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7. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$在圆上,$∠ BAD$是$△ ABC$的一个外角,它的平分线交$\odot O$于点$E$.不使用圆规,请你仅用一把不带刻度的直尺作出$∠ BAC$的平分线,并说明理由.
答案
7. 如图,延长 EO 交⊙O于点 F,连接 AF,则 AF 是∠BAC的平分线.理由如下:
∵EF 是⊙O的直径,
∴∠EAF=90°,即∠EAB+∠BAF=90°,
∴∠DAE+∠CAF=90°.又
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠EAB,
∴∠CAF=∠BAF,
∴AF 是∠BAC的平分线.
解析
【分析】
要作出∠BAC的平分线，需结合圆的直径性质与角平分线定义推导：AB是⊙O的直径，延长EO交⊙O于F，则EF为直径，可得直径所对圆周角为直角；已知AE平分∠BAD，利用角的和差关系，可推导出∠BAF与∠CAF相等，从而确定AF为∠BAC的平分线。
【解析】
步骤1：延长EO，交⊙O于点F；
步骤2：连接AF，则AF即为∠BAC的平分线。
理由：
∵EF是⊙O的直径，
∴∠EAF=90°，即∠EAB + ∠BAF = 90°，
又
∵∠BAD是平角，∠EAF=90°，
∴∠DAE + ∠CAF = 180° - ∠EAF = 90°。
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE = ∠EAB，
∴∠BAF = ∠CAF（等角的余角相等），
故AF是∠BAC的平分线。
【答案】
【知识点】
圆周角定理、角平分线定义、圆的直径性质
【点评】
本题结合圆的性质与角平分线定义作图，关键是利用直径所对圆周角为直角，通过角的和差关系推导角相等，体现了几何图形中圆与角的综合应用，考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.5
要作出∠BAC的平分线，需结合圆的直径性质与角平分线定义推导：AB是⊙O的直径，延长EO交⊙O于F，则EF为直径，可得直径所对圆周角为直角；已知AE平分∠BAD，利用角的和差关系，可推导出∠BAF与∠CAF相等，从而确定AF为∠BAC的平分线。
【解析】
步骤1：延长EO，交⊙O于点F；
步骤2：连接AF，则AF即为∠BAC的平分线。
理由：
∵EF是⊙O的直径，
∴∠EAF=90°，即∠EAB + ∠BAF = 90°，
又
∵∠BAD是平角，∠EAF=90°，
∴∠DAE + ∠CAF = 180° - ∠EAF = 90°。
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE = ∠EAB，
∴∠BAF = ∠CAF（等角的余角相等），
故AF是∠BAC的平分线。
【答案】
【知识点】
圆周角定理、角平分线定义、圆的直径性质
【点评】
本题结合圆的性质与角平分线定义作图，关键是利用直径所对圆周角为直角，通过角的和差关系推导角相等，体现了几何图形中圆与角的综合应用，考查逻辑推导能力。
【难度系数】
0.5
8. 如图，$△ ABC$ 内接于 $\odot O$，$AD$ 是 $\odot O$ 的直径. 若 $∠ CAD = ∠ B$，$AD = 8$，则 $AC$ 的长为（
A.$5$
B.$4\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
B
）A.$5$
B.$4\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
8. B 解析:
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°.
∵∠ADC=∠B,∠CAD=∠B,
∴∠ADC=∠CAD,
∴AC=CD. 在Rt△ACD中,$AC^2+CD^2=AD^2$,即$2AC^2=8^2$,
∴$AC=4\sqrt{2}$(负值舍去).
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°.
∵∠ADC=∠B,∠CAD=∠B,
∴∠ADC=∠CAD,
∴AC=CD. 在Rt△ACD中,$AC^2+CD^2=AD^2$,即$2AC^2=8^2$,
∴$AC=4\sqrt{2}$(负值舍去).
解析
【分析】
本题的解题思路是：首先利用“直径所对的圆周角是直角”得到直角三角形，再结合“同弧所对的圆周角相等”与已知条件，推导出三角形为等腰直角三角形，最后用勾股定理计算AC的长度。具体步骤：1. 由AD是直径，确定∠ACD为直角；2. 通过同弧圆周角相等和已知角的关系，得出AC=CD；3. 在Rt△ACD中，利用勾股定理求解AC。
【解析】
∵AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，
∴∠ACD=90°。
∵同弧AC所对的圆周角相等，
∴∠ADC=∠B，又已知∠CAD=∠B，
∴∠ADC=∠CAD，因此AC=CD。
在Rt△ACD中，根据勾股定理：$AC^2 + CD^2 = AD^2$，因为AC=CD，AD=8，代入得$2AC^2 = 8^2 = 64$，解得$AC^2=32$，即$AC=4\sqrt{2}$（长度为正，舍去负值）。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题结合圆的性质与直角三角形的勾股定理，核心是利用同弧圆周角相等推导等腰直角三角形，属于圆相关的基础计算题，需掌握直径的圆周角性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.5
本题的解题思路是：首先利用“直径所对的圆周角是直角”得到直角三角形，再结合“同弧所对的圆周角相等”与已知条件，推导出三角形为等腰直角三角形，最后用勾股定理计算AC的长度。具体步骤：1. 由AD是直径，确定∠ACD为直角；2. 通过同弧圆周角相等和已知角的关系，得出AC=CD；3. 在Rt△ACD中，利用勾股定理求解AC。
【解析】
∵AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，
∴∠ACD=90°。
∵同弧AC所对的圆周角相等，
∴∠ADC=∠B，又已知∠CAD=∠B，
∴∠ADC=∠CAD，因此AC=CD。
在Rt△ACD中，根据勾股定理：$AC^2 + CD^2 = AD^2$，因为AC=CD，AD=8，代入得$2AC^2 = 8^2 = 64$，解得$AC^2=32$，即$AC=4\sqrt{2}$（长度为正，舍去负值）。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，勾股定理，等腰三角形判定
【点评】
本题结合圆的性质与直角三角形的勾股定理，核心是利用同弧圆周角相等推导等腰直角三角形，属于圆相关的基础计算题，需掌握直径的圆周角性质和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.5
9. 如图,$\odot O$的半径为1 cm,弦$ AB$、$CD $的长分别为$\sqrt{2}\ {cm}$、1 cm,则弦$ AC$、$BD $所夹的锐角$α$的度数为
75°
.答案
9. 75° 解析:如图,连接 OA、OB、OC、OD.
∵OA=OB=OC=OD=1 cm,$AB=\sqrt{2}$ cm,CD=1 cm,
∴$OA^2+OB^2=AB^2$,OC=OD=CD,
∴△AOB是等腰直角三角形,△COD是等边三角形,
∴∠OAB=∠OBA=45°,∠ODC=∠OCD=60°.
∵∠CDB=∠CAB,∠ODB=∠OBD,
∴α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-(∠CDB+∠ODB)=180°-45°-60°=75°.
解析
【分析】要计算弦AC、BD所夹锐角α的度数，需先连接圆心与各弦端点，利用半径相等结合弦长求出对应圆心角，再通过圆周角定理得到相关角度，最后结合三角形角度关系推导α的度数。
【解析】连接OA、OB、OC、OD，
∵⊙O的半径为1 cm，
∴OA=OB=OC=OD=1 cm，
已知AB=√2 cm，CD=1 cm，
在△AOB中，OA²+OB²=1²+1²=2，AB²=(√2)²=2，故OA²+OB²=AB²，结合OA=OB，得△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，圆心角∠AOB=90°；
在△COD中，OC=OD=CD=1 cm，故△COD是等边三角形，圆心角∠COD=60°，
根据圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，结合三角形内角和关系，可得α=180°-∠OBA-∠ODC=180°-45°-60°=75°。
【答案】75°
【知识点】圆周角定理，圆心角与弦的关系，特殊三角形
【点评】本题考查圆的性质与三角形角度计算，核心是通过连接半径构造特殊三角形，利用圆的性质转化角度，辅助线的构造是解题关键，需掌握圆周角定理和特殊三角形的判定。
【难度系数】0.5
【解析】连接OA、OB、OC、OD，
∵⊙O的半径为1 cm，
∴OA=OB=OC=OD=1 cm，
已知AB=√2 cm，CD=1 cm，
在△AOB中，OA²+OB²=1²+1²=2，AB²=(√2)²=2，故OA²+OB²=AB²，结合OA=OB，得△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，圆心角∠AOB=90°；
在△COD中，OC=OD=CD=1 cm，故△COD是等边三角形，圆心角∠COD=60°，
根据圆周角定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，结合三角形内角和关系，可得α=180°-∠OBA-∠ODC=180°-45°-60°=75°。
【答案】75°
【知识点】圆周角定理，圆心角与弦的关系，特殊三角形
【点评】本题考查圆的性质与三角形角度计算，核心是通过连接半径构造特殊三角形，利用圆的性质转化角度，辅助线的构造是解题关键，需掌握圆周角定理和特殊三角形的判定。
【难度系数】0.5
10. 如图,$C$在以$AB$为直径的半圆$O$上,$AC=\sqrt{3},∠ CAB=30°$,$D$是$\overset{\frown}{BC}$上的一个动点,$CE ⊥$$AD$,连接$BE$,则$BE$长的最小值为
$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
.答案
10. $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$ 解析:如图,取 AC 的中点 F,连接 EF、BF、BC.
∵CE⊥AD,$AC=\sqrt{3}$,
∴EF=CF=$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}$,即点 E 在以 F为圆心、$\frac{\sqrt{3}}{2}$为半径的圆上运动.
∵∠CAB=30°,∠ACB=90°,
∴BC=1. 在Rt△CBF中,$BF=\sqrt{CF^2+BC^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+1^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$,
∴BE 长的最小值是 $BF-EF=\frac{\sqrt{7}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
要解决BE的最小值问题，需先确定动点E的轨迹：因为CE⊥AD，所以∠AEC=90°，根据“直角对直径”，E点在以AC为直径的圆上运动。接下来，取AC中点F，得到该圆的圆心和半径，再计算定点B到圆心F的距离BF，根据“圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，即可求出BE的最小值。
【解析】
1. 确定E点的轨迹：
∵ CE⊥AD，
∴ ∠AEC=90°，根据“直角所对的弦是直径”，可知点E在以AC为直径的圆上。
取AC的中点F，则F为该圆的圆心，EF为圆的半径，因此EF = $\frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 计算BC的长度：
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB中，∠CAB=30°，AC=$\sqrt{3}$，
∴ BC = AC·tan30° = $\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$。
3. 计算BF的长度：
在Rt△CBF中，CF=$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC=1，
由勾股定理得：BF = $\sqrt{CF^2 + BC^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$。
4. 求BE的最小值：
点B在圆F外，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此BE的最小值为BF - EF = $\frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
圆的轨迹、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆中求线段最小值的典型题，核心是利用直角确定动点的轨迹，再结合圆外一点到圆上点的最短距离规律求解，需要学生掌握轨迹判断和最值转化的方法。
【难度系数】
0.5
要解决BE的最小值问题，需先确定动点E的轨迹：因为CE⊥AD，所以∠AEC=90°，根据“直角对直径”，E点在以AC为直径的圆上运动。接下来，取AC中点F，得到该圆的圆心和半径，再计算定点B到圆心F的距离BF，根据“圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径”，即可求出BE的最小值。
【解析】
1. 确定E点的轨迹：
∵ CE⊥AD，
∴ ∠AEC=90°，根据“直角所对的弦是直径”，可知点E在以AC为直径的圆上。
取AC的中点F，则F为该圆的圆心，EF为圆的半径，因此EF = $\frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 计算BC的长度：
∵ AB是半圆O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ACB中，∠CAB=30°，AC=$\sqrt{3}$，
∴ BC = AC·tan30° = $\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=1$。
3. 计算BF的长度：
在Rt△CBF中，CF=$\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，BC=1，
由勾股定理得：BF = $\sqrt{CF^2 + BC^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \frac{\sqrt{7}}{2}$。
4. 求BE的最小值：
点B在圆F外，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此BE的最小值为BF - EF = $\frac{\sqrt{7}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
圆的轨迹、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆中求线段最小值的典型题，核心是利用直角确定动点的轨迹，再结合圆外一点到圆上点的最短距离规律求解，需要学生掌握轨迹判断和最值转化的方法。
【难度系数】
0.5
11. 如图, A B 为 $\odot O$ 的直径, 点 C 在 $\odot O$ 上, 延长 B C 至点 D, 使 $C D=B C$, 延长 D A 与 $\odot O$ 交于点 E, 连接 A C、C E.
(1) 求证: $∠ B=∠ D$.
(2) 若 $A B=4, B C-A C=2$, 求 C E 的长.
(1) 求证: $∠ B=∠ D$.
(2) 若 $A B=4, B C-A C=2$, 求 C E 的长.
答案
11. (1) 证明:
∵AB 为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°. 又
∵CD=BC,
∴AC垂直平分DB,
∴AD=AB,
∴∠B=∠D.
(2) 在Rt△ACB中,
∵$AC^2+BC^2=AB^2$,即$AC^2+(AC+2)^2=4^2$,
∴$AC=\sqrt{7}-1$(负值舍去),
∴BC=AC+2=$\sqrt{7}+1$.
∵∠D=∠B=∠E,
∴CE=CD=BC=$\sqrt{7}+1$.
∵AB 为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°. 又
∵CD=BC,
∴AC垂直平分DB,
∴AD=AB,
∴∠B=∠D.
(2) 在Rt△ACB中,
∵$AC^2+BC^2=AB^2$,即$AC^2+(AC+2)^2=4^2$,
∴$AC=\sqrt{7}-1$(负值舍去),
∴BC=AC+2=$\sqrt{7}+1$.
∵∠D=∠B=∠E,
∴CE=CD=BC=$\sqrt{7}+1$.
解析
【分析】
第(1)问：要证明∠B=∠D，先利用AB是⊙O直径，得出直径所对圆周角∠ACB=90°，即AC⊥BD；结合CD=BC，可知AC是BD的垂直平分线，根据垂直平分线性质得AD=AB，从而推出∠B=∠D。第(2)问：在Rt△ACB中，利用勾股定理结合BC-AC=2求出BC的长度；再根据同弧所对圆周角相等得∠B=∠E，结合(1)中∠B=∠D，推出∠D=∠E，进而得CE=CD=BC，即可求出CE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵AB为⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD。
又
∵CD=BC，
∴AC是线段BD的垂直平分线，根据“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，
∴AD=AB，
∴在△ABD中，∠B=∠D。
(2) 解：
在Rt△ACB中，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
已知AB=4，且$BC - AC = 2$，即$BC = AC + 2$，代入得：
$AC^2 + (AC + 2)^2 = 4^2$，
展开整理得：$AC^2 + 2AC - 6 = 0$，
解此方程得：$AC = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}$，
∵边长为正数，
∴$AC = \sqrt{7} - 1$（舍去负值），
则$BC = AC + 2 = (\sqrt{7} -1) + 2 = \sqrt{7} + 1$。
∵∠B和∠E都是弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，
∴∠B=∠E。
由(1)知∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴在△CDE中，$CE = CD$（等角对等边），
又
∵$CD = BC$，
∴$CE = BC = \sqrt{7} + 1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $CE = \sqrt{7} + 1$
【知识点】
圆周角定理，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆与三角形的核心知识点，解题时需灵活运用直径的圆周角性质、垂直平分线性质、勾股定理及等腰三角形的判定，第(2)问中通过角的等量关系推导CE与BC的关系是关键，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
第(1)问：要证明∠B=∠D，先利用AB是⊙O直径，得出直径所对圆周角∠ACB=90°，即AC⊥BD；结合CD=BC，可知AC是BD的垂直平分线，根据垂直平分线性质得AD=AB，从而推出∠B=∠D。第(2)问：在Rt△ACB中，利用勾股定理结合BC-AC=2求出BC的长度；再根据同弧所对圆周角相等得∠B=∠E，结合(1)中∠B=∠D，推出∠D=∠E，进而得CE=CD=BC，即可求出CE的长。
【解析】
(1) 证明：
∵AB为⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BD。
又
∵CD=BC，
∴AC是线段BD的垂直平分线，根据“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，
∴AD=AB，
∴在△ABD中，∠B=∠D。
(2) 解：
在Rt△ACB中，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
已知AB=4，且$BC - AC = 2$，即$BC = AC + 2$，代入得：
$AC^2 + (AC + 2)^2 = 4^2$，
展开整理得：$AC^2 + 2AC - 6 = 0$，
解此方程得：$AC = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}$，
∵边长为正数，
∴$AC = \sqrt{7} - 1$（舍去负值），
则$BC = AC + 2 = (\sqrt{7} -1) + 2 = \sqrt{7} + 1$。
∵∠B和∠E都是弧AC所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，
∴∠B=∠E。
由(1)知∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴在△CDE中，$CE = CD$（等角对等边），
又
∵$CD = BC$，
∴$CE = BC = \sqrt{7} + 1$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $CE = \sqrt{7} + 1$
【知识点】
圆周角定理，垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆与三角形的核心知识点，解题时需灵活运用直径的圆周角性质、垂直平分线性质、勾股定理及等腰三角形的判定，第(2)问中通过角的等量关系推导CE与BC的关系是关键，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
12. 如图,$BC$是$\odot O$的直径,点$A$、$E$在$\odot O$上,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$AE=AB$,连接$BE$,分别交$AD$、$AC$于点$F$、$G$.
(1)判断$△ FAG$的形状,并说明理由.
(2)延长$AD$交$\odot O$于点$M$,连接$ME$,求证:$ME ⊥ AC$.
(1)判断$△ FAG$的形状,并说明理由.
(2)延长$AD$交$\odot O$于点$M$,连接$ME$,求证:$ME ⊥ AC$.
答案
12. (1)△FAG是等腰三角形. 理由如下:
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠ABG+∠AGB=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠FAG+∠ACD=90°.
∵AB=AE,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$,
∴∠ABG=∠ACD,
∴∠AGB=∠FAG,
∴FA=FG,
∴△FAG是等腰三角形.
(2)证明:如图,设 ME 与 AC 交于点 P.
∵OD⊥AM,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BM}$,
∴∠C=∠BEM.
∵∠EGP=∠AGB,∠FAG=∠AGB,
∴∠FAG=∠EGP.
∵∠FAG+∠C=90°,
∴∠EGP+∠BEM=90°,
∴∠EPG=180°-(∠EGP+∠BEM)=180°-90°=90°,
∴ME⊥AC.
解析
【分析】
要判断△FAG的形状，需结合圆的性质和直角三角形的角关系推导；证明ME⊥AC，需利用垂径定理和角的等量代换。第(1)问：由BC是直径得直角，AD⊥BC得直角，结合AB=AE的弧相等关系，通过角的等量代换得到等腰；第(2)问：利用垂径定理得弧相等，转化为圆周角相等，再结合已知角的关系推出直角。
【解析】
(1) △FAG是等腰三角形，理由如下：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABG + ∠AGB=90°。
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAG + ∠ACD=90°。
∵AB=AE，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴∠ABG=∠ACD，
∴∠AGB=∠FAG，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形。
(2) 证明：延长AD交⊙O于点M，设ME与AC交于点P。
∵OD⊥AM，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BM}$，
∴∠C=∠BEM。
∵∠EGP=∠AGB，∠FAG=∠AGB，
∴∠FAG=∠EGP。
∵∠FAG + ∠C=90°，
∴∠EGP + ∠BEM=90°，
∴∠EPG=180°-(∠EGP+∠BEM)=90°，
∴ME⊥AC。
【答案】
12. (1)△FAG是等腰三角形. 理由如下:
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠ABG+∠AGB=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠FAG+∠ACD=90°.
∵AB=AE,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$,
∴∠ABG=∠ACD,
∴∠AGB=∠FAG,
∴FA=FG,
∴△FAG是等腰三角形.(2)证明:如图,设 ME 与 AC 交于点 P.
∵OD⊥AM,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BM}$,
∴∠C=∠BEM.
∵∠EGP=∠AGB,∠FAG=∠AGB,
∴∠FAG=∠EGP.
∵∠FAG+∠C=90°,
∴∠EGP+∠BEM=90°,
∴∠EPG=180°-(∠EGP+∠BEM)=180°-90°=90°,
∴ME⊥AC.
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的综合题，综合考查圆的核心定理与直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是利用弧与圆周角的关系进行角的等量代换，逻辑推理要求较高，是初中几何的典型综合题型。
【难度系数】
0.4
要判断△FAG的形状，需结合圆的性质和直角三角形的角关系推导；证明ME⊥AC，需利用垂径定理和角的等量代换。第(1)问：由BC是直径得直角，AD⊥BC得直角，结合AB=AE的弧相等关系，通过角的等量代换得到等腰；第(2)问：利用垂径定理得弧相等，转化为圆周角相等，再结合已知角的关系推出直角。
【解析】
(1) △FAG是等腰三角形，理由如下：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABG + ∠AGB=90°。
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAG + ∠ACD=90°。
∵AB=AE，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴∠ABG=∠ACD，
∴∠AGB=∠FAG，
∴FA=FG，
∴△FAG是等腰三角形。
(2) 证明：延长AD交⊙O于点M，设ME与AC交于点P。
∵OD⊥AM，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BM}$，
∴∠C=∠BEM。
∵∠EGP=∠AGB，∠FAG=∠AGB，
∴∠FAG=∠EGP。
∵∠FAG + ∠C=90°，
∴∠EGP + ∠BEM=90°，
∴∠EPG=180°-(∠EGP+∠BEM)=90°，
∴ME⊥AC。
【答案】
12. (1)△FAG是等腰三角形. 理由如下:
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠ABG+∠AGB=90°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠FAG+∠ACD=90°.
∵AB=AE,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$,
∴∠ABG=∠ACD,
∴∠AGB=∠FAG,
∴FA=FG,
∴△FAG是等腰三角形.(2)证明:如图,设 ME 与 AC 交于点 P.
∵OD⊥AM,
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BM}$,
∴∠C=∠BEM.
∵∠EGP=∠AGB,∠FAG=∠AGB,
∴∠FAG=∠EGP.
∵∠FAG+∠C=90°,
∴∠EGP+∠BEM=90°,
∴∠EPG=180°-(∠EGP+∠BEM)=180°-90°=90°,
∴ME⊥AC.
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆的综合题，综合考查圆的核心定理与直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是利用弧与圆周角的关系进行角的等量代换，逻辑推理要求较高，是初中几何的典型综合题型。
【难度系数】
0.4
