三、解答题
13. 解下列二元一次方程组。
(1)$(2024· 绍兴嵊州)\begin{cases}5x=3y, \\x-y=4;\end{cases}$
(2)$(2024· 宁波余姚)\begin{cases}x+1=6y, \\2(x+1)-y=11。\end{cases}$

13.(1)$\begin{cases} x=-6, \\ y=-10 \end{cases}$ (2)$\begin{cases} x=5, \\ y=1 \end{cases}$

【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元转化为一元求解，常用方法有代入消元法和加减消元法。本题两个方程组均适合用代入消元法：(1)中第二个方程可直接用y表示x，代入第一个方程消去x；(2)中第二个方程含(x+1)，可将第一个方程的(x+1)整体代入，简化计算。
【解析】
(1) $\begin{cases}5x=3y&① \\x-y=4&② \end{cases}$
由②得：$x = y + 4$ ③
把③代入①，得：$5(y + 4) = 3y$
展开得：$5y + 20 = 3y$
移项合并同类项：$2y = -20$
解得：$y = -10$
把$y = -10$代入③，得：$x = -10 + 4 = -6$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-6 \\y=-10 \end{cases}$
(2) $\begin{cases}x + 1 = 6y&① \\2(x + 1) - y = 11&② \end{cases}$
把①代入②，得：$2×6y - y = 11$
计算得：$12y - y = 11$
合并同类项：$11y = 11$
解得：$y = 1$
把$y = 1$代入①，得：$x + 1 = 6×1$，解得$x = 5$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\y=1 \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-6, \\ y=-10 \end{cases}$ (2)$\begin{cases} x=5, \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法、代入消元法、二元一次方程组的解
【点评】
本题为二元一次方程组的基础题型，主要考察代入消元法的应用，是学生需熟练掌握的核心知识点，整体难度适中。
【难度系数】
0.7

14.某公司捐助的一批物资(120吨)打算运往上海，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示(假设每辆车均满载)：
| 车型 | 甲 | 乙 | 丙 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 汽车运载量/(吨/辆) | | 8 | 10 |
| 汽车运费/(元/辆) | 400 | 500 | 600 |
(1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)为了节省运费，该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？

14.(1)设需甲种车型 $x$ 辆，乙种车型 $y$ 辆。根据题意得$\begin{cases} 5x+8y=120, \\ 400x+500y=8200, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=8, \\ y=10。 \end{cases}$答:需甲种车型8辆，乙种车型10辆。
(2)设甲种车型有 $a$ 辆，乙种车型有 $b$ 辆，则丙种车型有$(14-a-b)$辆，由题意得 $5a+8b+10(14-a-b)=120$，化简得 $5a+2b=20$，即 $a=4-\dfrac{2}{5}b$。因为 $a,b,14-a-b$ 均为正整数，所以 $b$ 只能等于5，从而 $a=2,14-a-b=7$，所以甲种车型2辆，乙种车型5辆，丙种车型7辆，所以需运费$400× 2+500× 5+600× 7=7500$(元)。答:甲种车型2辆，乙种车型5辆，丙种车型7辆，需运费7500元。

【分析】
第(1)问：已知仅用甲、乙两种车型运送，总物资120吨，总运费8200元，设甲车型数量为x辆，乙车型数量为y辆，根据“甲的运载量+乙的运载量=120吨”和“甲的运费+乙的运费=8200元”，建立二元一次方程组求解即可得到两种车型的数量。
第(2)问：三种车型同时参与运送，总辆数14辆，总物资120吨，设甲车型a辆，乙车型b辆，则丙车型为(14-a-b)辆，根据总运载量列方程，化简后得到不定方程，结合a、b、丙的数量均为正整数的条件，确定各车型数量，再计算总运费。
【解析】
(1)设需甲种车型$x$辆，乙种车型$y$辆。
根据题意，列方程组：
$\begin{cases}5x + 8y = 120 \\400x + 500y = 8200 \end{cases}$
化简第二个方程：两边同除以100得$4x + 5y = 82$。
由第一个方程得$x=\frac{120 - 8y}{5}$，代入化简后的方程：
$4×\frac{120 - 8y}{5} + 5y = 82$
两边乘5得：$480 - 32y + 25y = 410$
解得$y=10$，代入$x=\frac{120 -8×10}{5}=8$。
即$\begin{cases}x=8 \\ y=10 \end{cases}$。
(2)设甲种车型$a$辆，乙种车型$b$辆，则丙种车型为$(14 -a -b)$辆。
根据总运载量列方程：
$5a +8b +10(14 -a -b)=120$
化简得：$5a +2b=20$，变形为$a=4-\frac{2}{5}b$。
因为$a、b、14-a-b$均为正整数，所以$b$是5的倍数，且满足$a＞0$、$14-a-b＞0$。
当$b=5$时，$a=4-\frac{2}{5}×5=2$，丙车型数量为$14-2-5=7$，符合条件。
总运费为：$400×2 +500×5 +600×7=800+2500+4200=7500$（元）。
【答案】
(1)需甲种车型8辆，乙种车型10辆；
(2)甲种车型2辆，乙种车型5辆，丙种车型7辆，此时运费为7500元。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程整数解，实际问题建模
【点评】
本题为物资运输的实际应用问题，需根据题意建立方程，第(2)问的关键是利用“车型数量为正整数”的隐含条件确定解，考察学生分析和解决实际问题的能力，难度适中。
【难度系数】
0.5