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8.某校24个班级在植树节进行植树活动，活动后统计了各班级植树的数量，绘制成如图所示的频数直方图(每组含前一个数值，不含后一个数值)。根据统计结果，有两种说法：①组界为31～38的频数是5；②一定有2个班级的植树数量相等。下列判断正确的是（
A.①②都正确
B.①正确，②错误
C.①②都错误
D.①错误，②正确
B
）A.①②都正确
B.①正确，②错误
C.①②都错误
D.①错误，②正确
答案
8.B 解题密码:本题考查频数分布直方图的应用,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答。
解析
【分析】
要判断两个说法是否正确，需先明确频数直方图中各组的区间、频数，再结合实际意义分析。首先，各组区间为：13.5≤x＜20.5（频数4）、20.5≤x＜27.5（频数5）、27.5≤x＜34.5（频数7）、34.5≤x＜41.5（频数5）、41.5≤x（频数3）。对于说法①，需对应区间的频数；对于说法②，需考虑植树数量为整数，可能的不同数量是否足够24个班级。
【解析】
1. 判断说法①：题目中“组界为31～38”实际对应组中值范围，其中第四组（34.5≤x＜41.5）的组中值区间为31～38，该组频数为5，故①正确。
2. 判断说法②：植树数量为正整数，总共有24个班级，而可能的植树数量范围（如14到41，共28种不同数值）远大于24，因此可以让24个班级的植树数量都不同，不一定有2个班级数量相等，故②错误。
综上，①正确，②错误，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
频数分布直方图、数据的分析
【点评】
本题考查频数分布直方图的应用，核心是结合区间与频数，利用整数的可能性分析，需仔细区分区间范围和实际意义，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
要判断两个说法是否正确，需先明确频数直方图中各组的区间、频数，再结合实际意义分析。首先，各组区间为：13.5≤x＜20.5（频数4）、20.5≤x＜27.5（频数5）、27.5≤x＜34.5（频数7）、34.5≤x＜41.5（频数5）、41.5≤x（频数3）。对于说法①，需对应区间的频数；对于说法②，需考虑植树数量为整数，可能的不同数量是否足够24个班级。
【解析】
1. 判断说法①：题目中“组界为31～38”实际对应组中值范围，其中第四组（34.5≤x＜41.5）的组中值区间为31～38，该组频数为5，故①正确。
2. 判断说法②：植树数量为正整数，总共有24个班级，而可能的植树数量范围（如14到41，共28种不同数值）远大于24，因此可以让24个班级的植树数量都不同，不一定有2个班级数量相等，故②错误。
综上，①正确，②错误，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
频数分布直方图、数据的分析
【点评】
本题考查频数分布直方图的应用，核心是结合区间与频数，利用整数的可能性分析，需仔细区分区间范围和实际意义，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
9.若关于$x$的分式方程$\dfrac{m}{x-4}+\dfrac{x+2}{4-x}=0$无解，则$m$的值为 （
A.6
B.5
C.4
D.3
A
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
9.A 解析:去分母,得$-m+x+2=0$,解得$x=m-2$,因为原分式方程无解,所以$x=4$,所以$m-2=4$,解得$m=6$。
解析
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，需明确：分式方程无解的常见原因是去分母后得到的整式方程的解是原分式方程的增根（即使原方程分母为0的根）。首先确定原分式方程的增根，再将增根代入去分母后的整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
原分式方程为$\dfrac{m}{x-4}+\dfrac{x+2}{4-x}=0$，注意到$4-x=-(x-4)$，先将方程变形为同分母形式：
$\dfrac{m}{x-4}-\dfrac{x+2}{x-4}=0$
两边同时乘以最简公分母$(x-4)$去分母，得：
$m - (x+2)=0$
整理整式方程：
$m -x -2=0$
解得：$x=m-2$
因为原分式方程无解，说明存在增根，增根是使原方程分母为0的x值，即$x-4=0$，得增根$x=4$。
将增根$x=4$代入整式方程的解$x=m-2$，得：
$4=m-2$
解得：$m=6$
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件
【点评】
本题考查分式方程无解的问题，核心是理解增根的定义（使分式方程分母为0的根），通过去分母转化为整式方程，再利用增根求解参数，属于分式方程的基础应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决分式方程无解求参数的问题，需明确：分式方程无解的常见原因是去分母后得到的整式方程的解是原分式方程的增根（即使原方程分母为0的根）。首先确定原分式方程的增根，再将增根代入去分母后的整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
原分式方程为$\dfrac{m}{x-4}+\dfrac{x+2}{4-x}=0$，注意到$4-x=-(x-4)$，先将方程变形为同分母形式：
$\dfrac{m}{x-4}-\dfrac{x+2}{x-4}=0$
两边同时乘以最简公分母$(x-4)$去分母，得：
$m - (x+2)=0$
整理整式方程：
$m -x -2=0$
解得：$x=m-2$
因为原分式方程无解，说明存在增根，增根是使原方程分母为0的x值，即$x-4=0$，得增根$x=4$。
将增根$x=4$代入整式方程的解$x=m-2$，得：
$4=m-2$
解得：$m=6$
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根；分式方程无解的条件
【点评】
本题考查分式方程无解的问题，核心是理解增根的定义（使分式方程分母为0的根），通过去分母转化为整式方程，再利用增根求解参数，属于分式方程的基础应用题型。
【难度系数】
0.5
10.若$x$取正整数,则代数式$x^3 - x$的值可以是 （
A.2 181
B.2 182
C.2 183
D.2 184
D
）A.2 181
B.2 182
C.2 183
D.2 184
答案
10.D 解析:因为$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$,$x$为正整数,所以该代数式的值为三个连续非负整数的乘积。因为三个连续非负整数中一定有一个是2的倍数有一个是3的倍数,所以该代数式的值一定是6的倍数,故选D。 思路点拨:解答本题的基本思路是分析观察所求代数式,先进行因式分解,再得出分解出的3部分为三个连续正整数,进而得到其值为6的整数倍,最终结合选项求解即可。
解析
【分析】
先对代数式$x^3 - x$进行因式分解，得到三个连续整数的乘积，再根据三个连续整数的整除性质，判断乘积是否为6的倍数，最后结合选项筛选出符合条件的答案。
【解析】
对代数式因式分解：$x^3 - x = x(x^2 -1) = x(x-1)(x+1)$，因为$x$是正整数，所以$x-1$、$x$、$x+1$是三个连续的非负整数。三个连续整数中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，因此它们的乘积一定是$2×3=6$的倍数。验证选项：
A选项：$2181÷6=363.5$，不是整数，排除；
B选项：$2182÷6≈363.67$，不是整数，排除；
C选项：$2183÷6≈363.83$，不是整数，排除；
D选项：$2184÷6=364$，是整数，符合条件，故选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、数的整除性
【点评】
本题通过因式分解将代数式转化为三个连续整数的乘积，利用连续整数的整除特性解题，思路清晰，难度适中，考查学生对因式分解和数的整除的掌握情况。
【难度系数】
0.6
先对代数式$x^3 - x$进行因式分解，得到三个连续整数的乘积，再根据三个连续整数的整除性质，判断乘积是否为6的倍数，最后结合选项筛选出符合条件的答案。
【解析】
对代数式因式分解：$x^3 - x = x(x^2 -1) = x(x-1)(x+1)$，因为$x$是正整数，所以$x-1$、$x$、$x+1$是三个连续的非负整数。三个连续整数中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数，因此它们的乘积一定是$2×3=6$的倍数。验证选项：
A选项：$2181÷6=363.5$，不是整数，排除；
B选项：$2182÷6≈363.67$，不是整数，排除；
C选项：$2183÷6≈363.83$，不是整数，排除；
D选项：$2184÷6=364$，是整数，符合条件，故选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、数的整除性
【点评】
本题通过因式分解将代数式转化为三个连续整数的乘积，利用连续整数的整除特性解题，思路清晰，难度适中，考查学生对因式分解和数的整除的掌握情况。
【难度系数】
0.6
11.若分式$\frac{x+2}{x-2}$的值为0，则$x=$______。
答案
11.-2
解析
【分析】要解决分式$\frac{x+2}{x-2}$的值为0的问题，需明确分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件需同时满足。因此先令分子为0求出x的可能值，再代入验证分母是否不为0，即可得到正确结果。
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。
1. 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$；
2. 验证分母：当$x=-2$时，分母$x-2=-2-2=-4≠0$，满足分母不为0的条件。
因此$x=-2$。
【答案】-2
【知识点】分式的值为0的条件
【点评】本题考查分式值为0的基础知识点，需牢记“分子为0且分母不为0”的双重条件，避免忽略分母不为0的情况，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.7
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。
1. 令分子$x+2=0$，解得$x=-2$；
2. 验证分母：当$x=-2$时，分母$x-2=-2-2=-4≠0$，满足分母不为0的条件。
因此$x=-2$。
【答案】-2
【知识点】分式的值为0的条件
【点评】本题考查分式值为0的基础知识点，需牢记“分子为0且分母不为0”的双重条件，避免忽略分母不为0的情况，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.7
12.若某组数据的频率为0.45，样本容量为500，则这组数据的频数为
225
。答案
12.225
解析
【分析】
首先明确频数、频率、样本容量三者的关系：频数 = 频率 × 样本容量。题目中已知频率为0.45，样本容量为500，直接将已知数值代入公式即可计算出频数。
【解析】
根据频数与频率的关系公式：频数 = 频率 × 样本容量，将题目中的数据代入公式计算：
频数 = 0.45 × 500 = 225
【答案】
225
【知识点】
频数与频率
【点评】
本题考查频数、频率的基本计算，属于统计部分的基础题型，只要掌握三者的关系就能轻松解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
首先明确频数、频率、样本容量三者的关系：频数 = 频率 × 样本容量。题目中已知频率为0.45，样本容量为500，直接将已知数值代入公式即可计算出频数。
【解析】
根据频数与频率的关系公式：频数 = 频率 × 样本容量，将题目中的数据代入公式计算：
频数 = 0.45 × 500 = 225
【答案】
225
【知识点】
频数与频率
【点评】
本题考查频数、频率的基本计算，属于统计部分的基础题型，只要掌握三者的关系就能轻松解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
13.若多项式$x^2+mx+1$是一个完全平方式，则$m$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
13.±2
解析
【分析】要解决本题，需利用完全平方式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$。本题中多项式$x^2+mx+1$是完全平方式，对应公式中$a=x$，常数项为$b^2=1$，因此$b=\pm1$，中间项$mx$对应公式中的$\pm2ab$，据此可求出$m$的值。
【解析】因为多项式$x^2+mx+1$是完全平方式，根据完全平方公式：
$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，
对比多项式$x^2+mx+1$，可得$a=x$，$b^2=1$，即$b=\pm1$，
则中间项为$\pm2· x·1=\pm2x$，
因此$mx=\pm2x$，两边同时除以$x$（$x≠0$），得$m=\pm2$。
【答案】±2
【知识点】完全平方式
【点评】本题考查完全平方式的应用，核心是掌握完全平方公式的结构，需注意中间项有正负两种情况，解题时要避免漏解。
【难度系数】0.5
【解析】因为多项式$x^2+mx+1$是完全平方式，根据完全平方公式：
$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，
对比多项式$x^2+mx+1$，可得$a=x$，$b^2=1$，即$b=\pm1$，
则中间项为$\pm2· x·1=\pm2x$，
因此$mx=\pm2x$，两边同时除以$x$（$x≠0$），得$m=\pm2$。
【答案】±2
【知识点】完全平方式
【点评】本题考查完全平方式的应用，核心是掌握完全平方公式的结构，需注意中间项有正负两种情况，解题时要避免漏解。
【难度系数】0.5
14.如图,把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=28°,则∠2的度数为
62°
。答案
14.62°
解析
【分析】
要解决这道题，需结合直尺两边平行的性质和三角板直角为90°的特点。首先利用平行线的同位角相等，得到∠1与三角板中相邻锐角的关系，再根据直角的度数，推导∠1和∠2的和为90°，进而计算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵直尺的两边互相平行，
∴根据“两直线平行，同位角相等”，可知三角板中与∠2相邻的锐角等于∠1=28°。
又
∵三角板的直角为90°，
∴∠2 + 28° = 90°，
∴∠2 = 90° - 28° = 62°。
【答案】
62°
【知识点】
平行线的性质、直角的定义
【点评】
本题是基础几何题，核心考查平行线性质和直角的应用，解题关键是明确角之间的和差关系，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合直尺两边平行的性质和三角板直角为90°的特点。首先利用平行线的同位角相等，得到∠1与三角板中相邻锐角的关系，再根据直角的度数，推导∠1和∠2的和为90°，进而计算出∠2的度数。
【解析】
解：
∵直尺的两边互相平行，
∴根据“两直线平行，同位角相等”，可知三角板中与∠2相邻的锐角等于∠1=28°。
又
∵三角板的直角为90°，
∴∠2 + 28° = 90°，
∴∠2 = 90° - 28° = 62°。
【答案】
62°
【知识点】
平行线的性质、直角的定义
【点评】
本题是基础几何题，核心考查平行线性质和直角的应用，解题关键是明确角之间的和差关系，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.7
15.若多项式$ax^2 - 6x + 3$有一个因式为$x - 1$，则$a$的值为
3
。答案
15.3 解析:设另一个因式为$Ax+B$,则$(x-1)(Ax+B)=Ax^2+Bx-Ax-B=Ax^2+(B-A)x-B=ax^2-6x+3$,所以$-B=3,B-A=-6$,所以$B=-3$,所以$A=3$,所以$a=A=3$。
解析
【分析】已知多项式$ax^2 -6x +3$有一个因式为$x-1$，根据多项式因式分解与乘法的互逆关系，可将该多项式表示为$(x-1)$乘以另一个一次因式，设这个一次因式为$Ax+B$，展开乘积后，利用对应项系数相等的性质，即可求出参数$a$的值。
【解析】设多项式的另一个因式为$Ax+B$，则：
$\begin{aligned}(x-1)(Ax+B)&=Ax^2 + Bx - Ax - B\\&=Ax^2 + (B-A)x - B\end{aligned}$
因为$(x-1)(Ax+B)=ax^2 -6x +3$，所以对应项系数相等：
1. 常数项：$-B=3$，解得$B=-3$；
2. 一次项系数：$B - A=-6$，将$B=-3$代入得：$-3 - A=-6$，解得$A=3$；
3. 二次项系数：$A=a$，因此$a=3$。
【答案】3
【知识点】因式分解的应用、多项式的系数对应
【点评】本题考查因式分解与多项式乘法的关系，利用对应项系数相等求解参数是关键，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.7
【解析】设多项式的另一个因式为$Ax+B$，则：
$\begin{aligned}(x-1)(Ax+B)&=Ax^2 + Bx - Ax - B\\&=Ax^2 + (B-A)x - B\end{aligned}$
因为$(x-1)(Ax+B)=ax^2 -6x +3$，所以对应项系数相等：
1. 常数项：$-B=3$，解得$B=-3$；
2. 一次项系数：$B - A=-6$，将$B=-3$代入得：$-3 - A=-6$，解得$A=3$；
3. 二次项系数：$A=a$，因此$a=3$。
【答案】3
【知识点】因式分解的应用、多项式的系数对应
【点评】本题考查因式分解与多项式乘法的关系，利用对应项系数相等求解参数是关键，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.7
16.如图,将一条两边互相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为CD,FH。若$AE// FH$，$∠ 1=n∠ 2$，则$∠ FGD$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$。(用含$n$的代数式表示)
答案
16.$(\frac{720}{4+n})°$ 解析:如图,延长$BC,CF$。由折叠可知$∠2=∠3,∠HFG=∠4$。设$∠2=∠3=α$,则$∠1=nα$,所以$∠FGD=180°-∠1=180°-nα$。因为$BC// AE// FH$,所以$∠HFG=∠4=∠2+∠3=2α$,所以$∠EFG=180°-∠HFG-∠4=180°-4α$。因为$EF// HD$,所以$∠EFG+∠FGD=180°$,即$180°-4α+180°-nα=180°$,解得$α=(\frac{180}{4+n})°$,所以$∠FGD=180°-n(\frac{180}{4+n})°=(\frac{720}{4+n})°$。
解析
【分析】
本题是纸带折叠的角度计算问题，核心是利用折叠的性质（折叠前后对应角相等）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）建立角度关系。首先通过延长辅助线，结合折叠性质得到∠2=∠3、∠HFG=∠4，设∠2为α，将各角用α和n表示，再利用平行线的同旁内角互补关系列方程，求解α后代入∠FGD的表达式即可得到结果。
【解析】
如图，延长BC、CF。
由折叠的性质可知：∠2=∠3，∠HFG=∠4。
设∠2=∠3=α，则∠1=nα，
因为∠FGD与∠1是邻补角，所以∠FGD=180°-∠1=180°-nα。
又因为BC//AE//FH，根据平行线的内错角相等，可得∠HFG=∠4=∠2+∠3=2α，
所以∠EFG=180°-∠HFG-∠4=180°-2α-2α=180°-4α。
由于纸带两边平行，即EF//HD，根据平行线的同旁内角互补，有∠EFG+∠FGD=180°，
将∠EFG=180°-4α和∠FGD=180°-nα代入得：
(180°-4α)+(180°-nα)=180°，
整理得：180°=α(4+n)，解得α=(180/(4+n))°。
将α代入∠FGD=180°-nα，得：
∠FGD=180° - n×(180/(4+n))° = (180(4+n) - 180n)/(4+n) ° = (720/(4+n))°。
【答案】
(720/(4+n))°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质
【点评】
本题综合考查平行线的性质与折叠的性质，要求学生能灵活运用折叠前后角相等的特点，结合平行线的角关系建立方程求解，是几何角度计算的典型题型，需要学生具备较强的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.4
本题是纸带折叠的角度计算问题，核心是利用折叠的性质（折叠前后对应角相等）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）建立角度关系。首先通过延长辅助线，结合折叠性质得到∠2=∠3、∠HFG=∠4，设∠2为α，将各角用α和n表示，再利用平行线的同旁内角互补关系列方程，求解α后代入∠FGD的表达式即可得到结果。
【解析】
如图，延长BC、CF。
由折叠的性质可知：∠2=∠3，∠HFG=∠4。
设∠2=∠3=α，则∠1=nα，
因为∠FGD与∠1是邻补角，所以∠FGD=180°-∠1=180°-nα。
又因为BC//AE//FH，根据平行线的内错角相等，可得∠HFG=∠4=∠2+∠3=2α，
所以∠EFG=180°-∠HFG-∠4=180°-2α-2α=180°-4α。
由于纸带两边平行，即EF//HD，根据平行线的同旁内角互补，有∠EFG+∠FGD=180°，
将∠EFG=180°-4α和∠FGD=180°-nα代入得：
(180°-4α)+(180°-nα)=180°，
整理得：180°=α(4+n)，解得α=(180/(4+n))°。
将α代入∠FGD=180°-nα，得：
∠FGD=180° - n×(180/(4+n))° = (180(4+n) - 180n)/(4+n) ° = (720/(4+n))°。
【答案】
(720/(4+n))°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质
【点评】
本题综合考查平行线的性质与折叠的性质，要求学生能灵活运用折叠前后角相等的特点，结合平行线的角关系建立方程求解，是几何角度计算的典型题型，需要学生具备较强的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.4
17.(6分)计算:(1)$(π-3)^0 + 3^{-2}$；(2)$(a^4b^3 - ab^4)÷(ab^3)$。
答案
17.解:(1)原式$=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$。 (2)原式$=a^3-b$。
解析
【分析】
本题考查代数的基础运算，需分两小问处理：第(1)问利用零指数幂和负整数指数幂的性质计算；第(2)问利用多项式除以单项式的法则计算。思考时，先回忆对应运算法则，再逐步拆分计算即可。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂为1，得$(π-3)^0=1$；根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，因此：
原式$=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$。
(2) 根据多项式除以单项式的法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加，分别计算两项的除法：
$a^4b^3÷(ab^3)=a^{4-1}b^{3-3}=a^3$，
$-ab^4÷(ab^3)=-a^{1-1}b^{4-3}=-b$，
因此：
原式$=a^3 - b$。
【答案】
17.解:(1)原式$=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$。 (2)原式$=a^3 - b$。
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、多项式除以单项式
【点评】
本题是初中代数的基础运算题，核心考察零指数幂、负整数指数幂的性质及多项式除以单项式的法则，属于常规基础题型，只要牢记相关运算法则即可正确解答，是代数运算的核心基础内容。
【难度系数】
0.8
本题考查代数的基础运算，需分两小问处理：第(1)问利用零指数幂和负整数指数幂的性质计算；第(2)问利用多项式除以单项式的法则计算。思考时，先回忆对应运算法则，再逐步拆分计算即可。
【解析】
(1) 根据零指数幂的性质：任何非零数的0次幂为1，得$(π-3)^0=1$；根据负整数指数幂的性质：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$，因此：
原式$=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$。
(2) 根据多项式除以单项式的法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加，分别计算两项的除法：
$a^4b^3÷(ab^3)=a^{4-1}b^{3-3}=a^3$，
$-ab^4÷(ab^3)=-a^{1-1}b^{4-3}=-b$，
因此：
原式$=a^3 - b$。
【答案】
17.解:(1)原式$=1+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$。 (2)原式$=a^3 - b$。
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、多项式除以单项式
【点评】
本题是初中代数的基础运算题，核心考察零指数幂、负整数指数幂的性质及多项式除以单项式的法则，属于常规基础题型，只要牢记相关运算法则即可正确解答，是代数运算的核心基础内容。
【难度系数】
0.8
