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1. 教材P128练习T1·拓展（2024·广东茂名高州期末）墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：cm）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？如果设长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，根据题意，可得方程为（
A.$2(x+10)=10× 4+6× 2$
B.$2(x+10)=10× 3+6× 2$
C.$2x+10=10× 4+6× 2$
D.$2(x+10)=10× 2+6× 2$
A
）.A.$2(x+10)=10× 4+6× 2$
B.$2(x+10)=10× 3+6× 2$
C.$2x+10=10× 4+6× 2$
D.$2(x+10)=10× 2+6× 2$
答案
1. A
解析
【分析】解题的核心是抓住“彩绳长度不变”，即梯形的周长等于长方形的周长。先计算梯形的周长，再结合长方形周长公式（周长=2×(长+宽)），根据两者周长相等的关系列出方程，进而选出正确选项。
【解析】首先计算梯形饰物的周长：梯形的四条边分别为上底10cm、左腰10cm、右腰10cm、下底长度为6+10+6=22cm，因此梯形周长为10+10+10+22=52cm，也可整理为10×4 +6×2=52cm。由于彩绳长度不变，长方形的周长等于梯形的周长。已知长方形的宽为10cm，长设为x cm，根据长方形周长公式可得方程：2(x+10)=10×4 +6×2，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元一次方程应用、梯形周长、长方形周长
【点评】本题是利用一元一次方程解决几何周长问题的基础题，关键在于找准“周长不变”的等量关系，将梯形周长转化为长方形周长，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】首先计算梯形饰物的周长：梯形的四条边分别为上底10cm、左腰10cm、右腰10cm、下底长度为6+10+6=22cm，因此梯形周长为10+10+10+22=52cm，也可整理为10×4 +6×2=52cm。由于彩绳长度不变，长方形的周长等于梯形的周长。已知长方形的宽为10cm，长设为x cm，根据长方形周长公式可得方程：2(x+10)=10×4 +6×2，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元一次方程应用、梯形周长、长方形周长
【点评】本题是利用一元一次方程解决几何周长问题的基础题，关键在于找准“周长不变”的等量关系，将梯形周长转化为长方形周长，难度较低。
【难度系数】0.3
2. 一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米，容器内盛有18厘米高的水，现将一个底面半径为2厘米，高15厘米的金属圆柱竖直放入容器内，则容器内的水将升高
$\frac{20}{3}$
厘米.答案
2. $\frac{20}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用排水法的体积不变原理：金属圆柱放入水中后，排开水的体积等于金属圆柱的体积，排开的水会使容器内水面升高，升高部分水的体积等于金属圆柱的体积。首先判断金属圆柱是否完全浸没，再根据体积关系建立方程求解。
【解析】
设容器内的水将升高$ x $厘米。
1. 计算金属圆柱的体积：金属圆柱的底面半径为2厘米，高15厘米，根据圆柱体积公式$ V=π r^2 h $，可得$ V_{金属}=π × 2^2 × 15 = 60π $（立方厘米）。
2. 分析水面升高的体积：水面升高$ x $厘米时，升高部分水的体积等于金属圆柱排开的水的体积，这部分体积对应容器底面积乘以升高的高度，容器内半径为3厘米，因此升高部分水的体积为$ V_{升}=π × 3^2 × x = 9π x $（立方厘米）。
3. 建立方程求解：根据排开体积相等，得$ 9π x = 60π $，两边约去$ π $后解得$ x=\frac{60}{9}=\frac{20}{3} $。
4. 验证假设：此时总水面高度为$ 18+\frac{20}{3}=\frac{74}{3}\approx24.67 $厘米，大于金属圆柱的高度15厘米，说明金属圆柱完全浸没，假设成立。
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
圆柱体积公式、排水法求体积
【点评】
本题考查圆柱体积的实际应用，核心是利用体积相等建立方程，需注意验证金属圆柱是否完全浸没，避免假设错误。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用排水法的体积不变原理：金属圆柱放入水中后，排开水的体积等于金属圆柱的体积，排开的水会使容器内水面升高，升高部分水的体积等于金属圆柱的体积。首先判断金属圆柱是否完全浸没，再根据体积关系建立方程求解。
【解析】
设容器内的水将升高$ x $厘米。
1. 计算金属圆柱的体积：金属圆柱的底面半径为2厘米，高15厘米，根据圆柱体积公式$ V=π r^2 h $，可得$ V_{金属}=π × 2^2 × 15 = 60π $（立方厘米）。
2. 分析水面升高的体积：水面升高$ x $厘米时，升高部分水的体积等于金属圆柱排开的水的体积，这部分体积对应容器底面积乘以升高的高度，容器内半径为3厘米，因此升高部分水的体积为$ V_{升}=π × 3^2 × x = 9π x $（立方厘米）。
3. 建立方程求解：根据排开体积相等，得$ 9π x = 60π $，两边约去$ π $后解得$ x=\frac{60}{9}=\frac{20}{3} $。
4. 验证假设：此时总水面高度为$ 18+\frac{20}{3}=\frac{74}{3}\approx24.67 $厘米，大于金属圆柱的高度15厘米，说明金属圆柱完全浸没，假设成立。
【答案】
$\frac{20}{3}$
【知识点】
圆柱体积公式、排水法求体积
【点评】
本题考查圆柱体积的实际应用，核心是利用体积相等建立方程，需注意验证金属圆柱是否完全浸没，避免假设错误。
【难度系数】
0.5
3. 方程思想 如图,小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5的长条.如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每一个长条的面积是多少？
答案
3. 设正方形的边长是$x$.
由题意,得$4x=5(x-4)$,解得$x=20$,
则$4x=80$.故每一个长条的面积是80.
由题意,得$4x=5(x-4)$,解得$x=20$,
则$4x=80$.故每一个长条的面积是80.
解析
【分析】
本题需运用方程思想解决几何面积问题，核心是找到两个剪下长条的面积相等这一等量关系。首先设正方形的边长为$x$，分别表示出两次剪下长条的面积，再根据面积相等列方程求解，最后计算长条的面积。
【解析】
设正方形的边长为$x$。
第一次剪下的宽为4的长条，长为正方形的边长$x$，其面积为$4x$；
剪去第一个长条后，剩下的长方形长为$x$，宽为$x-4$，则第二次剪下的宽为5的长条，长为剩下长方形的长$x-4$，其面积为$5(x-4)$。
根据“两次剪下的长条面积相等”，列方程：
$4x = 5(x - 4)$
解方程：
$4x = 5x - 20$
移项得：$5x - 4x = 20$
解得：$x = 20$
则每一个长条的面积为$4x = 4×20 = 80$。
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题将几何图形的面积关系转化为代数方程，考查了方程思想的实际应用，关键在于明确两次剪下长条的边长与原正方形边长的关系，找准等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.5
本题需运用方程思想解决几何面积问题，核心是找到两个剪下长条的面积相等这一等量关系。首先设正方形的边长为$x$，分别表示出两次剪下长条的面积，再根据面积相等列方程求解，最后计算长条的面积。
【解析】
设正方形的边长为$x$。
第一次剪下的宽为4的长条，长为正方形的边长$x$，其面积为$4x$；
剪去第一个长条后，剩下的长方形长为$x$，宽为$x-4$，则第二次剪下的宽为5的长条，长为剩下长方形的长$x-4$，其面积为$5(x-4)$。
根据“两次剪下的长条面积相等”，列方程：
$4x = 5(x - 4)$
解方程：
$4x = 5x - 20$
移项得：$5x - 4x = 20$
解得：$x = 20$
则每一个长条的面积为$4x = 4×20 = 80$。
【答案】
80
【知识点】
一元一次方程应用、长方形面积计算
【点评】
本题将几何图形的面积关系转化为代数方程，考查了方程思想的实际应用，关键在于明确两次剪下长条的边长与原正方形边长的关系，找准等量关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.5
4. (2025·南通如皋期末)在数学活动课上，小华把一张白卡纸画出如图(1)所示的8个一样大小的长方形，再把这8个长方形纸片剪开，无重叠地拼成如图(2)的正方形ABCD，若中间小正方形的边长为3，则图(2)中大正方形的周长为
132
.答案
4. 132 [解析]设小长方形的长为$x$,则宽为$\frac{3}{5}x$.
由题图(1),可知小长方形的长:宽$=3:5$
∵中间小正方形的边长为3,
∴$2×\frac{3}{5}x-x=3$,解得$x=15$,
则$\frac{3}{5}x=9$,
所以正方形$ABCD$的周长是$4(x+2×\frac{3}{5}x)=4×(15+18)=132$.
由题图(1),可知小长方形的长:宽$=3:5$
∵中间小正方形的边长为3,
∴$2×\frac{3}{5}x-x=3$,解得$x=15$,
则$\frac{3}{5}x=9$,
所以正方形$ABCD$的周长是$4(x+2×\frac{3}{5}x)=4×(15+18)=132$.
解析
【分析】
要解决本题，需先通过两个图形明确小长方形长与宽的数量关系：①图(1)中，5个竖放小长方形的总长度等于3个横放小长方形的总长度，据此得到长和宽的比例关系；②图(2)中，中间小正方形的边长等于“2个小长方形的宽减去1个小长方形的长”，结合边长为3建立方程。联立关系求出小长方形的长和宽后，即可计算大正方形的周长。
【解析】
设小长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
1. 根据图(1)，5个小长方形的宽之和等于3个小长方形的长之和，可得：$ 5y = 3x $，即$ y = \frac{3}{5}x $；
2. 根据图(2)，中间小正方形的边长为3，其边长等于2个小长方形的宽减去1个小长方形的长，可得：$ 2y - x = 3 $；
3. 将$ y = \frac{3}{5}x $代入$ 2y - x = 3 $，得：
$ 2×\frac{3}{5}x - x = 3 $
化简得$ \frac{6}{5}x - x = 3 $，即$ \frac{1}{5}x = 3 $，解得$ x = 15 $；
4. 则$ y = \frac{3}{5}×15 = 9 $；
5. 大正方形ABCD的边长为$ x + 2y = 15 + 2×9 = 33 $，因此大正方形的周长为$ 4×33 = 132 $。
【答案】
132
【知识点】
二元一次方程应用、图形的拼接
【点评】
本题结合图形拼接考查代数方程的应用，核心是从两个图形中提取长和宽的等量关系，利用边长差建立方程求解，需具备图形观察与转化的能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先通过两个图形明确小长方形长与宽的数量关系：①图(1)中，5个竖放小长方形的总长度等于3个横放小长方形的总长度，据此得到长和宽的比例关系；②图(2)中，中间小正方形的边长等于“2个小长方形的宽减去1个小长方形的长”，结合边长为3建立方程。联立关系求出小长方形的长和宽后，即可计算大正方形的周长。
【解析】
设小长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
1. 根据图(1)，5个小长方形的宽之和等于3个小长方形的长之和，可得：$ 5y = 3x $，即$ y = \frac{3}{5}x $；
2. 根据图(2)，中间小正方形的边长为3，其边长等于2个小长方形的宽减去1个小长方形的长，可得：$ 2y - x = 3 $；
3. 将$ y = \frac{3}{5}x $代入$ 2y - x = 3 $，得：
$ 2×\frac{3}{5}x - x = 3 $
化简得$ \frac{6}{5}x - x = 3 $，即$ \frac{1}{5}x = 3 $，解得$ x = 15 $；
4. 则$ y = \frac{3}{5}×15 = 9 $；
5. 大正方形ABCD的边长为$ x + 2y = 15 + 2×9 = 33 $，因此大正方形的周长为$ 4×33 = 132 $。
【答案】
132
【知识点】
二元一次方程应用、图形的拼接
【点评】
本题结合图形拼接考查代数方程的应用，核心是从两个图形中提取长和宽的等量关系，利用边长差建立方程求解，需具备图形观察与转化的能力。
【难度系数】
0.5
5. 新情境 乌鸦喝水 （2025·连云港期末）我们都知道《乌鸦喝水》的故事，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水.根据图中给出的信息，解答下列问题：（温馨提示：仔细看图，玻璃桶高65 cm，桶内液面原来高度为26 cm）
(1)放入一个小球水面升高
(2)如果放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到61厘米，应放入大球、小球各多少个？
(1)放入一个小球水面升高
3
cm，放入一个大球水面升高4
cm.(2)如果放入大球、小球共10个，且使水面恰好上升到61厘米，应放入大球、小球各多少个？
答案
5. (1)3 4 [解析]设一个小球使水面升高$x$厘米,由题意,得$3x=35-26$,解得$x=3$.
设一个大球使水面升高$y$厘米,由题意,得$2y=34-26$,解得$y=4$.
所以放入一个小球水面升高3 cm,放入一个大球水面升高4 cm.
(2)设应放入大球$m$个,则放入小球$(10-m)$个,
由题意,得$4m+3(10-m)=61-26$,解得$m=5$.
所以$10-m=10-5=5$,故应放入大球5个,小球5个.
设一个大球使水面升高$y$厘米,由题意,得$2y=34-26$,解得$y=4$.
所以放入一个小球水面升高3 cm,放入一个大球水面升高4 cm.
(2)设应放入大球$m$个,则放入小球$(10-m)$个,
由题意,得$4m+3(10-m)=61-26$,解得$m=5$.
所以$10-m=10-5=5$,故应放入大球5个,小球5个.
解析
【分析】
要解决这道题，先观察图中的水位变化：原来水面高度为26cm，放入3个小球后水面升至35cm，可算出3个小球使水面上升的总高度，进而求出单个小球使水面上升的高度；同理，放入2个大球后水面升至34cm，可算出单个大球使水面上升的高度。第(2)问中，设大球数量为$m$个，小球数量为$(10−m)$个，根据总上升高度等于大球和小球各自上升高度之和，列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设放入一个小球水面升高$x$ cm，放入一个大球水面升高$y$ cm。
根据放入3个小球后水面从26cm升至35cm，可得：
$3x = 35 - 26$，
解得$x = 3$。
根据放入2个大球后水面从26cm升至34cm，可得：
$2y = 34 - 26$，
解得$y = 4$。
(2) 设应放入大球$m$个，则放入小球$(10 - m)$个。
水面从26cm升至61cm，总上升高度为$61 - 26 = 35$ cm，根据大球和小球上升的总高度列方程：
$4m + 3(10 - m) = 35$，
展开得$4m + 30 - 3m = 35$，
解得$m = 5$。
则小球数量为$10 - 5 = 5$个。
【答案】
(1) 3；4 (2) 大球5个，小球5个
【知识点】
一元一次方程的应用，列方程解应用题
【点评】
本题结合“乌鸦喝水”的生活情境，考查一元一次方程在实际问题中的应用，解题关键是根据水位变化找出等量关系，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，先观察图中的水位变化：原来水面高度为26cm，放入3个小球后水面升至35cm，可算出3个小球使水面上升的总高度，进而求出单个小球使水面上升的高度；同理，放入2个大球后水面升至34cm，可算出单个大球使水面上升的高度。第(2)问中，设大球数量为$m$个，小球数量为$(10−m)$个，根据总上升高度等于大球和小球各自上升高度之和，列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 设放入一个小球水面升高$x$ cm，放入一个大球水面升高$y$ cm。
根据放入3个小球后水面从26cm升至35cm，可得：
$3x = 35 - 26$，
解得$x = 3$。
根据放入2个大球后水面从26cm升至34cm，可得：
$2y = 34 - 26$，
解得$y = 4$。
(2) 设应放入大球$m$个，则放入小球$(10 - m)$个。
水面从26cm升至61cm，总上升高度为$61 - 26 = 35$ cm，根据大球和小球上升的总高度列方程：
$4m + 3(10 - m) = 35$，
展开得$4m + 30 - 3m = 35$，
解得$m = 5$。
则小球数量为$10 - 5 = 5$个。
【答案】
(1) 3；4 (2) 大球5个，小球5个
【知识点】
一元一次方程的应用，列方程解应用题
【点评】
本题结合“乌鸦喝水”的生活情境，考查一元一次方程在实际问题中的应用，解题关键是根据水位变化找出等量关系，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.7
