22.（10分）某商店准备在该地购进鲜品、干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇30箱和干品猴头菇20箱需4200元，购进鲜品猴头菇40箱和干品猴头菇50箱需9100元.
（1）鲜品猴头菇和干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）该商店计划同时购进鲜品猴头菇和干品猴头菇共80箱，鲜品猴头菇每箱售价定为50元，干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，总获利不少于1540元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有几种进货方案？

【解答】解：（1）设鲜品猴头菇每箱的进价是$x$元，干品猴头菇每箱的进价是$y$元，
根据题意得：$\begin{cases} 30x + 20y = 4200 \\ 40x + 50y = 9100 \end{cases}$，
解得：$\begin{cases} x=40 \\ y=150 \end{cases}$．
答：鲜品猴头菇每箱的进价是40元，干品猴头菇每箱的进价是150元；
（2）设购进$m$箱干品猴头菇，则购进$(80 - m)$箱鲜品猴头菇，
根据题意得：$\begin{cases} (50 - 40)(80 - m)+(180 - 150)m ≥ 1540 \\ m ≤ 40 \end{cases}$，
解得：$37≤m≤40$，
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$可以为37，38，39，40．
答：该商店有4种进货方案．

23.（10分）问题提出
如图 1，$AB// CD$，点 E，F 分别在直线 AB，CD 上，点 G 是平面内直线 AB 与直线 CD 之间的点，连接 EG，FG，$∠ AEG=α$（$0°＜α＜90°$），$∠ DFG=β$（$90°＜β＜180°$），$∠ AEG$ 的角平分线所在的直线与 $∠ DFG$ 的角平分线所在的直线相交于点 H，探究 $∠ EGF$ 与 $∠ EHF$ 之间的数量关系.
问题探究
（1）先将问题特殊化，如图 2，当 $α=40°$，$β=140°$ 时，
①直接写出 $∠ EGF$ 和 $∠ EHF$ 的大小；
②直接写出 $2∠ EHF - ∠ EGF$ 的大小；
（2）再探究一般情形，如图 1，证明（1）②中 $2∠ EHF - ∠ EGF$ 的大小仍然不变.
问题拓展
如图 3，若点 G 不在直线 AB 与直线 CD 之间，其他条件不变，请补全图形，直接写出 $∠ EGF$ 与 $∠ EHF$ 之间的数量关系.

【解答】解：（1）①如图，过点$G$作$GM// AB$，过点$H$作$HN// AB$．
$\because EH$平分$∠AEG$，$FH$平分$∠DFG$，
$\therefore ∠AEH=\frac{1}{2}∠AEG=\frac{1}{2}α=20°$，$∠DFH=\frac{1}{2}∠DFG=\frac{1}{2}β=70°$，
$\because GM// AB$，
$\therefore ∠EGM=∠AEG=α=40°$．
$\because GM// AB$，$AB// CD$，
$\therefore GM// CD$，
$\therefore ∠FGM=∠CFG=180° - ∠DFG=180° - β=40°$，
$\therefore ∠EGF=∠EGM+∠FGM=40° +40°=80°$，
$\because HN// AB$，
$\therefore ∠EHN=∠AEH=20°$．
$\because HN// AB$，$AB// CD$，
$\therefore HN// CD$，
$\therefore ∠FHN=180° - ∠DFH=180° - 70°=110°$，
$\therefore ∠EHF=∠EHN+∠FHN=20° +110°=130°$；
②根据①可得$∠EGF=80°$，$∠EHF=130°$，$2∠EHF - ∠EGF=2×130° - 80°=180°$；
（2）$2∠EHF - ∠EGF=180°$仍然不变．证明如下：过点$G$作$GM// AB$，过点$H$作$HN// AB$．
$\because EH$平分$∠AEG$，$FH$平分$∠DFG$，
$\therefore ∠AEH=\frac{1}{2}∠AEG=\frac{1}{2}α$，$∠DFH=\frac{1}{2}∠DFG=\frac{1}{2}β$．
$\because GM// AB$，
$\therefore ∠EGM=∠AEG=α$．
$\because GM// AB$，$AB// CD$，
$\therefore GM// CD$，
$\therefore ∠FGM=180° - ∠DFG=180° - β$．
$\therefore ∠EGF=∠EGM+∠FGM=180° +α - β$．
$\because HN// AB$，
$\therefore ∠EHN = ∠AEH =\frac{1}{2}α$．
$\because HN// AB$，$AB// CD$，
$\therefore HN// CD$，
$\therefore ∠FHN = 180°- ∠DFH = 180°-\frac{1}{2}β$．
$\therefore ∠EHF = ∠EHN + ∠FHN = 180°+\frac{1}{2}α -\frac{1}{2}β$．
$\therefore 2∠EHF - ∠EGF=180°$；
问题拓展：①当点$G$在直线$CD$下方时，如图：过点$G$作$GM// AB$，过点$H$作$HN// AB$．
$\because EH$平分$∠AEG$，$FH$平分$∠DFG$，
$\therefore ∠AEH=\frac{1}{2}∠AEG=\frac{1}{2}α$，$∠DFH=180° -\frac{1}{2}∠DFG$，
$\because GM// AB$，
$\therefore ∠EGM=∠AEG=α$．
$\because GM// AB$，$AB// CD$，
$\therefore GM// CD$，
$\therefore ∠FGM=180° - ∠DFG=180° - β$．
$\therefore ∠EGF=∠EGM - ∠FGM=α - 180° +β$．
$\because HN// AB$，
$\therefore ∠EHN = ∠AEH =\frac{1}{2}α$．
$\because HN// AB$，$AB// CD$，
$\therefore HN// CD$，
$\therefore ∠FHN = 180° - ∠DFH = 180°-(180 -\frac{1}{2}β)=\frac{1}{2}β$，
$\therefore ∠EHF = ∠EHN + ∠FHN =\frac{1}{2}α +\frac{1}{2}β$．
$\therefore 2∠EHF - ∠EGF=180°$；
②当点$G$在直线$AB$上方时，
过点$G$作$GM// AB$，过点$H$作$HN// AB$．
$\because EH$平分$∠AEG$，$FH$平分$∠DFG$，
$\therefore ∠AEH =\frac{1}{2}(360° - ∠AEG)=180° -\frac{1}{2}α$，$∠DFH =\frac{1}{2}∠DFG =\frac{1}{2}β$．
$\because GM// AB$，
$\therefore ∠EGM=∠AEG=α$．
$\because GM// AB$，$AB// CD$，
$\therefore GM// CD$，
$\therefore ∠FGM=180° - ∠DFG=180° - β$．
$\therefore ∠EGF=∠FGM - ∠EGM=180° - β - α$．
$\because HN// AB$，
$\therefore ∠EHN = 180°- ∠AEH = 180°-(180° -\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$．
$\because HN// AB$，$AB// CD$，
$\therefore HN// CD$，
$\therefore ∠FHN = ∠DFH =\frac{1}{2}β$，
$\therefore ∠EHF = ∠EHN + ∠FHN =\frac{1}{2}α +\frac{1}{2}β$．
$\therefore 2∠EHF+∠EGF=180°$．