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21.(6分)如图,在三角形ABC中,D,E,F分别是三边上的点,DE//BC,且DF平分∠BDE。
已知∠A=50°,∠B=80°。
(1)求∠ADE的度数;
(2)判断DF与AC是否平行,并说明理由。
已知∠A=50°,∠B=80°。
(1)求∠ADE的度数;
(2)判断DF与AC是否平行,并说明理由。
答案
21.(1)解:因为$DE// BC$,所以$∠ADE=∠B=80°$。 (2)$DF// AC$。 理由如下:由(1)可得$∠ADE=80°$,所以$∠BDE=180°-∠ADE=100°$。因为$DF$平分$∠BDE$,所以$∠BDF=\frac{1}{2}∠BDE=50°$,又因为$∠A=50°$,所以$∠BDF=∠A$,所以$DF// AC$。
解析
【分析】
要解决本题，需分两步思考：第一步，利用平行线的性质求∠ADE的度数；第二步，通过平角定义、角平分线的定义求出∠BDF，结合已知∠A的度数，利用平行线的判定定理判断DF与AC是否平行。具体来说，(1)中DE//BC，∠ADE与∠B是同位角，根据平行线同位角相等可直接计算；(2)中先求∠BDE，再由角平分线得∠BDF，对比∠BDF与∠A的度数，依据同位角相等判定两直线平行。
【解析】
(1) 因为DE//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠ADE = ∠B = 80°；
(2) DF//AC，理由如下：
由(1)得∠ADE = 80°，根据平角定义，∠BDE = 180° - ∠ADE = 180° - 80° = 100°；
因为DF平分∠BDE，根据角平分线定义，∠BDF = $\frac{1}{2}$∠BDE = $\frac{1}{2}$×100° = 50°；
又已知∠A = 50°，所以∠BDF = ∠A，根据“同位角相等，两直线平行”，可得DF//AC。
【答案】
(1) ∠ADE的度数为80°；(2) DF与AC平行。
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线的性质与判定，结合角平分线的定义进行角度推导，属于基础几何题，侧重考查学生对基础几何定理的应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分两步思考：第一步，利用平行线的性质求∠ADE的度数；第二步，通过平角定义、角平分线的定义求出∠BDF，结合已知∠A的度数，利用平行线的判定定理判断DF与AC是否平行。具体来说，(1)中DE//BC，∠ADE与∠B是同位角，根据平行线同位角相等可直接计算；(2)中先求∠BDE，再由角平分线得∠BDF，对比∠BDF与∠A的度数，依据同位角相等判定两直线平行。
【解析】
(1) 因为DE//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠ADE = ∠B = 80°；
(2) DF//AC，理由如下：
由(1)得∠ADE = 80°，根据平角定义，∠BDE = 180° - ∠ADE = 180° - 80° = 100°；
因为DF平分∠BDE，根据角平分线定义，∠BDF = $\frac{1}{2}$∠BDE = $\frac{1}{2}$×100° = 50°；
又已知∠A = 50°，所以∠BDF = ∠A，根据“同位角相等，两直线平行”，可得DF//AC。
【答案】
(1) ∠ADE的度数为80°；(2) DF与AC平行。
【知识点】
平行线的性质、平行线的判定、角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线的性质与判定，结合角平分线的定义进行角度推导，属于基础几何题，侧重考查学生对基础几何定理的应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.7
22. (6分)定义一种对应关系:$\Delta(x)=x-\frac{1}{x}+1$,如$\Delta(2)=2-\frac{1}{2}+1=\frac{5}{2}$,$\Delta(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-2+1=-\frac{1}{2}$。
解答下列问题:
(1)求$\Delta(2)+\Delta(\frac{1}{2})$的值;
(2)写出$\Delta(x)$与$\Delta(\frac{1}{x})$之间的数量关系,并说明理由;
(3)求$\Delta(\frac{1}{2025})+\Delta(\frac{1}{2024})+\dots+\Delta(\frac{1}{2})+\Delta(1)+\Delta(2)+\dots+\Delta(2024)+\Delta(2025)$的值。
解答下列问题:
(1)求$\Delta(2)+\Delta(\frac{1}{2})$的值;
(2)写出$\Delta(x)$与$\Delta(\frac{1}{x})$之间的数量关系,并说明理由;
(3)求$\Delta(\frac{1}{2025})+\Delta(\frac{1}{2024})+\dots+\Delta(\frac{1}{2})+\Delta(1)+\Delta(2)+\dots+\Delta(2024)+\Delta(2025)$的值。
答案
22.解:(1)原式$=\frac{5}{2}+(-\frac{1}{2})=2$。 (2)由题意可知$\Delta(x)=x-\frac{1}{x}+1$,所以$\Delta(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{1}{x}}+1=\frac{1}{x}-x+1$,所以$\Delta(x)+\Delta(\frac{1}{x})=x-\frac{1}{x}+1+\frac{1}{x}-x+1=2$。 (3)原式$=\Delta(\frac{1}{2025})+\Delta(2025)+\Delta(\frac{1}{2024})+\Delta(2024)+\dots+\Delta(\frac{1}{2})+\Delta(2)+\Delta(1)=2×2024+1=4049$。 解题密码:本题结合新定义运算考查分式的混合运算、有理数的加减混合运算,理解题中的对应关系并熟练掌握相关运算法则是解题的关键。
解析
【分析】本题为新定义运算题，需先明确新对应关系Δ(x)=x−1/x+1的规则。第(1)问直接代入x=2和x=1/2计算两个Δ值的和；第(2)问先推导Δ(1/x)的表达式，再将Δ(x)与Δ(1/x)相加化简，得出数量关系；第(3)问利用第(2)问的规律，将互为倒数的自变量对应的Δ值两两组合，每组合为2，再加上中间Δ(1)的值，简化求和计算。
【解析】(1) 由新定义知Δ(2)=5/2，Δ(1/2)=−1/2，故Δ(2)+Δ(1/2)=5/2 + (−1/2)=2；
(2) 根据新定义，Δ(1/x)= (1/x)−1/(1/x)+1=1/x−x+1，因此Δ(x)+Δ(1/x)= (x−1/x+1)+(1/x−x+1)=2，即Δ(x)与Δ(1/x)的数量关系为Δ(x)+Δ(1/x)=2；
(3) 观察原式，可将互为倒数的自变量对应的Δ值两两分组：Δ(1/2025)+Δ(2025)、Δ(1/2024)+Δ(2024)…Δ(1/2)+Δ(2)，共2024组，每组和为2，再加上中间项Δ(1)=1−1/1+1=1，故原式=2×2024 +1=4049。
【答案】(1)2；(2)Δ(x)+Δ(1/x)=2；(3)4049
【知识点】新定义运算、分式混合运算、有理数加减混合运算
【点评】本题以新定义为载体，考查分式与有理数的运算，核心是理解新定义规则并推导规律，通过分组简化复杂求和，注重运算能力与逻辑推理能力的结合。
【难度系数】0.5
【解析】(1) 由新定义知Δ(2)=5/2，Δ(1/2)=−1/2，故Δ(2)+Δ(1/2)=5/2 + (−1/2)=2；
(2) 根据新定义，Δ(1/x)= (1/x)−1/(1/x)+1=1/x−x+1，因此Δ(x)+Δ(1/x)= (x−1/x+1)+(1/x−x+1)=2，即Δ(x)与Δ(1/x)的数量关系为Δ(x)+Δ(1/x)=2；
(3) 观察原式，可将互为倒数的自变量对应的Δ值两两分组：Δ(1/2025)+Δ(2025)、Δ(1/2024)+Δ(2024)…Δ(1/2)+Δ(2)，共2024组，每组和为2，再加上中间项Δ(1)=1−1/1+1=1，故原式=2×2024 +1=4049。
【答案】(1)2；(2)Δ(x)+Δ(1/x)=2；(3)4049
【知识点】新定义运算、分式混合运算、有理数加减混合运算
【点评】本题以新定义为载体，考查分式与有理数的运算，核心是理解新定义规则并推导规律，通过分组简化复杂求和，注重运算能力与逻辑推理能力的结合。
【难度系数】0.5
