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21.淘宝、唯品会、京东、美团等公司的崛起，催生了快递行业的高速发展。据调查，某市一家小型快递公司今年4月和6月完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件。
(1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率。
(2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递0.4万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？（假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等）
(1)求该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率。
(2)已知该快递公司投递业务员平均每人每月最多可投递快递0.4万件，若以今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率作为6月至7月投递快递总件数的月增长率，那么该公司现有的31名快递投递业务员能否完成今年7月的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名投递业务员？（假设增加的业务员与现有的业务员投递效率相等）
答案
21.(1)设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$x$,由题意得:$10(1+x)^2=12.1$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不符合题意,舍去),答:该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$10\%$。
(2)7月投递快递总件数为:$12.1×(1+10\%)=13.31$(万件),因为$31×0.4=12.4＜13.31$,所以该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务,设增加$m$名投递业务员,由题意得:$12.4+0.4m≥13.31$,解得:$m≥2.275$,因为$m$是正整数,所以$m$的最小值为3,答:至少需要增加3名投递业务员。
(2)7月投递快递总件数为:$12.1×(1+10\%)=13.31$(万件),因为$31×0.4=12.4＜13.31$,所以该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务,设增加$m$名投递业务员,由题意得:$12.4+0.4m≥13.31$,解得:$m≥2.275$,因为$m$是正整数,所以$m$的最小值为3,答:至少需要增加3名投递业务员。
解析
【分析】
本题是增长率与不等式结合的实际应用题，第(1)问利用增长率模型列一元二次方程求解，需舍去不符合实际意义的负解；第(2)问先计算7月投递总量，再通过比较现有业务员投递能力判断能否完成任务，若不能则列一元一次不等式求需增加的业务员数量，注意人数为正整数的隐含条件。
【解析】
(1)设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$x$，根据“4月投递量×(1+月平均增长率)²=6月投递量”，列方程：
$10(1+x)^2=12.1$
解方程得：
$(1+x)^2=1.21$
$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，舍去）
答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为10%。
(2)7月投递总件数：$12.1×(1+10\%)=13.31$（万件）
现有31名业务员每月最多投递：$31×0.4=12.4$（万件）
因为$12.4＜13.31$，所以现有业务员不能完成任务。
设需增加$m$名业务员，根据“现有投递量+新增投递量≥7月投递总量”，列不等式：
$12.4 + 0.4m ≥13.31$
解不等式得：
$0.4m≥0.91$
$m≥2.275$
由于$m$为正整数，故$m$最小取3。
答：该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员。
【答案】(1)该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为10%；(2)该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员。
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】本题结合快递行业实际场景，考查学生运用方程和不等式解决实际问题的能力，解题关键是掌握增长率模型和不等式的实际应用，需注意舍去不合理解和人数为正整数的隐含条件，整体难度适中。
【难度系数】0.7
本题是增长率与不等式结合的实际应用题，第(1)问利用增长率模型列一元二次方程求解，需舍去不符合实际意义的负解；第(2)问先计算7月投递总量，再通过比较现有业务员投递能力判断能否完成任务，若不能则列一元一次不等式求需增加的业务员数量，注意人数为正整数的隐含条件。
【解析】
(1)设该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为$x$，根据“4月投递量×(1+月平均增长率)²=6月投递量”，列方程：
$10(1+x)^2=12.1$
解方程得：
$(1+x)^2=1.21$
$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，舍去）
答：该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为10%。
(2)7月投递总件数：$12.1×(1+10\%)=13.31$（万件）
现有31名业务员每月最多投递：$31×0.4=12.4$（万件）
因为$12.4＜13.31$，所以现有业务员不能完成任务。
设需增加$m$名业务员，根据“现有投递量+新增投递量≥7月投递总量”，列不等式：
$12.4 + 0.4m ≥13.31$
解不等式得：
$0.4m≥0.91$
$m≥2.275$
由于$m$为正整数，故$m$最小取3。
答：该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员。
【答案】(1)该快递公司从今年4月至6月投递快递总件数的月平均增长率为10%；(2)该公司现有的31名快递投递业务员不能完成今年7月的快递投递任务，至少需要增加3名投递业务员。
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】本题结合快递行业实际场景，考查学生运用方程和不等式解决实际问题的能力，解题关键是掌握增长率模型和不等式的实际应用，需注意舍去不合理解和人数为正整数的隐含条件，整体难度适中。
【难度系数】0.7
22.(改编)某商店六一期间购进 800 个儿童玩具,进价为每个 6元。第一天以每个 10 元的价格售出了 200 个;第二天商店为了适当增加销量,决定降价销售,已知单价每降低1元,可多售出 40 个;设第二天玩具销售单价降低 x 元,请解决以下问题:
(1)第二天玩具的销售单价为
(2)若第二天的销售额为 2240 元,求第二天玩具的销售单价。
(3)若第三天商店对剩余玩具作清仓处理,以每个3元的价格全部售出,则当 x 为何值时,这 800 个玩具的销售总利润最高,最高利润为多少元?
(1)第二天玩具的销售单价为
10-x
元,第二天的销售量为200+40x
个。(用含 x 的代数式表示)(2)若第二天的销售额为 2240 元,求第二天玩具的销售单价。
(3)若第三天商店对剩余玩具作清仓处理,以每个3元的价格全部售出,则当 x 为何值时,这 800 个玩具的销售总利润最高,最高利润为多少元?
答案
22.(1)$(10-x)$ $(200+40x)$
(2)由题意得:$(10-x)(200+40x)=2240$,解得:$x_1=2,x_2=3$,当$x=2$时,$10-x=8$(元);当$x=3$时,$10-x=7$(元),答:第二天玩具的销售单价为8元或7元。
(3)根据已知条件,总成本为$6×800=4800$(元),总销售额为$10×200+(10-x)(200+40x)+3×[800-200-(200+40x)]$,整理得$5200+80x-40x^2$,所以总利润为$5200+80x-40x^2-4800=-40x^2+80x+400=-40(x-1)^2+440$,因为$-40(x-1)^2≤0$,所以$-40(x-1)^2+440≤440$,所以当$x=1$时,总利润最大,最大总利润为440元。
(2)由题意得:$(10-x)(200+40x)=2240$,解得:$x_1=2,x_2=3$,当$x=2$时,$10-x=8$(元);当$x=3$时,$10-x=7$(元),答:第二天玩具的销售单价为8元或7元。
(3)根据已知条件,总成本为$6×800=4800$(元),总销售额为$10×200+(10-x)(200+40x)+3×[800-200-(200+40x)]$,整理得$5200+80x-40x^2$,所以总利润为$5200+80x-40x^2-4800=-40x^2+80x+400=-40(x-1)^2+440$,因为$-40(x-1)^2≤0$,所以$-40(x-1)^2+440≤440$,所以当$x=1$时,总利润最大,最大总利润为440元。
解析
【分析】
1. 第(1)问：第二天销售单价是在第一天10元的基础上降低x元，直接用减法表示；销量是初始200个，每降低1元多售40个，降低x元则多售40x个，相加得到销量的代数式。
2. 第(2)问：销售额=销售单价×销售量，代入第(1)问的代数式得到关于x的一元二次方程，解方程后需结合实际意义确定合理的x值，再计算对应销售单价。
3. 第(3)问：总利润=总销售额-总成本，总成本为进价×总数量；总销售额分三天计算，第三天的销售量为总数量减去前两天的销量，再代入清仓单价；整理总利润为二次函数，利用二次函数的性质（开口向下，顶点处取最大值）求最大利润及对应的x值。
【解析】
(1) 第二天玩具的销售单价为：$(10 - x)$元；第二天的销售量为：$(200 + 40x)$个。
(2) 依题意，第二天销售额为单价×销售量，列方程：
$(10 - x)(200 + 40x) = 2240$
展开整理得：$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 3) = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 3$
当$x = 2$时，销售单价为$10 - 2 = 8$元；当$x = 3$时，销售单价为$10 - 3 = 7$元。
答：第二天玩具的销售单价为8元或7元。
(3) 总成本为：$6×800 = 4800$元
总销售额 = 第一天销售额 + 第二天销售额 + 第三天销售额
第一天销售额：$10×200 = 2000$元
第二天销售额：$(10 - x)(200 + 40x)$
第三天销售量：$800 - 200 - (200 + 40x) = 400 - 40x$，第三天销售额：$3×(400 - 40x) = 1200 - 120x$
总销售额 = $2000 + (10 - x)(200 + 40x) + 1200 - 120x = 5200 + 80x - 40x^2$
总利润 = 总销售额 - 总成本 = $(5200 + 80x - 40x^2) - 4800 = -40x^2 + 80x + 400$
配方得：$-40(x - 1)^2 + 440$
因为$-40 ＜ 0$，所以当$x = 1$时，总利润取得最大值，最大总利润为440元。
【答案】
(1)$(10-x)$，$(200+40x)$；(2)8元或7元；(3)当$x=1$时，最高利润为440元。
【知识点】
代数式表示、一元二次方程的应用、二次函数的应用
【点评】
本题结合实际销售场景，分层次考查代数知识的应用，从基础的代数式构建到方程求解，再到二次函数最值的应用，逻辑清晰，需准确梳理各数量关系，尤其是剩余商品数量的计算是易错点，整体注重知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.5
1. 第(1)问：第二天销售单价是在第一天10元的基础上降低x元，直接用减法表示；销量是初始200个，每降低1元多售40个，降低x元则多售40x个，相加得到销量的代数式。
2. 第(2)问：销售额=销售单价×销售量，代入第(1)问的代数式得到关于x的一元二次方程，解方程后需结合实际意义确定合理的x值，再计算对应销售单价。
3. 第(3)问：总利润=总销售额-总成本，总成本为进价×总数量；总销售额分三天计算，第三天的销售量为总数量减去前两天的销量，再代入清仓单价；整理总利润为二次函数，利用二次函数的性质（开口向下，顶点处取最大值）求最大利润及对应的x值。
【解析】
(1) 第二天玩具的销售单价为：$(10 - x)$元；第二天的销售量为：$(200 + 40x)$个。
(2) 依题意，第二天销售额为单价×销售量，列方程：
$(10 - x)(200 + 40x) = 2240$
展开整理得：$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 3) = 0$
解得：$x_1 = 2$，$x_2 = 3$
当$x = 2$时，销售单价为$10 - 2 = 8$元；当$x = 3$时，销售单价为$10 - 3 = 7$元。
答：第二天玩具的销售单价为8元或7元。
(3) 总成本为：$6×800 = 4800$元
总销售额 = 第一天销售额 + 第二天销售额 + 第三天销售额
第一天销售额：$10×200 = 2000$元
第二天销售额：$(10 - x)(200 + 40x)$
第三天销售量：$800 - 200 - (200 + 40x) = 400 - 40x$，第三天销售额：$3×(400 - 40x) = 1200 - 120x$
总销售额 = $2000 + (10 - x)(200 + 40x) + 1200 - 120x = 5200 + 80x - 40x^2$
总利润 = 总销售额 - 总成本 = $(5200 + 80x - 40x^2) - 4800 = -40x^2 + 80x + 400$
配方得：$-40(x - 1)^2 + 440$
因为$-40 ＜ 0$，所以当$x = 1$时，总利润取得最大值，最大总利润为440元。
【答案】
(1)$(10-x)$，$(200+40x)$；(2)8元或7元；(3)当$x=1$时，最高利润为440元。
【知识点】
代数式表示、一元二次方程的应用、二次函数的应用
【点评】
本题结合实际销售场景，分层次考查代数知识的应用，从基础的代数式构建到方程求解，再到二次函数最值的应用，逻辑清晰，需准确梳理各数量关系，尤其是剩余商品数量的计算是易错点，整体注重知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.5
