24.正方形ABCD中，E为BC上一动点（不与端点重合），连结AE，过点B作$BF⊥AE$于点F，过点D作$DG⊥AE$于点G。
(1)如图1，若$BF=3$，$FG=5$，求DG的长度。
(2)如图2，连结DF，CG，判断DF和CG的数量关系，并说明理由。
(3)如图3，H，I分别为GF，CD中点，连结HI，判断$∠AHI$和$∠GDF$的数量关系，并说明理由。

24.(1)因为正方形ABCD,所以$AB=DA$,$∠DAB=90°$,所以$∠BAF+∠DAG=90°$,因为$DG⊥AE$,$BF⊥AE$,所以$∠BAF+∠ABF=90°$,$∠AFB=∠DGA=90°$,所以$∠ABF=∠DAG$,在$△ABF$和$△DAG$中,$\begin{cases}∠AFB=∠DGA,\\∠ABF=∠DAG,\\AB=DA,\end{cases}$所以$△ABF≌△DAG(AAS)$,所以$AG=BF=3$,$DG=AF$,因为$AF=AG+GF=3+5=8$,所以$DG=AF=8$。 (2)$DF=CG$,理由如下:因为$△ABF≌△DAG$,所以$DG=AF$,$∠BAF=∠ADG$,因为正方形ABCD,所以$CD=DA$,$∠BAD=∠ADC=90°$,所以$90°-∠BAF=90°-∠ADG$,所以$∠DAF=∠CDG$,在$△DAF$和$△CDG$中,$\begin{cases}DA=CD,\\∠DAF=∠CDG,\\AF=DG,\end{cases}$所以$△DAF≌△CDG$,所以$DF=CG$。 (3)$∠AHI+∠GDF=135°$。理由如下:设DF,HI的交点是O,取DG的中点N,连结NH,NI,则NH,NI分别是$△DGF$,$△DGC$的中位线,所以$NH// DF$,$NH=\frac{1}{2}DF$,$NI// GC$,$NI=\frac{1}{2}GC$,因为$DF=CG$,所以$NH=NI$,设DF,CG的交点为L,NI,DF的交点为M,NH,CG的交点为K,因为$△DAF≌△CDG$,所以$∠DGC=∠DFA$,因为$∠DGC+∠FGL=90°$,所以$∠AFL+∠FGL=90°$,所以$∠GLF=90°$,因为$NH// DF$,$NI// GC$,所以$∠NML=90°$,$∠NKL=90°$,所以四边形KLMN是矩形,所以$∠HNI=90°$,因为$NH=NI$,所以$△NHI$为等腰直角三角形,所以$∠NHI=∠NIH=45°$,因为$NH// DF$,所以$∠GDF=∠GNH$,因为$DG⊥AE$,所以$∠GNH+∠GHN=90°$,所以$∠GDF+∠GHN=90°$,因为$∠GHI=∠GHN+∠NHI$,所以$∠AHI+∠GDF=∠GNH+∠GHN+∠NHI=135°$。

【分析】
本题是正方形背景下的几何综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要计算DG的长度，需利用正方形的性质和全等三角形：由正方形ABCD得AB=AD，∠BAD=90°，结合BF⊥AE、DG⊥AE，可推出∠ABF=∠DAG，证明△ABF≌△DAG（AAS），得到对应边AG=BF，DG=AF，再根据AF=AG+FG代入数值计算即可；
(2) 判断DF和CG的数量关系，仍用全等：由(1)的全等得AF=DG，结合正方形AD=CD，∠DAF=∠CDG，证明△DAF≌△CDG，从而得DF=CG；
(3) 探究∠AHI与∠GDF的关系，利用三角形中位线定理：取DG中点N，连接NH、NI，得NH//DF、NI//CG，且NH=½DF，NI=½CG，结合DF=CG得NH=NI，再证△NHI为等腰直角三角形，通过平行线的角转换，最终推出两角和为135°。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=DA，∠DAB=90°，
∴ ∠BAF + ∠DAG = 90°，
∵ BF⊥AE，DG⊥AE，
∴ ∠AFB=∠DGA=90°，
∴ ∠BAF + ∠ABF = 90°，
∴ ∠ABF=∠DAG，
在△ABF和△DAG中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠DGA \\∠ABF=∠DAG \\AB=DA\end{array} $
∴ △ABF≌△DAG（AAS），
∴ AG=BF=3，DG=AF，
又
∵ AF=AG + FG=3 + 5=8，
∴ DG=8；
(2) DF=CG，理由如下：
由(1)中△ABF≌△DAG，得AF=DG，∠BAF=∠ADG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ CD=DA，∠BAD=∠ADC=90°，
∴ 90° - ∠BAF = 90° - ∠ADG，即∠DAF=∠CDG，
在△DAF和△CDG中：
$\{\begin{array}{l}DA=CD \\∠DAF=∠CDG \\AF=DG\end{array} $
∴ △DAF≌△CDG（SAS），
∴ DF=CG；
(3) ∠AHI + ∠GDF=135°，理由如下：
取DG的中点N，连接NH、NI，
∵ H是GF中点，N是DG中点，
∴ NH是△DGF的中位线，
∴ NH//DF，NH=½DF，
同理，I是CD中点，N是DG中点，
∴ NI是△DGC的中位线，
∴ NI//CG，NI=½CG，
由(2)知DF=CG，
∴ NH=NI，
由△DAF≌△CDG得∠DFA=∠CGD，
∵ DG⊥AE，
∴ ∠CGD + ∠FGL=90°，
∴ ∠DFA + ∠FGL=90°，即∠GLF=90°，
∵ NH//DF，NI//CG，
∴ ∠NML=∠NKL=90°，
∴ 四边形KLMN是矩形，
∴ ∠HNI=90°，
又
∵ NH=NI，
∴ △NHI是等腰直角三角形，
∴ ∠NHI=45°，
∵ NH//DF，
∴ ∠GDF=∠GNH，
∵ DG⊥AE，
∴ ∠GNH + ∠GHN=90°，
∴ ∠GDF + ∠GHN=90°，
又
∵ ∠AHI=∠GHN + ∠NHI，
∴ ∠AHI + ∠GDF=∠GHN + 45° + ∠GDF=90° + 45°=135°；
【答案】
(1) DG的长度为8；(2) DF=CG；(3) ∠AHI + ∠GDF=135°。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，通过多次运用全等三角形的判定与性质，结合三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质进行推导，综合性较强，需要学生具备较强的逻辑推理能力，逐步突破各小问的条件关联。
【难度系数】
0.4