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15.已知两个关于$ x $的一元二次方程：$ x^2 + bx + c = 0 $（$ b,c $均为常数），$ x^2 + bx + c = x - 3 $。其中，方程$ x^2 + bx + c = 0 $的一个根是$ x=3 $，方程$ x^2 + bx + c = x - 3 $有两个相等的实数根，则$ b $的值是________。
答案
15.-5
解析:由题意,因为方程$x^2+bx+c=0$的一个根是$x=3$,所以$9+3b+c=0$,所以$c=-9-3b$,因为方程$x^2+bx+c=x-3$有两个相等的实数根,所以方程$x^2+(b-1)x+c+3=0$有两个相等的实数根,所以$\Delta=(b-1)^2-4(c+3)=0$,所以$(b-1)^2-4(-9-3b+3)=0$,整理得:$b^2+10b+25=0$,所以$b_1=b_2=-5$,故答案为:$-5$。
解析:由题意,因为方程$x^2+bx+c=0$的一个根是$x=3$,所以$9+3b+c=0$,所以$c=-9-3b$,因为方程$x^2+bx+c=x-3$有两个相等的实数根,所以方程$x^2+(b-1)x+c+3=0$有两个相等的实数根,所以$\Delta=(b-1)^2-4(c+3)=0$,所以$(b-1)^2-4(-9-3b+3)=0$,整理得:$b^2+10b+25=0$,所以$b_1=b_2=-5$,故答案为:$-5$。
解析
【分析】要解决这道题，需分两步推导：1. 利用一元二次方程根的定义，将已知根代入第一个方程，得到b与c的关系式，用b表示c；2. 整理第二个方程为标准一元二次方程形式，根据“有两个相等实数根”的条件，利用根的判别式Δ=0，代入c的表达式，解关于b的方程即可求出b的值。
【解析】
1. 因为方程$x^2 + bx + c = 0$的一个根是$x=3$，将$x=3$代入该方程得：
$3^2 + 3b + c = 0$，即$9 + 3b + c = 0$，解得$c = -9 - 3b$。
2. 整理方程$x^2 + bx + c = x - 3$，移项得：
$x^2 + (b - 1)x + c + 3 = 0$。
3. 因为该方程有两个相等的实数根，所以其判别式$\Delta = 0$，对于一元二次方程$ax^2 + mx + n = 0$，判别式$\Delta = m^2 - 4an$，此处$a=1$，$m=(b-1)$，$n=(c+3)$，故：
$\Delta = (b - 1)^2 - 4×1×(c + 3) = 0$。
4. 将$c = -9 - 3b$代入上式：
$(b - 1)^2 - 4×(-9 - 3b + 3) = 0$，
展开计算：$b^2 - 2b + 1 - 4×(-6 - 3b) = 0$，
即$b^2 - 2b + 1 + 24 + 12b = 0$，
合并同类项得：$b^2 + 10b + 25 = 0$，
因式分解得：$(b + 5)^2 = 0$，
解得$b = -5$。
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式
【点评】本题综合考查一元二次方程根的定义与根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义建立b与c的关系，再结合判别式条件求解，需注意将方程整理为标准形式后再计算判别式。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 因为方程$x^2 + bx + c = 0$的一个根是$x=3$，将$x=3$代入该方程得：
$3^2 + 3b + c = 0$，即$9 + 3b + c = 0$，解得$c = -9 - 3b$。
2. 整理方程$x^2 + bx + c = x - 3$，移项得：
$x^2 + (b - 1)x + c + 3 = 0$。
3. 因为该方程有两个相等的实数根，所以其判别式$\Delta = 0$，对于一元二次方程$ax^2 + mx + n = 0$，判别式$\Delta = m^2 - 4an$，此处$a=1$，$m=(b-1)$，$n=(c+3)$，故：
$\Delta = (b - 1)^2 - 4×1×(c + 3) = 0$。
4. 将$c = -9 - 3b$代入上式：
$(b - 1)^2 - 4×(-9 - 3b + 3) = 0$，
展开计算：$b^2 - 2b + 1 - 4×(-6 - 3b) = 0$，
即$b^2 - 2b + 1 + 24 + 12b = 0$，
合并同类项得：$b^2 + 10b + 25 = 0$，
因式分解得：$(b + 5)^2 = 0$，
解得$b = -5$。
【答案】-5
【知识点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式
【点评】本题综合考查一元二次方程根的定义与根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义建立b与c的关系，再结合判别式条件求解，需注意将方程整理为标准形式后再计算判别式。
【难度系数】0.5
16.如图,已知矩形ABCD和正方形DEBF共用对角线BD,DE与AB交于点G,BF与CD交于点H,若正方形DEBF的面积比矩形ABCD的面积大18,$△ DAG$的周长与$△ DHF$的周长之和是18,则BD的长是________。
答案
16.$5\sqrt{2}$
解析:如图,过点E作$MN// AB$,交DA的延长线于点M,交CB的延长线于点N,设$AM=a,AD=b$,因为四边形ABCD是矩形,所以$∠ DAB=∠ ABC=90°$,所以$∠ BAM=∠ ABN=90°$,因为$MN// AB$,所以$∠ M=∠ DAB=90°$,$∠ N=∠ ABC=90°$,所以四边形AMNB是矩形,所以$BN=AM=a,AB=MN$,因为四边形DEBF是正方形,所以$DE=BE=DF$,$∠ F=∠ DEB=90°$,所以$∠ BEN+∠ EBN=∠ BEN+∠ DEM=90°$,所以$∠ EBN=∠ DEM$,因为$∠ M=∠ N=90°$,所以$△ DME≌△ ENB(AAS)$,所以$BN=ME=a,EN=DM=a+b$,所以$AB=MN=a+a+b=2a+b$,因为正方形DEBF的面积比矩形ABCD的面积大18,所以$DE^2-AD· AB=18$,所以$a^2+(a+b)^2-b(2a+b)=18$,所以$a=3$(负值舍),因为$DH// BG,DG// BH$,所以四边形DGBH是平行四边形,所以$DH=BG$,因为$DF=BE$,所以$\mathrm{Rt}△ DFH≌\mathrm{Rt}△ BEG(\mathrm{HL})$,所以$FH=EG$,因为$△ DAG$的周长与$△ DHF$的周长之和是18,所以$AD+DG+AG+DF+FH+DH=18$,所以$AD+DG+AG+DE+EG+BG=18$,所以$b+2DE+AB=18$,所以$b+2DE+2a+b=18$,所以$DE=6-b$,所以$DE^2=a^2+(a+b)^2=(6-b)^2$,所以$b=1$,所以$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{b^2+(2a+b)^2}=\sqrt{1+49}=5\sqrt{2}$,故答案为:$5\sqrt{2}$。
解析
【分析】
要解决本题，需通过辅助线构造全等三角形推导边长关系，结合平行四边形、全等三角形转化周长，利用面积差和周长和条件求解，最终用勾股定理计算BD。步骤为：1. 作辅助线构造矩形和全等三角形，得到边长表达式；2. 利用面积差求参数a；3. 转化周长和求参数b；4. 用勾股定理计算BD。
【解析】
如图，过点E作$MN// AB$，交DA的延长线于点M，交CB的延长线于点N，设$AM=a$，$AD=b$。
因为四边形ABCD是矩形，所以$∠DAB=∠ABC=90°$，故$∠BAM=∠ABN=90°$。又$MN// AB$，所以$∠M=∠N=90°$，四边形AMNB是矩形，得$BN=AM=a$，$AB=MN$。
因为四边形DEBF是正方形，所以$DE=BE=DF$，$∠F=∠DEB=90°$，则$∠BEN+∠EBN=∠BEN+∠DEM=90°$，故$∠EBN=∠DEM$。
在△DME和△ENB中，$\begin{cases}∠M=∠N \\ ∠DEM=∠EBN \\ DE=EB\end{cases}$，所以△DME≌△ENB（AAS），得$ME=BN=a$，$EN=DM=AD+AM=a+b$，因此$AB=MN=ME+EN=2a+b$。
已知正方形DEBF的面积比矩形ABCD的面积大18，即$DE^2 - AD·AB=18$，代入$DE^2=a^2+(a+b)^2$，$AD·AB=b(2a+b)$，得：
$a^2+(a+b)^2 - b(2a+b)=18$，化简得$2a^2=18$，解得$a=3$（负值舍去）。
因为$DH//BG$，$DG//BH$，所以四边形DGBH是平行四边形，故$DH=BG$。又$DF=BE$，所以Rt△DFH≌Rt△BEG（HL），得$FH=EG$。
已知△DAG的周长与△DHF的周长之和是18，即$(AD+DG+AG)+(DF+FH+DH)=18$，代入$DF=DE$，$FH=EG$，$DH=BG$，得：
$AD + DG + AG + DE + EG + BG = 18$，整理得$AD + AB + 2DE =18$，将$a=3$，$AB=2a+b=6+b$代入，得$b + (6+b) + 2DE=18$，化简得$DE=6 - b$。
又$DE^2=a^2+(a+b)^2=9+(3+b)^2$，结合$DE=6 - b$，得：
$(6 - b)^2=9+(3+b)^2$，解得$b=1$。
最后，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2 + AB^2}=\sqrt{1^2 + (2×3 +1)^2}=\sqrt{1 +49}=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
矩形与正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查几何性质与定理的应用，需通过辅助线构造全等三角形转化边长，结合面积、周长条件求解，对学生的几何综合能力要求较高，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需通过辅助线构造全等三角形推导边长关系，结合平行四边形、全等三角形转化周长，利用面积差和周长和条件求解，最终用勾股定理计算BD。步骤为：1. 作辅助线构造矩形和全等三角形，得到边长表达式；2. 利用面积差求参数a；3. 转化周长和求参数b；4. 用勾股定理计算BD。
【解析】
如图，过点E作$MN// AB$，交DA的延长线于点M，交CB的延长线于点N，设$AM=a$，$AD=b$。
因为四边形ABCD是矩形，所以$∠DAB=∠ABC=90°$，故$∠BAM=∠ABN=90°$。又$MN// AB$，所以$∠M=∠N=90°$，四边形AMNB是矩形，得$BN=AM=a$，$AB=MN$。
因为四边形DEBF是正方形，所以$DE=BE=DF$，$∠F=∠DEB=90°$，则$∠BEN+∠EBN=∠BEN+∠DEM=90°$，故$∠EBN=∠DEM$。
在△DME和△ENB中，$\begin{cases}∠M=∠N \\ ∠DEM=∠EBN \\ DE=EB\end{cases}$，所以△DME≌△ENB（AAS），得$ME=BN=a$，$EN=DM=AD+AM=a+b$，因此$AB=MN=ME+EN=2a+b$。
已知正方形DEBF的面积比矩形ABCD的面积大18，即$DE^2 - AD·AB=18$，代入$DE^2=a^2+(a+b)^2$，$AD·AB=b(2a+b)$，得：
$a^2+(a+b)^2 - b(2a+b)=18$，化简得$2a^2=18$，解得$a=3$（负值舍去）。
因为$DH//BG$，$DG//BH$，所以四边形DGBH是平行四边形，故$DH=BG$。又$DF=BE$，所以Rt△DFH≌Rt△BEG（HL），得$FH=EG$。
已知△DAG的周长与△DHF的周长之和是18，即$(AD+DG+AG)+(DF+FH+DH)=18$，代入$DF=DE$，$FH=EG$，$DH=BG$，得：
$AD + DG + AG + DE + EG + BG = 18$，整理得$AD + AB + 2DE =18$，将$a=3$，$AB=2a+b=6+b$代入，得$b + (6+b) + 2DE=18$，化简得$DE=6 - b$。
又$DE^2=a^2+(a+b)^2=9+(3+b)^2$，结合$DE=6 - b$，得：
$(6 - b)^2=9+(3+b)^2$，解得$b=1$。
最后，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2 + AB^2}=\sqrt{1^2 + (2×3 +1)^2}=\sqrt{1 +49}=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$
【知识点】
矩形与正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查几何性质与定理的应用，需通过辅助线构造全等三角形转化边长，结合面积、周长条件求解，对学生的几何综合能力要求较高，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.3
17.计算：$\sqrt{(-3)^2} - \sqrt{2} × \sqrt{8}$。
答案
17.原式$=3-\sqrt{16}=3-4=-1$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，解题思路是：先分别计算算式中的两个二次根式项，第一项利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算，第二项利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算，最后进行减法运算得出结果。
【解析】
解：原式$=\sqrt{(-3)^2} - \sqrt{2×8}$
$=\sqrt{9} - \sqrt{16}$
$=3 - 4$
$=-1$
【答案】
-1
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的乘法
【点评】
本题是二次根式的基础运算题，重点考查二次根式的核心运算法则，需注意二次根式结果的非负性，计算时要准确运用规则避免出错。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的运算，解题思路是：先分别计算算式中的两个二次根式项，第一项利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$计算，第二项利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算，最后进行减法运算得出结果。
【解析】
解：原式$=\sqrt{(-3)^2} - \sqrt{2×8}$
$=\sqrt{9} - \sqrt{16}$
$=3 - 4$
$=-1$
【答案】
-1
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的乘法
【点评】
本题是二次根式的基础运算题，重点考查二次根式的核心运算法则，需注意二次根式结果的非负性，计算时要准确运用规则避免出错。
【难度系数】
0.7
18.对于解方程:$(x+3)^2=2x+6$,小刚的做法如下:
已知小刚在解方程的过程中出现了错误,请指出他开始出错的步骤,并给出正确且完整的解答过程。
已知小刚在解方程的过程中出现了错误,请指出他开始出错的步骤,并给出正确且完整的解答过程。
答案
18.小刚开始出错的步骤是步骤2。正确且完整的解答过程如下:等号右边提取公因式2,得$(x+3)^2=2(x+3)$,移项,得$(x+3)^2-2(x+3)=0$,因式分解,得$(x+3)(x+3-2)=0$,即$(x+3)(x+1)=0$,所以$x+3=0$或$x+1=0$,所以$x_1=-3,x_2=-1$。
解析
【分析】
小刚在解方程的步骤2中出错，原因是等式两边不能随意除以可能为0的整式$(x+3)$，这会导致漏解。正确做法应先移项，再通过因式分解法求解，避免漏解。
【解析】
等号右边提取公因式2，得$(x+3)^2=2(x+3)$；
移项，得$(x+3)^2 - 2(x+3)=0$；
提取公因式$(x+3)$，得$(x+3)(x+3 - 2)=0$，即$(x+3)(x+1)=0$；
则$x+3=0$或$x+1=0$；
解得$x_1=-3$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=-3$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，易错点是解方程时除以含未知数的整式时忽略其为0的情况，导致漏解，需掌握因式分解法解一元二次方程的正确步骤，避免此类错误。
【难度系数】
0.5
小刚在解方程的步骤2中出错，原因是等式两边不能随意除以可能为0的整式$(x+3)$，这会导致漏解。正确做法应先移项，再通过因式分解法求解，避免漏解。
【解析】
等号右边提取公因式2，得$(x+3)^2=2(x+3)$；
移项，得$(x+3)^2 - 2(x+3)=0$；
提取公因式$(x+3)$，得$(x+3)(x+3 - 2)=0$，即$(x+3)(x+1)=0$；
则$x+3=0$或$x+1=0$；
解得$x_1=-3$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=-3$，$x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程解法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，易错点是解方程时除以含未知数的整式时忽略其为0的情况，导致漏解，需掌握因式分解法解一元二次方程的正确步骤，避免此类错误。
【难度系数】
0.5
19.近年来,某市全面开展素质教育,坚持“五育并举”,强化体育锻炼促进学生身心健康全面发展,各校纷纷响应号召,积极开展阳光体育运动。某校将举行阳光跳绳比赛,每班推荐一位学生参赛,八年级(1)班将在甲、乙两位学生中推荐一位参赛。该班级对甲、乙两位学生连续7天一分钟跳绳成绩进行了收集、整理,并绘制了折线统计图:
(1)老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析,并制作了以下统计表,请分别求出表中a,b,c的值。
(2)若从甲、乙两位学生中推荐一位参加阳光跳绳比赛,你会推荐谁参加比赛?请给出一条推荐理由。
(1)老师从“平均数”“中位数”“众数”三个角度对两位学生的跳绳成绩进行了分析,并制作了以下统计表,请分别求出表中a,b,c的值。
(2)若从甲、乙两位学生中推荐一位参加阳光跳绳比赛,你会推荐谁参加比赛?请给出一条推荐理由。
答案
19.(1)平均数$a=\dfrac{150+160+155+155+170+180+185}{7}=165$,对乙数据按从小到大排列:140,158,160,160,170,180,180,所以中位数$b=160$;由表格可知甲的众数$c=155$。
(2)我会推荐甲学生参加比赛。推荐理由是:甲、乙两位学生的中位数相等,但甲的平均数略高,从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好。
(2)我会推荐甲学生参加比赛。推荐理由是:甲、乙两位学生的中位数相等,但甲的平均数略高,从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好。
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确平均数、中位数、众数的定义：平均数是一组数据的总和除以数据个数；中位数是将数据从小到大排列后，奇数个数据时中间位置的数；众数是一组数据中出现次数最多的数。第(1)问根据定义计算a、b、c的值；第(2)问结合统计量的实际意义，比较甲、乙的成绩，选择更适合参赛的学生。
【解析】
(1) 计算a（甲的平均数）：
甲7天成绩总和为：150+160+155+155+170+180+185=1155，
则平均数a=1155÷7=165；
计算b（乙的中位数）：
将乙7天成绩从小到大排列为：140，158，160，160，170，180，180，共7个数据，中间位置为第4个，故中位数b=160；
计算c（甲的众数）：
甲的成绩中155出现2次，其余成绩各出现1次，因此众数c=155；
(2) 推荐甲学生参赛，理由：
甲的平均数为165，乙的平均数为(140+158+160+160+170+180+180)÷7=164，甲的平均数略高于乙；甲、乙的中位数均为160，从折线统计图可看出甲的成绩稳定性和上升趋势更好，因此推荐甲参赛。
【答案】
(1) a=165，b=160，c=155；
(2) 推荐甲学生参加比赛，理由：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好。
【知识点】
平均数、中位数、众数
【点评】
本题结合实际情境考查统计量的计算与应用，要求学生掌握平均数、中位数、众数的定义及计算方法，能根据统计结果做出合理决策，体现了统计知识在生活中的实际应用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先明确平均数、中位数、众数的定义：平均数是一组数据的总和除以数据个数；中位数是将数据从小到大排列后，奇数个数据时中间位置的数；众数是一组数据中出现次数最多的数。第(1)问根据定义计算a、b、c的值；第(2)问结合统计量的实际意义，比较甲、乙的成绩，选择更适合参赛的学生。
【解析】
(1) 计算a（甲的平均数）：
甲7天成绩总和为：150+160+155+155+170+180+185=1155，
则平均数a=1155÷7=165；
计算b（乙的中位数）：
将乙7天成绩从小到大排列为：140，158，160，160，170，180，180，共7个数据，中间位置为第4个，故中位数b=160；
计算c（甲的众数）：
甲的成绩中155出现2次，其余成绩各出现1次，因此众数c=155；
(2) 推荐甲学生参赛，理由：
甲的平均数为165，乙的平均数为(140+158+160+160+170+180+180)÷7=164，甲的平均数略高于乙；甲、乙的中位数均为160，从折线统计图可看出甲的成绩稳定性和上升趋势更好，因此推荐甲参赛。
【答案】
(1) a=165，b=160，c=155；
(2) 推荐甲学生参加比赛，理由：甲、乙两位学生的中位数相等，但甲的平均数略高，从统计图中可以直观看出甲的稳定性和趋势更好。
【知识点】
平均数、中位数、众数
【点评】
本题结合实际情境考查统计量的计算与应用，要求学生掌握平均数、中位数、众数的定义及计算方法，能根据统计结果做出合理决策，体现了统计知识在生活中的实际应用。
【难度系数】
0.7
