7. 已知甲、乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道的长度相同. 甲平均每秒跑4米，乙平均每秒跑6米，若甲、乙两人分别从A，C两处同时相向出发（如图所示），试解答下列问题：
(1)几秒后两人首次相遇？此时他们在哪段跑道上？
(2)首次相遇后，又经过多长时间他们再次相遇？在哪一段跑道上？
(3)他们第10次相遇时，在哪一段跑道上？
(4)若甲、乙两人在首次相遇后，甲、乙两人决定同方向练习跑步，问：甲、乙两人经过多长时间再次相遇？在哪一段跑道上？

7. (1)设 $x$ 秒后两人首次相遇,
由题意,得 $4x+6x=100$,解得 $x=10$,
甲跑的路程为 $4×10=40$(米).
故 10 秒后两人首次相遇,此时他们在直道 $AB$ 上,且距离点 $B$ 10 米的位置.
(2)设 $y$ 秒后两人再次相遇,
由题意,得 $4y+6y=200$,解得 $y=20$,
首次相遇后,甲跑的路程为 $4×20=80$(米).
故 20 秒后两人再次相遇,此时他们在直道 $CD$ 上,且距离点 $D$ 30 米的位置.
(3)第 1 次相遇,总用时 10 秒;
第 2 次相遇,总用时 $10+20×1=30$(秒);
第 3 次相遇,总用时 $10+20×2=50$(秒);
...
第 10 次相遇,总用时 $10+20×9=190$(秒).
此时甲跑的圈数为 $190×4÷200=3.8$.
$\because 200×(3.8-3)=160$(米),
$\therefore$此时甲在弯道 $AD$ 上,且距离点 $A$ 40 米的位置.
(4)甲、乙两人经过 $z$ 秒再次相遇,
由题意,得 $6z-4z=200$,解得 $z=100$,
故 100 秒后再次相遇,甲跑的路程为 $4×100=400$(米).
故甲在他们第一次相遇后又跑了 2 圈,此时他们在直道$AB$ 上,且距离点 $B$ 10 米的位置.
思路引导 本题考查的是一元一次方程中的行程问题,解题的关键是理解相遇问题以及找到第 10 次相遇时用的时间为多少,通过构建数学模型求解.

【分析】
本题为环形跑道行程问题，分四类场景分析：①首次相向相遇：甲从A、乙从C，初始相向距离为2段跑道（每段50米，共100米），相向相遇时两人路程和等于初始距离，据此求首次相遇时间；②后续相向相遇：每次再次相向相遇，两人路程和为1圈（200米），间隔时间固定，总时间为首次时间加间隔时间的倍数；③第10次相遇：总时间为首次时间加9个间隔时间，计算甲的总路程，通过总路程除以周长的余数确定位置；④同向追及相遇：同向出发时，乙比甲多跑1圈时再次相遇，据此列追及方程求解时间，再确定位置。
【解析】
(1) 设x秒后两人首次相遇。
跑道每段长：200÷4=50米，甲、乙初始相向距离为2段，即50×2=100米。
根据相遇时路程和等于初始距离，列方程：4x + 6x = 100，
解得x=10。
甲跑的路程：4×10=40米，A到B为50米，故40米在直道AB上，距离B点50-40=10米。
结论：10秒后两人首次相遇，在直道AB上，距B点10米处。
(2) 设y秒后两人再次相遇。
首次相遇后，再次相向相遇时两人路程和为1圈（200米），列方程：4y + 6y = 200，
解得y=20。
首次相遇后甲跑的路程：4×20=80米，从首次相遇点（AB距B10米）出发，AB剩余10米，BC段50米，共跑10+50=60米，剩余80-60=20米，在直道CD上，距离D点50-20=30米。
结论：20秒后两人再次相遇，在直道CD上，距D点30米处。
(3) 第1次相遇总用时10秒，之后每次相遇间隔20秒，故第n次相遇总用时为10+20(n-1)秒。
第10次相遇总用时：10 + 20×9=190秒。
甲跑的总路程：4×190=760米，760÷200=3圈余160米，即甲跑了3圈加160米。
从A出发，A→B(50)→C(50)→D(50)，共150米，160-150=10米，在弯道AD上，距离A点50-10=40米。
结论：第10次相遇时，在弯道AD上，距A点40米处。
(4) 设z秒后两人同向再次相遇。
同向追及时，乙比甲多跑1圈（200米），列方程：6z - 4z =200，
解得z=100。
甲跑的路程：4×100=400米，400÷200=2圈，刚好跑2圈，从首次相遇点出发，回到原位置，即直道AB上，距B点10米处。
结论：100秒后再次相遇，在直道AB上，距B点10米处。
【答案】
(1)10秒，直道AB上，距离点B10米的位置；
(2)20秒，直道CD上，距离点D30米的位置；
(3)弯道AD上，距离点A40米的位置；
(4)100秒，直道AB上，距离点B10米的位置。
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，环形跑道问题
【点评】
本题是典型的环形跑道行程问题，涵盖相向相遇、同向追及及多次相遇的规律，需明确不同情况的路程关系，多次相遇需总结总时间的变化规律，对学生的逻辑分析和计算能力有一定要求，关键是理清每次相遇的路程差/和及位置判断方法。
【难度系数】
0.5

8. (2024·威海中考改编)定义:我们把数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫作数$a$的绝对值.数轴上表示数$a,b$的点$A,B$之间的距离$AB=a-b(a≥ b)$.特别的,当$a≥0$时,表示数$a$的点与原点的距离等于$a-0$;当$a＜0$时,表示数$a$的点与原点的距离等于$0-a$.
应用:如图,在数轴上,动点$A$从表示$-3$的点出发,以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时,动点$B$从表示12的点出发,以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.问经过多长时间,点$A,B$之间的距离等于3个单位长度?

8. (1)设经过 $m$ 秒,点 $A,B$ 之间的距离等于 3 个单位长度,
则$|(-3+m)-(12-2m)|=3$,
解得 $m=4$ 或 $m=6$.
故经过 4 秒或 6 秒,点 $A,B$ 之间的距离等于 3 个单位长度.

【分析】首先设经过$ m $秒后，点$ A $、$ B $之间的距离为3个单位长度。根据动点的运动方向和速度，分别表示出$ m $秒后点$ A $和点$ B $在数轴上对应的数：点$ A $从$-3$出发，以1单位/秒向正方向运动，位置为$-3 + m$；点$ B $从12出发，以2单位/秒向负方向运动，位置为$12 - 2m$。再结合数轴上两点间距离的定义（两点距离为对应数差的绝对值），列出含绝对值的方程，最后求解方程并验证解的合理性（时间非负）。
【解析】设经过$ m $秒，点$ A,B $之间的距离等于3个单位长度。
$ m $秒后，点$ A $对应的数为$-3 + m$，点$ B $对应的数为$12 - 2m$。
根据数轴上两点间距离的定义，可列方程：
$|(-3 + m) - (12 - 2m)| = 3$
化简绝对值内的式子得：
$|3m - 15| = 3$
根据绝对值的性质分两种情况求解：
① 当$3m - 15 = 3$时，解得$m = 6$；
② 当$3m - 15 = -3$时，解得$m = 4$。
因为时间$ m ≥ 0$，所以$m=4$和$m=6$均符合题意。
【答案】经过4秒或6秒，点$ A,B $之间的距离等于3个单位长度。
【知识点】数轴上的动点问题、绝对值的应用、一元一次方程的解法
【点评】本题是数轴动点的典型应用题，核心是用代数式表示动点位置，利用绝对值表示两点距离，关键在于正确列出含绝对值的方程，并根据绝对值的性质分情况求解，需注意解的实际意义（时间非负），难度适中，考查学生的逻辑分析与方程应用能力。
【难度系数】0.5