA=180°-50°-50°=80°,
∴$\overset{\frown}{AE}$的度数为80°.
解析
【分析】
第(1)问要证明$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$，需利用同圆中相等圆周角对应等弧的性质，结合直径所对圆周角为直角、等腰三角形三线合一，找到相等的圆周角；第(2)问求$\overset{\frown}{AE}$的度数，利用弧的度数等于其对应圆心角的度数，结合等腰三角形的内角性质计算圆心角即可。
【解析】
(1) 证明：连接$AD$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\therefore AD⊥ BC$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore AD$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的高，根据等腰三角形三线合一，$AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=∠ CAD$。
在$\odot O$中，相等的圆周角所对的弧相等，$∠ BAD$对应$\overset{\frown}{BD}$，$∠ CAD$对应$\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$。
(2) 解：连接$OE$。
$\because OA=OE$（$\odot O$的半径相等），
$\therefore △ OAE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ OEA=∠ BAC=50°$。
在$△ OAE$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ AOE=180°-∠ BAC-∠ OEA=180°-50°-50°=80°$。
$\because$弧的度数等于它所对圆心角的度数，
$\therefore \overset{\frown}{AE}$的度数为$80°$。
【答案】
(1) 证明成立，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$；(2) $\overset{\frown}{AE}$的度数为$80°$
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、弧的度数
【点评】
本题结合等腰三角形与圆的基本性质，考查弧相等的证明和弧度数的计算，核心是利用直径的性质和等腰三角形的三线合一，属于基础几何题，注重对基础定理的应用。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$，需利用同圆中相等圆周角对应等弧的性质，结合直径所对圆周角为直角、等腰三角形三线合一，找到相等的圆周角；第(2)问求$\overset{\frown}{AE}$的度数，利用弧的度数等于其对应圆心角的度数，结合等腰三角形的内角性质计算圆心角即可。
【解析】
(1) 证明：连接$AD$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角），
$\therefore AD⊥ BC$。
又$\because AB=AC$，
$\therefore AD$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的高，根据等腰三角形三线合一，$AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAD=∠ CAD$。
在$\odot O$中，相等的圆周角所对的弧相等，$∠ BAD$对应$\overset{\frown}{BD}$，$∠ CAD$对应$\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$。
(2) 解：连接$OE$。
$\because OA=OE$（$\odot O$的半径相等），
$\therefore △ OAE$为等腰三角形，
$\therefore ∠ OEA=∠ BAC=50°$。
在$△ OAE$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠ AOE=180°-∠ BAC-∠ OEA=180°-50°-50°=80°$。
$\because$弧的度数等于它所对圆心角的度数，
$\therefore \overset{\frown}{AE}$的度数为$80°$。
【答案】
(1) 证明成立，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DE}$；(2) $\overset{\frown}{AE}$的度数为$80°$
【知识点】
圆周角定理、等腰三角形性质、弧的度数
【点评】
本题结合等腰三角形与圆的基本性质，考查弧相等的证明和弧度数的计算，核心是利用直径的性质和等腰三角形的三线合一，属于基础几何题，注重对基础定理的应用。
【难度系数】
0.5
