20.如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,连结FD,FE。
(1)求证:四边形BEFD是平行四边形。
(2)连结BF,若四边形BEFD是菱形,$BF=12,AC=8$,求EF的长。

20.(1)证明:因为D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,所以DF,EF是$△ ABC$的中位线,所以$DF// BC,EF// BA$,所以四边形BEFD是平行四边形。
(2)因为四边形BEFD是菱形,D,E分别是边AB,BC的中点,所以$AD=BD,BE=EC$,所以$BC=BA$,因为F是边CA的中点,所以$BF⊥ AC,AF=CF=4$,在$\mathrm{Rt}△ BFC$中,$BF=12,FC=4$,所以$BC=\sqrt{BF^2+FC^2}=\sqrt{144+16}=4\sqrt{10}$,因为在$\mathrm{Rt}△ BFC$中,E是边BC的中点,所以$EF=\dfrac{1}{2}BC=2\sqrt{10}$。

【分析】
第(1)问要证明四边形BEFD是平行四边形，需利用平行四边形“两组对边分别平行”的判定定理，结合三角形中位线定理，由中点推出中位线平行于第三边，得到两组对边平行即可；第(2)问中，菱形的邻边相等、对角线垂直，结合中点性质推出AB=BC，再利用勾股定理算出BC，最后用三角形中位线定理求EF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
∴ DF、EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理，得 $DF// BC$，$EF// AB$，
即 $DF// BE$，$EF// BD$，
∴ 四边形BEFD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形BEFD是菱形，
∴ $BD = BE$（菱形的邻边相等），
又
∵ D是AB中点，E是BC中点，
∴ $AB = 2BD$，$BC = 2BE$，
∴ $AB = BC$；
∵ 菱形的对角线互相垂直，BF是菱形BEFD的对角线，
∴ $BF⊥ AC$，
∵ F是CA中点，$AC=8$，
∴ $AF = CF = \frac{1}{2}AC = 4$，
在$\mathrm{Rt}△ BFC$中，$BF=12$，$CF=4$，
由勾股定理得：$BC = \sqrt{BF^2 + CF^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$，
∵ E是BC中点，F是CA中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $EF = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 4\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $EF=2\sqrt{10}$
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形判定、菱形性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，综合考查三角形中位线、平行四边形和菱形的性质，解题关键是熟练运用相关定理，逻辑清晰，步骤明确，属于中等难度的基础几何题。
【难度系数】
0.5