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18.(6分)(1)计算:$\frac{2a}{a^2 - 4} - \frac{1}{a - 2}$;
(2)因式分解:$2x^2 - 4x + 2$。
(2)因式分解:$2x^2 - 4x + 2$。
答案
18.解:(1)原式$=\frac{2a}{(a+2)(a-2)}-\frac{a+2}{(a+2)(a-2)}=\frac{2a-(a+2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{a-2}{(a+2)(a-2)}=\frac{1}{a+2}$。 (2)原式$=2(x^2-2x+1)=2(x-1)^2$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问是分式的减法运算，需先对分母因式分解找到最简公分母，再通分、合并分子并约分；第二问是因式分解，需先提取公因式，再利用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 先对分母$a^2 -4$用平方差公式分解：$a^2 -4=(a+2)(a-2)$，因此最简公分母为$(a+2)(a-2)$。
通分：$\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2} = \frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$，
合并分子：$\frac{2a-(a+2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$，
约分：$\frac{1}{a+2}$。
(2) 先提取公因式2：$2x^2 -4x +2=2(x^2 -2x +1)$，
再用完全平方公式分解：$x^2 -2x +1=(x-1)^2$，因此原式$=2(x-1)^2$。
【答案】
(1) $\frac{1}{a+2}$；(2) $2(x-1)^2$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解（提公因式法、公式法）
【点评】
本题考查分式运算和因式分解的基础知识点，步骤明确，需掌握平方差公式、完全平方公式及分式通分约分规则，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，第一问是分式的减法运算，需先对分母因式分解找到最简公分母，再通分、合并分子并约分；第二问是因式分解，需先提取公因式，再利用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 先对分母$a^2 -4$用平方差公式分解：$a^2 -4=(a+2)(a-2)$，因此最简公分母为$(a+2)(a-2)$。
通分：$\frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2} = \frac{2a}{(a+2)(a-2)} - \frac{a+2}{(a+2)(a-2)}$，
合并分子：$\frac{2a-(a+2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a-2}{(a+2)(a-2)}$，
约分：$\frac{1}{a+2}$。
(2) 先提取公因式2：$2x^2 -4x +2=2(x^2 -2x +1)$，
再用完全平方公式分解：$x^2 -2x +1=(x-1)^2$，因此原式$=2(x-1)^2$。
【答案】
(1) $\frac{1}{a+2}$；(2) $2(x-1)^2$
【知识点】
分式的加减运算、因式分解（提公因式法、公式法）
【点评】
本题考查分式运算和因式分解的基础知识点，步骤明确，需掌握平方差公式、完全平方公式及分式通分约分规则，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
19.(6分)解方程(组):
(2)$\begin{cases}2x + y = 9,\\x - y = 3;\end{cases}$
(2)$\dfrac{x}{x - 1} - 2 = \dfrac{1}{1 - x}$。
(2)$\begin{cases}2x + y = 9,\\x - y = 3;\end{cases}$
(2)$\dfrac{x}{x - 1} - 2 = \dfrac{1}{1 - x}$。
答案
19.解:(1)$\begin{cases}2x+y=9,①\\x-y=3,②\end{cases}$ ①+②,得$3x=12$,解得$x=4$。将$x=4$代入②,得$4-y=3$,解得$y=1$。所以方程组的解是$\begin{cases}x=4,\\y=1。\end{cases}$ (2)去分母,得$x-2(x-1)=-1$,去括号,得$x-2x+2=-1$,移项,合并同类项,得$-x=-3$,解得$x=3$。经检验,$x=3$是原分式方程的根。
解析
【分析】
本题包含解二元一次方程组和解分式方程两部分。对于二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法，通过两式相加消去y，先求x的值，再代入方程求y；对于分式方程，需先去分母转化为整式方程，注意1-x与x-1互为相反数，去分母时要正确处理符号，解整式方程后必须检验，确保解使原分式方程的分母不为0，避免增根。
【解析】
1. 解二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 9,①\\x - y = 3;②\end{cases}$
①+②，得$3x = 12$，解得$x = 4$。
将$x = 4$代入②，得$4 - y = 3$，解得$y = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$。
2. 解分式方程$\dfrac{x}{x - 1} - 2 = \dfrac{1}{1 - x}$
去分母，两边同乘$x - 1$，得$x - 2(x - 1) = -1$，
去括号，得$x - 2x + 2 = -1$，
移项、合并同类项，得$-x = -3$，解得$x = 3$。
经检验，当$x = 3$时，$x - 1 = 2 ≠ 0$，所以$x = 3$是原分式方程的根。
【答案】
方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$；分式方程的解为$x = 3$。
【知识点】
二元一次方程组的加减消元法，分式方程的解法，分式方程的检验。
【点评】
本题分别考查二元一次方程组和分式方程的基础解法，属于常规题型，需注意分式方程求解后必须检验防止增根，整体难度不大，是学生应掌握的基础内容。
【难度系数】
0.7
本题包含解二元一次方程组和解分式方程两部分。对于二元一次方程组，观察到两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法，通过两式相加消去y，先求x的值，再代入方程求y；对于分式方程，需先去分母转化为整式方程，注意1-x与x-1互为相反数，去分母时要正确处理符号，解整式方程后必须检验，确保解使原分式方程的分母不为0，避免增根。
【解析】
1. 解二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 9,①\\x - y = 3;②\end{cases}$
①+②，得$3x = 12$，解得$x = 4$。
将$x = 4$代入②，得$4 - y = 3$，解得$y = 1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$。
2. 解分式方程$\dfrac{x}{x - 1} - 2 = \dfrac{1}{1 - x}$
去分母，两边同乘$x - 1$，得$x - 2(x - 1) = -1$，
去括号，得$x - 2x + 2 = -1$，
移项、合并同类项，得$-x = -3$，解得$x = 3$。
经检验，当$x = 3$时，$x - 1 = 2 ≠ 0$，所以$x = 3$是原分式方程的根。
【答案】
方程组的解为$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$；分式方程的解为$x = 3$。
【知识点】
二元一次方程组的加减消元法，分式方程的解法，分式方程的检验。
【点评】
本题分别考查二元一次方程组和分式方程的基础解法，属于常规题型，需注意分式方程求解后必须检验防止增根，整体难度不大，是学生应掌握的基础内容。
【难度系数】
0.7
20.(6分)教练记录下小北连续10次排球垫球和1 000米跑的测试成绩,每项测试成绩满分均为15分,整理信息如下:
信息一:排球垫球测试成绩依次是15,14,13,15,14,8,7,15,14,13。
信息二:连续10次1 000米跑测试成绩如图所示。
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求表示1 000米成绩为14分的扇形的圆心角的度数;
(2)若从两项中选一项作为体育考试项目,你建议小北选择哪个项目?说明理由。
信息一:排球垫球测试成绩依次是15,14,13,15,14,8,7,15,14,13。
信息二:连续10次1 000米跑测试成绩如图所示。
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求表示1 000米成绩为14分的扇形的圆心角的度数;
(2)若从两项中选一项作为体育考试项目,你建议小北选择哪个项目?说明理由。
答案
20.解:(1)表示1 000米成绩为14分的扇形的圆心角的度数为$360°×40\%=144°$。 (2)建议小北选择排球垫球。 理由如下:因为10次排球垫球中满分有3次,而1 000米跑仅有1次满分。(答案不唯一,言之有理即可)
解析
【分析】
第(1)问：扇形统计图中，某部分对应的圆心角度数等于360°乘以该部分所占的百分比，已知1000米成绩为14分的占比是40%，代入公式即可计算出圆心角。第(2)问：要选择合适的体育考试项目，需对比两项测试的成绩优势，可通过统计满分次数分析，排球垫球的满分次数多于1000米跑，因此建议选择排球垫球。
【解析】
(1) 扇形统计图中，圆心角度数计算公式为：圆心角度数 = 360° × 该部分所占百分比。
已知1000米成绩为14分的占比为40%，因此对应的圆心角度数为：$360°×40\% = 144°$。
(2) 统计两项测试的满分次数：排球垫球10次成绩中，15分（满分）出现了3次；1000米跑10次成绩中，15分（满分）占比10%，即有1次满分。对比可知，排球垫球获得满分的次数更多，更利于在体育考试中取得好成绩，因此建议选择排球垫球。
【答案】
(1) $144°$；(2) 建议选择排球垫球，理由：10次排球垫球测试中有3次满分，而1000米跑测试中仅有1次满分，排球垫球的满分次数更多，更适合作为体育考试项目（言之有理即可）。
【知识点】
扇形圆心角计算；统计数据分析
【点评】
本题结合实际问题考查扇形统计图的应用，以及根据统计结果进行合理决策的能力，需准确提取统计信息，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问：扇形统计图中，某部分对应的圆心角度数等于360°乘以该部分所占的百分比，已知1000米成绩为14分的占比是40%，代入公式即可计算出圆心角。第(2)问：要选择合适的体育考试项目，需对比两项测试的成绩优势，可通过统计满分次数分析，排球垫球的满分次数多于1000米跑，因此建议选择排球垫球。
【解析】
(1) 扇形统计图中，圆心角度数计算公式为：圆心角度数 = 360° × 该部分所占百分比。
已知1000米成绩为14分的占比为40%，因此对应的圆心角度数为：$360°×40\% = 144°$。
(2) 统计两项测试的满分次数：排球垫球10次成绩中，15分（满分）出现了3次；1000米跑10次成绩中，15分（满分）占比10%，即有1次满分。对比可知，排球垫球获得满分的次数更多，更利于在体育考试中取得好成绩，因此建议选择排球垫球。
【答案】
(1) $144°$；(2) 建议选择排球垫球，理由：10次排球垫球测试中有3次满分，而1000米跑测试中仅有1次满分，排球垫球的满分次数更多，更适合作为体育考试项目（言之有理即可）。
【知识点】
扇形圆心角计算；统计数据分析
【点评】
本题结合实际问题考查扇形统计图的应用，以及根据统计结果进行合理决策的能力，需准确提取统计信息，难度适中。
【难度系数】
0.5
