20.如图,在$5×5$正方形网格中,每个小正方形顶点称为格点,例如线段$AB$的端点在格点上,已知每个小正方形边长均为1,利用无刻度直尺作图,请完成下列各小题。

(1)在图1中,以$AB$为边作一个菱形$ABCD$(不是正方形),其中点$C,D$为格点。
(2)在图2中,以$AB$为边作正方形$ABEF$,其中点$E,F$为格点。

20.(1)如图1,四边形ABCD即为所求。(答案不唯一)
(2)如图2,四边形ABEF即为所求。

【分析】
要完成网格中的菱形和正方形作图，需结合菱形、正方形的性质，利用网格格点的位置关系分析：
(1) 作菱形ABCD：菱形的核心性质是四边相等、对边平行，且不是正方形，因此需保证AB、BC、CD、DA长度相等，且邻边夹角不为90°；
(2) 作正方形ABEF：正方形的核心性质是邻边垂直且相等，对边平行，因此需保证AB与BE垂直且长度相等，AB与AF垂直且长度相等。
【解析】
(1) 图1作菱形步骤：
① 计算AB长度：AB在网格中横向差1、纵向差2，长度为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
② 从点B出发，向右平移2格、向下平移1格得到格点C，此时BC长度为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$；
③ 从点A出发，向右平移2格、向下平移1格得到格点D，此时AD、CD长度均为$\sqrt{5}$；
④ 连接AB、BC、CD、DA，四边形ABCD四边相等且邻边夹角非90°，即为所求菱形。
(2) 图2作正方形步骤：
① AB的向量为$(-1,-2)$，垂直于AB的向量为$(2,-1)$（满足点积为0，即垂直）；
② 从点B出发，沿向量$(2,-1)$找到格点E，从点A出发，沿向量$(2,-1)$找到格点F；
③ 连接AB、BE、EF、FA，AB与BE垂直且长度相等，四边形ABEF即为所求正方形。
【答案】
20.(1) 如图1，四边形ABCD即为所求。(答案不唯一)
(2) 如图2，四边形ABEF即为所求。

【知识点】
菱形的判定、正方形的判定、网格作图
【点评】
本题为网格作图题，考察对菱形、正方形性质的应用，要求学生结合网格格点特征，利用边长、垂直关系完成作图，需准确把握图形判定条件，属于中等难度的作图题。
【难度系数】
0.5

21.(改编)在周长相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为4,它的另一边长为6。
(1)设矩形的一边长为$ x $,用含$ x $的代数式表示它的另一条边长和面积。
(2)圆圆说其中有一个矩形的面积为21,方方说有一个矩形的面积为30。你认为圆圆和方方的说法是否正确?请说明理由。

21.(1)由题意得:矩形的另一条边长为$\frac{2×(4+6)-2x}{2}=10-x$,则矩形的面积为$x(10-x)=-x^2+10x$,答:矩形的另一条边长为$10-x$,面积为$-x^2+10x$。 (2)当矩形的面积为21时,则$-x^2+10x=21$,整理得:$x^2-10x+21=0$,解得$x=3$或$x=7$,所以当矩形的一条边长为3,另一条边长为7时,矩形的面积为21,所以圆圆的说法正确。当矩形的面积为30时,则$-x^2+10x=30$,整理得:$x^2-10x+30=0$,这个方程的根的判别式为$Δ=(-10)^2-4×1×30=-20＜0$,方程没有实数根,即在本题的条件下,没有一个矩形的面积为30,所以方方的说法不正确。

【分析】本题的核心是利用“周长相等”确定所有矩形的周长，结合矩形周长、面积公式解决问题；判断面积是否存在时，需将面积代入表达式得到一元二次方程，通过根的判别式判断方程是否有实数解，进而确定说法是否正确。
【解析】
(1) 已知周长为4和6的矩形周长为：$2×(4+6)=20$，因所有矩形周长相等，设一边长为$x$，则另一边长为$\frac{20}{2}-x=10-x$，矩形面积为$x(10-x)=-x^2+10x$。
(2) ① 当面积为21时，令$-x^2+10x=21$，整理得$x^2-10x+21=0$，解得$x=3$或$x=7$，均为正数，符合实际，故存在这样的矩形，圆圆的说法正确。
② 当面积为30时，令$-x^2+10x=30$，整理得$x^2-10x+30=0$，根的判别式$\Delta=(-10)^2-4×1×30=-20＜0$，方程无实数根，故不存在这样的矩形，方方的说法不正确。
【答案】(1) 另一条边长为$10-x$，面积为$-x^2+10x$；(2) 圆圆的说法正确，方方的说法不正确。
【知识点】矩形的周长与面积、一元二次方程的应用、根的判别式
【点评】本题结合矩形性质考查一元二次方程的实际应用，关键是利用周长关系建立边长表达式，通过判别式判断解的存在性，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6