22. 如图 1,在$□ ABCD$中,点 E,F 分别在 AB,CD 上,满足 $DE// BF$。
(1)求证:四边形 BFDE 是平行四边形。
(2)如图 2,连结 EF,若 $AD=13,AE=14,DE=DF=15$,求 EF 的长。

22.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB// CD$,因为$DE// BF$,所以四边形BFDE是平行四边形。 (2)如图,过点D作$DG⊥AB$于点G,连结BD,交EF于点O,则$∠AGD=∠BGD=90°$。因为四边形BFDE是平行四边形,$DE=DF=15$,所以四边形BFDE是菱形,所以$OE=\frac{1}{2}EF$,$DO=\frac{1}{2}BD$,$BD⊥EF$,$BE=DE=15$,设$AG=x$,则$GE=14-x$,根据勾股定理得:$DG^2=AD^2-AG^2=DE^2-EG^2$,所以$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$,解得:$x=5$,所以$AG=5$,$EG=14-5=9$,所以$BG=EG+BE=24$,根据勾股定理得:$DG^2=\sqrt{DE^2-EG^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$,所以$DB=\sqrt{DG^2+BG^2}=\sqrt{12^2+24^2}=12\sqrt{5}$,所以$DO=6\sqrt{5}$,所以$EO=\sqrt{DE^2-DO^2}=3\sqrt{5}$,所以$EF=2EO=6\sqrt{5}$。

【分析】
第(1)问要证明四边形BFDE是平行四边形，需利用平行四边形ABCD的对边平行性质，结合已知DE//BF，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”完成证明；第(2)问，由DE=DF结合平行四边形BFDE可判定其为菱形，菱形对角线互相垂直平分，因此通过作高DG构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求出相关线段长度，再结合菱形对角线性质计算EF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，即BE//DF，
又
∵ DE//BF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形BFDE是平行四边形，且DE=DF=15，
∴ 平行四边形BFDE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴ OE=½EF，DO=½BD，BD⊥EF，BE=DE=15。
过点D作DG⊥AB于点G，设AG=x，则GE=AE - AG=14 - x。
在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG²=AD² - AG²=13² - x²，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：DG²=DE² - EG²=15² - (14 - x)²，
∴ 13² - x² = 15² - (14 - x)²，
展开计算：169 - x² = 225 - (196 - 28x + x²)，
化简得：169 = 29 + 28x，解得x=5。
∴ AG=5，GE=14 - 5=9，BG=GE + BE=9 + 15=24，
在Rt△DEG中，DG²=15² - 9²=144，故DG=12，
在Rt△BDG中，BD=√(DG² + BG²)=√(12² + 24²)=12√5，
∴ DO=½BD=6√5，
在Rt△DOE中，OE=√(DE² - DO²)=√(15² - (6√5)²)=3√5，
∴ EF=2OE=6√5。
【答案】
6√5
【知识点】
平行四边形判定、菱形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题关键是先判定四边形BFDE为菱形，再通过作高构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解线段长度，难度适中。
【难度系数】
0.6

23. 2025年初,中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球,于是某书店开始销售《哪吒2》绘本。已知现在每套售价定为30元时,平均每天可售出60套;根据以往同类绘本销售规律:在每套涨价小于10元时,如果每套书每涨价1元,那么少售出4套/天;在每套降价小于10元时,如果每套书每降价1元,那么多售出1套/天。
(1)若该书店计划每套书涨价5元,根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少。
(2)能否通过每套书降价$ x $元($ x $为整数,$ 0＜x＜10 $),根据以往同类绘本销售规律估计,使每天获得的总销售额刚好与题(1)中的总销售额相等?若能,求出$ x $的值;若不能,请说明理由。
(3)根据以往同类绘本销售规律,书店设计了两种销售方案:书店方案一:每套书涨价$ m $元($ m $为整数,$ 0＜m＜10 $);书店方案二:每套书降价$ n $元($ n $为整数,$ 0＜n＜10 $)。是否存在这样的$ m,n $数值,使得两种方案总销售额相等?若存在,求$ m:n $的比值;若不存在,请说明理由。

23.(1)由题意得:$(30+5)(60-4×5)=1400$(元),答:书店每套书涨价5元,估计每天获得总销售额是1400元。 (2)不能,由题意可得:$(30-x)(60+x)=1400$,解得$x_1=-40$或$x_2=10$,因为$x$为整数且$0＜x＜10$,所以都不满足题意,都舍去,所以每套书降价$x$元($x$为整数,$0＜x＜10$)时,每天获得的总销售额不能与题(1)中的总销售额相等。 (3)存在,由题意可得:$(30+m)(60-4m)=(30-n)(60+n)$,整理得$(2m-n)(30+2m+n)=0$,因为$0＜m＜10$,$0＜n＜10$,所以$30+2m+n≠0$,所以$2m-n=0$,所以当$m:n=\frac{1}{2}$时,两种方案的总销售额相等,此时$0＜m＜5$,$0＜n＜10$。

【分析】
本题为销售类一元二次方程应用题，分三小问逐步分析：
(1) 涨价时，售价=原售价+涨价额，销量=原销量-因涨价减少的销量，总销售额=售价×销量，直接代入计算即可；
(2) 降价时，售价=原售价-降价额，销量=原销量+因降价增加的销量，令总销售额等于(1)的结果，解方程后根据x的取值范围（0＜x＜10且为整数）判断解是否合理；
(3) 分别表示两种方案的总销售额，令其相等，整理方程后结合m、n的取值范围（0＜m＜10、0＜n＜10）舍去不合理的解，推导m与n的关系，进而求出比值。
【解析】
(1) 每套涨价5元时，售价为 $ 30 + 5 = 35 $ 元，每天销量为 $ 60 - 4 × 5 = 40 $ 套，总销售额为 $ 35 × 40 = 1400 $ 元；
(2) 设每套降价 $ x $ 元（$ 0 ＜ x ＜ 10 $，$ x $ 为整数），则售价为 $ (30 - x) $ 元，销量为 $ (60 + x) $ 套，根据总销售额相等列方程：
$(30 - x)(60 + x) = 1400$
展开整理得 $ x^2 + 30x - 400 = 0 $，解得 $ x_1 = 10 $，$ x_2 = -40 $，均不满足 $ 0 ＜ x ＜ 10 $，故不能；
(3) 方案一总销售额为 $ (30 + m)(60 - 4m) $，方案二总销售额为 $ (30 - n)(60 + n) $，令两者相等：
$(30 + m)(60 - 4m) = (30 - n)(60 + n)$
展开整理并因式分解得 $ (2m - n)(2m + n + 30) = 0 $，因 $ 0 ＜ m ＜ 10 $、$ 0 ＜ n ＜ 10 $，故 $ 2m + n + 30 ≠ 0 $，得 $ 2m = n $，即 $ m:n = 1:2 $，符合取值范围。
【答案】
(1) 1400元；(2) 不能，理由见解析；(3) 存在，$ m:n = \frac{1}{2} $
【知识点】
一元二次方程的应用、代数式化简
【点评】
本题结合销售场景考查一元二次方程的实际应用，需准确根据涨价/降价规则表示售价与销量，重点考查方程建立、求解及取值范围的判断，是中等难度的实际问题。
【难度系数】
0.5