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6. (2025·镇江丹徒区期末)根据以下信息，探索并完成任务.
现有一块长方形宣传牌，拟在上面书写24字宣传语.
| 信息1 | 如图(1)，(1)实线部分是长方形宣传牌，长414 cm，宽270 cm；
(2)中间虚线部分也是长方形，长是宽的1.6倍，用来设计；
(3)四周空白部分的宽度相等. |
| ---- | ---- |
| 信息2 | 如图(2)，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左中右三个长方形栏目，每个栏目书写8个字，栏目与栏目之间的中缝间距相等. |
| 信息3 | 如图(3)，每个栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中间间隔(如$CD$)和横向中间间隔(如$EF$)宽度比为$1:2$. |
| 问题解决 |
| ---- |
| 任务1 | 设四周宽度为$x\ \mathrm{cm}$，用含$x$的代数式分别表示设计部分的长和宽. |
| 任务2 | 求四周宽度$x$的值. |
| 任务3 | (1)求每个栏目的水平宽度(如$AB$)；
(2)求长方形栏目与栏目之间中缝的间距. |
现有一块长方形宣传牌，拟在上面书写24字宣传语.
| 信息1 | 如图(1)，(1)实线部分是长方形宣传牌，长414 cm，宽270 cm；
(2)中间虚线部分也是长方形，长是宽的1.6倍，用来设计；
(3)四周空白部分的宽度相等. |
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| 信息2 | 如图(2)，为了美观，将设计部分分割成大小相等的左中右三个长方形栏目，每个栏目书写8个字，栏目与栏目之间的中缝间距相等. |
| 信息3 | 如图(3)，每个栏目划出正方形方格，中间有十字间隔，竖向两列中间间隔(如$CD$)和横向中间间隔(如$EF$)宽度比为$1:2$. |
| 问题解决 |
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| 任务1 | 设四周宽度为$x\ \mathrm{cm}$，用含$x$的代数式分别表示设计部分的长和宽. |
| 任务2 | 求四周宽度$x$的值. |
| 任务3 | (1)求每个栏目的水平宽度(如$AB$)；
(2)求长方形栏目与栏目之间中缝的间距. |
答案
6. 任务1:根据题意,得设计部分的长为$(414-2x)$cm,宽为$(270-2x)$cm.
任务2:根据题意,得$414-2x=1.6(270-2x)$,解得$x=15$.故四周宽度$x$的值为15.
任务3:(1)设$CD=y$ cm,则$EF=2y$ cm,正方形方格的边长为$\frac{1}{4}(270-2×15-2y)=(60-\frac{1}{2}y)$cm,
∴$AB=2(60-\frac{1}{2}y)+y=120-y+y=120$(cm).
故每个栏目的水平宽度为120 cm.
(2)根据题意,得$\frac{414-2×15-120×3}{2}=12$(cm).
故长方形栏目与栏目之间中缝的间距为12 cm.
任务2:根据题意,得$414-2x=1.6(270-2x)$,解得$x=15$.故四周宽度$x$的值为15.
任务3:(1)设$CD=y$ cm,则$EF=2y$ cm,正方形方格的边长为$\frac{1}{4}(270-2×15-2y)=(60-\frac{1}{2}y)$cm,
∴$AB=2(60-\frac{1}{2}y)+y=120-y+y=120$(cm).
故每个栏目的水平宽度为120 cm.
(2)根据题意,得$\frac{414-2×15-120×3}{2}=12$(cm).
故长方形栏目与栏目之间中缝的间距为12 cm.
解析
【分析】
首先，任务1需根据四周空白宽度为x，用原宣传牌的长和宽减去两边空白宽度，得到设计部分的长和宽；任务2利用设计部分长是宽的1.6倍这一关系，列一元一次方程求解x；任务3需结合间隔比例关系，推导每个栏目的水平宽度，再根据设计部分的长和三个栏目总宽度，计算中缝间距。
【解析】
任务1：原宣传牌长414 cm，宽270 cm，四周空白宽度为x cm，因此设计部分的长为左右各减去x，即$\boldsymbol{(414 - 2x)\ \mathrm{cm}}$；宽为上下各减去x，即$\boldsymbol{(270 - 2x)\ \mathrm{cm}}$。
任务2：已知设计部分长是宽的1.6倍，列方程：
$414 - 2x = 1.6(270 - 2x)$
展开得：$414 - 2x = 432 - 3.2x$
移项合并：$1.2x = 18$
解得：$\boldsymbol{x = 15}$。
任务3：
(1) 设$CD = y\ \mathrm{cm}$，由竖向与横向间隔宽度比为$1:2$，得$EF = 2y\ \mathrm{cm}$。
当$x=15$时，设计部分的宽为$270 - 2×15 = 240\ \mathrm{cm}$，每个栏目内正方形方格的边长为$\frac{1}{4}(240 - 2y) = (60 - \frac{1}{2}y)\ \mathrm{cm}$。
每个栏目的水平宽度$AB$由2个正方形边长加1个竖向间隔$CD$组成，即：
$AB = 2×(60 - \frac{1}{2}y) + y = 120 - y + y = \boldsymbol{120\ \mathrm{cm}}$。
(2) 当$x=15$时，设计部分的长为$414 - 2×15 = 384\ \mathrm{cm}$。
三个栏目总宽度为$120×3 = 360\ \mathrm{cm}$，剩余宽度为两个中缝的总宽度，因此每个中缝间距为：
$\frac{384 - 360}{2} = \boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$。
【答案】
任务1：设计部分的长为$(414 - 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(270 - 2x)\ \mathrm{cm}$；任务2：$x=15$；任务3：(1)每个栏目的水平宽度为120 cm；(2)中缝间距为12 cm。
【知识点】
一元一次方程应用、长方形边长计算、代数式表示
【点评】
本题结合实际宣传牌设计场景，考查代数表达式、一元一次方程的应用，需理清各部分边长的关系，步骤清晰，注重逻辑推导。
【难度系数】
0.4
首先，任务1需根据四周空白宽度为x，用原宣传牌的长和宽减去两边空白宽度，得到设计部分的长和宽；任务2利用设计部分长是宽的1.6倍这一关系，列一元一次方程求解x；任务3需结合间隔比例关系，推导每个栏目的水平宽度，再根据设计部分的长和三个栏目总宽度，计算中缝间距。
【解析】
任务1：原宣传牌长414 cm，宽270 cm，四周空白宽度为x cm，因此设计部分的长为左右各减去x，即$\boldsymbol{(414 - 2x)\ \mathrm{cm}}$；宽为上下各减去x，即$\boldsymbol{(270 - 2x)\ \mathrm{cm}}$。
任务2：已知设计部分长是宽的1.6倍，列方程：
$414 - 2x = 1.6(270 - 2x)$
展开得：$414 - 2x = 432 - 3.2x$
移项合并：$1.2x = 18$
解得：$\boldsymbol{x = 15}$。
任务3：
(1) 设$CD = y\ \mathrm{cm}$，由竖向与横向间隔宽度比为$1:2$，得$EF = 2y\ \mathrm{cm}$。
当$x=15$时，设计部分的宽为$270 - 2×15 = 240\ \mathrm{cm}$，每个栏目内正方形方格的边长为$\frac{1}{4}(240 - 2y) = (60 - \frac{1}{2}y)\ \mathrm{cm}$。
每个栏目的水平宽度$AB$由2个正方形边长加1个竖向间隔$CD$组成，即：
$AB = 2×(60 - \frac{1}{2}y) + y = 120 - y + y = \boldsymbol{120\ \mathrm{cm}}$。
(2) 当$x=15$时，设计部分的长为$414 - 2×15 = 384\ \mathrm{cm}$。
三个栏目总宽度为$120×3 = 360\ \mathrm{cm}$，剩余宽度为两个中缝的总宽度，因此每个中缝间距为：
$\frac{384 - 360}{2} = \boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$。
【答案】
任务1：设计部分的长为$(414 - 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(270 - 2x)\ \mathrm{cm}$；任务2：$x=15$；任务3：(1)每个栏目的水平宽度为120 cm；(2)中缝间距为12 cm。
【知识点】
一元一次方程应用、长方形边长计算、代数式表示
【点评】
本题结合实际宣传牌设计场景，考查代数表达式、一元一次方程的应用，需理清各部分边长的关系，步骤清晰，注重逻辑推导。
【难度系数】
0.4
7. 分类讨论思想 如图,甲、乙两个长方体容器放置在同一水平桌面上,容器甲的底面积为$80\ \mathrm{dm^2}$,高为$6\ \mathrm{dm}$;容器乙的底面积为$40\ \mathrm{dm^2}$,高为$9\ \mathrm{dm}$.容器甲中盛满水,容器乙中没有水,容器乙的最下方装有一只处在关闭状态的水龙头.现从容器甲向容器乙匀速注水,每分钟注水$20\ \mathrm{dm^3}$.
(1)水龙头关闭时,容器甲中水位的高度每分钟下降
(2)当容器乙注满水时,求此时容器甲中水位的高度.
(3)在容器乙注满水的同时,打开水龙头开始放水,水龙头每分钟放水$60\ \mathrm{dm^3}$.从容器甲开始注水起,经过多长时间,两个容器中水位的高度相差$4\ \mathrm{dm}$?
精题详解
中考提分新题 提前感知中考常考题型与难度
(1)水龙头关闭时,容器甲中水位的高度每分钟下降
$\frac{1}{4}$
$\mathrm{dm}$,容器乙中水位的高度每分钟上升$\frac{1}{2}$
$\mathrm{dm}$.(2)当容器乙注满水时,求此时容器甲中水位的高度.
(3)在容器乙注满水的同时,打开水龙头开始放水,水龙头每分钟放水$60\ \mathrm{dm^3}$.从容器甲开始注水起,经过多长时间,两个容器中水位的高度相差$4\ \mathrm{dm}$?
精题详解
中考提分新题 提前感知中考常考题型与难度
答案
7. (1)$\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}$ [解析]容器甲中水位的高度每分钟下降$\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$(dm),容器乙中水位的高度每分钟上升$\frac{20}{40}=\frac{1}{2}$(dm).
(2)当容器乙注满水时,此时容器甲中水位的高度是$\frac{80×6-40×9}{80}=\frac{3}{2}$(dm).
(3)①在容器乙未注满水时,设开始注水$x$分钟,容器甲中水位比容器乙中水位高4 dm.
根据题意,得$(6-\frac{1}{4}x)-\frac{1}{2}x=4$,解得$x=\frac{8}{3}$,
∴开始注水$\frac{8}{3}$分钟,容器甲中水位比容器乙中水位高4 dm;
②在容器乙未注满水时,设开始注水$y$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm.
根据题意,得$\frac{1}{2}y-(6-\frac{1}{4}y)=4$,解得$y=\frac{40}{3}$,
∴开始注水$\frac{40}{3}$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm;
③容器乙注满水后,设开始注水$z$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm.
根据题意,得$9-\frac{60-20}{40}×(z-\frac{40×9}{20})-(6-\frac{1}{4}z)=4$,
解得$z=\frac{68}{3}$,
∴容器乙中注满水后,开始注水$\frac{68}{3}$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm.
综上所述,从容器甲开始注水起,经过$\frac{8}{3}$分钟或$\frac{40}{3}$分钟或$\frac{68}{3}$分钟,两个容器中水位的高度相差4 dm.
(2)当容器乙注满水时,此时容器甲中水位的高度是$\frac{80×6-40×9}{80}=\frac{3}{2}$(dm).
(3)①在容器乙未注满水时,设开始注水$x$分钟,容器甲中水位比容器乙中水位高4 dm.
根据题意,得$(6-\frac{1}{4}x)-\frac{1}{2}x=4$,解得$x=\frac{8}{3}$,
∴开始注水$\frac{8}{3}$分钟,容器甲中水位比容器乙中水位高4 dm;
②在容器乙未注满水时,设开始注水$y$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm.
根据题意,得$\frac{1}{2}y-(6-\frac{1}{4}y)=4$,解得$y=\frac{40}{3}$,
∴开始注水$\frac{40}{3}$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm;
③容器乙注满水后,设开始注水$z$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm.
根据题意,得$9-\frac{60-20}{40}×(z-\frac{40×9}{20})-(6-\frac{1}{4}z)=4$,
解得$z=\frac{68}{3}$,
∴容器乙中注满水后,开始注水$\frac{68}{3}$分钟,容器乙中水位比容器甲中水位高4 dm.
综上所述,从容器甲开始注水起,经过$\frac{8}{3}$分钟或$\frac{40}{3}$分钟或$\frac{68}{3}$分钟,两个容器中水位的高度相差4 dm.
解析
【分析】
解题思路：(1) 水位高度变化量=每分钟注水量÷容器底面积，根据甲、乙容器的底面积，分别计算注水时甲水位下降、乙水位上升的速度；(2) 先求出乙注满水的体积，再算出甲剩余的水体积，剩余体积除以甲的底面积得到甲的水位高度；(3) 分三个阶段讨论水位差：①乙未注满时，甲水位比乙高4dm；②乙未注满时，乙水位比甲高4dm；③乙注满后放水阶段，此时乙水位净减少，再根据水位差列方程，需验证解是否在对应阶段的时间范围内。
【解析】
(1) 容器甲水位每分钟下降：$\frac{20}{80}=\frac{1}{4}\ \mathrm{dm}$；容器乙水位每分钟上升：$\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\ \mathrm{dm}$。
(2) 乙注满水的体积：$40×9=360\ \mathrm{dm^3}$，甲原有水体积：$80×6=480\ \mathrm{dm^3}$，剩余水体积：$480-360=120\ \mathrm{dm^3}$，此时甲水位高度：$\frac{120}{80}=\frac{3}{2}\ \mathrm{dm}$。
(3) 分三种情况：
① 乙未注满时，设注水$x$分钟，甲水位为$(6-\frac{1}{4}x)\ \mathrm{dm}$，乙水位为$\frac{1}{2}x\ \mathrm{dm}$，根据甲比乙高4dm列方程：
$(6-\frac{1}{4}x)-\frac{1}{2}x=4$，解得$x=\frac{8}{3}$（$\frac{8}{3}＜18$，乙未注满，成立）；
② 乙未注满时，设注水$y$分钟，根据乙比甲高4dm列方程：
$\frac{1}{2}y-(6-\frac{1}{4}y)=4$，解得$y=\frac{40}{3}$（$\frac{40}{3}＜18$，乙未注满，成立）；
③ 乙注满后，注水$z$分钟，乙注满时间为$\frac{360}{20}=18$分钟，此时乙水位每分钟净减少$60-20=40\ \mathrm{dm^3}$，乙水位为$9-\frac{40(z-18)}{40}=27-z$，甲水位为$6-\frac{1}{4}z$，根据乙比甲高4dm列方程：
$(27-z)-(6-\frac{1}{4}z)=4$，解得$z=\frac{68}{3}$（$\frac{68}{3}＞18$，成立）。
综上，符合条件的时间为$\frac{8}{3}$、$\frac{40}{3}$、$\frac{68}{3}$分钟。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；$\frac{1}{2}$
(2) $\frac{3}{2}\ \mathrm{dm}$
(3) $\frac{8}{3}$分钟、$\frac{40}{3}$分钟、$\frac{68}{3}$分钟
【知识点】
长方体体积计算、一元一次方程应用、分类讨论思想
【点评】
本题结合长方体体积与一元一次方程，通过分类讨论不同注水阶段的水位变化，考查学生的逻辑分析能力和数学应用能力，是中考常见的综合应用题。
【难度系数】
0.5
解题思路：(1) 水位高度变化量=每分钟注水量÷容器底面积，根据甲、乙容器的底面积，分别计算注水时甲水位下降、乙水位上升的速度；(2) 先求出乙注满水的体积，再算出甲剩余的水体积，剩余体积除以甲的底面积得到甲的水位高度；(3) 分三个阶段讨论水位差：①乙未注满时，甲水位比乙高4dm；②乙未注满时，乙水位比甲高4dm；③乙注满后放水阶段，此时乙水位净减少，再根据水位差列方程，需验证解是否在对应阶段的时间范围内。
【解析】
(1) 容器甲水位每分钟下降：$\frac{20}{80}=\frac{1}{4}\ \mathrm{dm}$；容器乙水位每分钟上升：$\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\ \mathrm{dm}$。
(2) 乙注满水的体积：$40×9=360\ \mathrm{dm^3}$，甲原有水体积：$80×6=480\ \mathrm{dm^3}$，剩余水体积：$480-360=120\ \mathrm{dm^3}$，此时甲水位高度：$\frac{120}{80}=\frac{3}{2}\ \mathrm{dm}$。
(3) 分三种情况：
① 乙未注满时，设注水$x$分钟，甲水位为$(6-\frac{1}{4}x)\ \mathrm{dm}$，乙水位为$\frac{1}{2}x\ \mathrm{dm}$，根据甲比乙高4dm列方程：
$(6-\frac{1}{4}x)-\frac{1}{2}x=4$，解得$x=\frac{8}{3}$（$\frac{8}{3}＜18$，乙未注满，成立）；
② 乙未注满时，设注水$y$分钟，根据乙比甲高4dm列方程：
$\frac{1}{2}y-(6-\frac{1}{4}y)=4$，解得$y=\frac{40}{3}$（$\frac{40}{3}＜18$，乙未注满，成立）；
③ 乙注满后，注水$z$分钟，乙注满时间为$\frac{360}{20}=18$分钟，此时乙水位每分钟净减少$60-20=40\ \mathrm{dm^3}$，乙水位为$9-\frac{40(z-18)}{40}=27-z$，甲水位为$6-\frac{1}{4}z$，根据乙比甲高4dm列方程：
$(27-z)-(6-\frac{1}{4}z)=4$，解得$z=\frac{68}{3}$（$\frac{68}{3}＞18$，成立）。
综上，符合条件的时间为$\frac{8}{3}$、$\frac{40}{3}$、$\frac{68}{3}$分钟。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；$\frac{1}{2}$
(2) $\frac{3}{2}\ \mathrm{dm}$
(3) $\frac{8}{3}$分钟、$\frac{40}{3}$分钟、$\frac{68}{3}$分钟
【知识点】
长方体体积计算、一元一次方程应用、分类讨论思想
【点评】
本题结合长方体体积与一元一次方程，通过分类讨论不同注水阶段的水位变化，考查学生的逻辑分析能力和数学应用能力，是中考常见的综合应用题。
【难度系数】
0.5
8. 传统文化 幻方 （2024·攀枝花中考）幻方，中国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”. 如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则$a$的值为
3
.答案
8. 3 [解析]如图:
根据题意,得$x+5+z=2+9+z$,
∴$x=6$.
∵$9+5=x+y$,
∴$y=14-6=8$.
∵$a+y=2+9$,
∴$a=11-8=3$.
解析
【分析】
要解决幻方问题，需利用幻方的核心性质：每行、每列及各条对角线上的三个数之和相等。我们可以先找到含有相同未知数的等式，通过消去公共未知数求出其他未知量，再逐步推导目标值$a$。
【解析】
根据幻方的性质，每行、每列、每条对角线的三个数之和相等：
1. 观察等式$x + 5 + z = 2 + 9 + z$，两边同时减去$z$，可得$x + 5 = 11$，解得$x = 6$；
2. 再根据和相等的关系$9 + 5 = x + y$，将$x = 6$代入，得$14 = 6 + y$，解得$y = 8$；
3. 最后根据和相等的关系$a + y = 2 + 9$，将$y = 8$代入，得$a + 8 = 11$，解得$a = 3$。
【答案】
3
【知识点】
幻方性质，代数式求值
【点评】
本题结合传统文化中的幻方，考查对幻方性质的理解与应用，通过逐步消元求解未知量，是基础的代数应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决幻方问题，需利用幻方的核心性质：每行、每列及各条对角线上的三个数之和相等。我们可以先找到含有相同未知数的等式，通过消去公共未知数求出其他未知量，再逐步推导目标值$a$。
【解析】
根据幻方的性质，每行、每列、每条对角线的三个数之和相等：
1. 观察等式$x + 5 + z = 2 + 9 + z$，两边同时减去$z$，可得$x + 5 = 11$，解得$x = 6$；
2. 再根据和相等的关系$9 + 5 = x + y$，将$x = 6$代入，得$14 = 6 + y$，解得$y = 8$；
3. 最后根据和相等的关系$a + y = 2 + 9$，将$y = 8$代入，得$a + 8 = 11$，解得$a = 3$。
【答案】
3
【知识点】
幻方性质，代数式求值
【点评】
本题结合传统文化中的幻方，考查对幻方性质的理解与应用，通过逐步消元求解未知量，是基础的代数应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
