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13. 一元二次方程$x^2 + px - 2 = 0$的一个根为2，则p的值为（
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
C
）A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
13. C
解析
【分析】
这道题已知一元二次方程的一个根，求参数p的值，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们只需要把已知的根x=2代入原方程，就能得到一个只含未知数p的一元一次方程，解这个方程即可求出p的值。
【解析】
解：
∵x=2是一元二次方程$x^2 + px - 2 = 0$的根，
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$2^2 + 2p - 2 = 0$
计算得：$4 + 2p - 2 = 0$
化简得：$2 + 2p = 0$
移项得：$2p = -2$
解得：$p = -1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的理解，解题思路清晰直接，代入计算即可得到结果，是对基础知识掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
这道题已知一元二次方程的一个根，求参数p的值，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们只需要把已知的根x=2代入原方程，就能得到一个只含未知数p的一元一次方程，解这个方程即可求出p的值。
【解析】
解：
∵x=2是一元二次方程$x^2 + px - 2 = 0$的根，
∴将x=2代入方程，等式成立，即：
$2^2 + 2p - 2 = 0$
计算得：$4 + 2p - 2 = 0$
化简得：$2 + 2p = 0$
移项得：$2p = -2$
解得：$p = -1$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的理解，解题思路清晰直接，代入计算即可得到结果，是对基础知识掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
14. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为$ x $，则下面所列方程中正确的是（
A.$ 289(1 - x)^2 = 256 $
B.$ 256(1 - x)^2 = 289 $
C.$ 289(1 - 2x) = 256 $
D.$ 256(1 - 2x) = 289 $
A
）A.$ 289(1 - x)^2 = 256 $
B.$ 256(1 - x)^2 = 289 $
C.$ 289(1 - 2x) = 256 $
D.$ 256(1 - 2x) = 289 $
答案
14. A
解析
【分析】
要解决这个连续降价的列方程问题，首先要明确平均每次降价百分率的含义：每次降价都是在前一次售价的基础上降价，即降价后售价=降价前售价×(1-降价百分率)。我们可以先推导第一次降价后的售价，再以第一次降价后的售价为基础推导第二次降价后的售价，最后根据两次降价后的最终售价列等式即可。
【解析】
已知商品原售价为289元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，售价为原价乘(1-x)，即：$289(1-x)$元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，因此第二次降价后的售价为第一次降价后的售价乘(1-x)，即：$289(1-x) × (1-x) = 289(1-x)^2$元；
3. 题目给出两次降价后售价为256元，因此可列方程：$289(1-x)^2 = 256$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是明确每次价格调整的基数，注意连续两次变化的计算方式是乘平方，不要和一次性调整2x的情况混淆。
【难度系数】
0.8
要解决这个连续降价的列方程问题，首先要明确平均每次降价百分率的含义：每次降价都是在前一次售价的基础上降价，即降价后售价=降价前售价×(1-降价百分率)。我们可以先推导第一次降价后的售价，再以第一次降价后的售价为基础推导第二次降价后的售价，最后根据两次降价后的最终售价列等式即可。
【解析】
已知商品原售价为289元，平均每次降价的百分率为x：
1. 第一次降价后，售价为原价乘(1-x)，即：$289(1-x)$元；
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再降x，因此第二次降价后的售价为第一次降价后的售价乘(1-x)，即：$289(1-x) × (1-x) = 289(1-x)^2$元；
3. 题目给出两次降价后售价为256元，因此可列方程：$289(1-x)^2 = 256$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，平均变化率问题
【点评】
本题是平均变化率的基础题型，解题核心是明确每次价格调整的基数，注意连续两次变化的计算方式是乘平方，不要和一次性调整2x的情况混淆。
【难度系数】
0.8
15. 已知一元二次方程$x^2 -6x +c=0$有一个根为2，则c的值为 （
A.2
B.3
C.4
D.8
D
）A.2
B.3
C.4
D.8
答案
15. D
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根的定义求解，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知根为2，只需将x=2代入原方程，就能得到关于c的一元一次方程，解这个方程即可求出c的值。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 -6x +c=0$有一个根为2
∴ 将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$2^2 -6×2 +c =0$
计算得：$4 -12 +c =0$
化简得：$-8 +c =0$
解得：$c=8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，代入求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是明确一元二次方程的根一定满足原方程，将根代入方程转化为求未知参数的一元一次方程即可求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
本题可利用一元二次方程根的定义求解，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，已知根为2，只需将x=2代入原方程，就能得到关于c的一元一次方程，解这个方程即可求出c的值。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 -6x +c=0$有一个根为2
∴ 将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$2^2 -6×2 +c =0$
计算得：$4 -12 +c =0$
化简得：$-8 +c =0$
解得：$c=8$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义，代入求值
【点评】
本题属于基础题，解题核心是明确一元二次方程的根一定满足原方程，将根代入方程转化为求未知参数的一元一次方程即可求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.9
16. 已知关于 $ x $ 的方程 $ kx^2 + (1 - k)x - 1 = 0 $，下列说法正确的是（
A.当 $ k = 0 $ 时，方程无解
B.当 $ k = 1 $ 时，方程有一个实数解
C.当 $ k = -1 $ 时，方程有两个相等的实数解
D.当 $ k ≠ 0 $ 时，方程总有两个不相等的实数解
C
）A.当 $ k = 0 $ 时，方程无解
B.当 $ k = 1 $ 时，方程有一个实数解
C.当 $ k = -1 $ 时，方程有两个相等的实数解
D.当 $ k ≠ 0 $ 时，方程总有两个不相等的实数解
答案
16. C
解析
【分析】
这道题需要根据参数k的取值判断方程类型，进而分析根的情况：首先当k=0时，方程为一元一次方程，可直接求解判断是否有解；当k≠0时，方程为一元二次方程，通过计算根的判别式Δ的值，就能判断根的个数，最后逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 验证选项A：当k=0时，原方程化简为$x - 1 = 0$，解得$x=1$，方程有解，故A错误。
2. 验证选项B：当k=1时，原方程化简为$x^2 - 1 = 0$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，方程有两个不相等的实数解，故B错误。
3. 验证选项C：当k=-1时，原方程化简为$-x^2 + 2x - 1 = 0$，整理得$x^2 - 2x + 1 = 0$，此时判别式$\Delta=(-2)^2 - 4×1×1 = 0$，因此方程有两个相等的实数解，故C正确。
4. 验证选项D：当k≠0时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta=(1-k)^2 - 4× k×(-1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2 ≥0$，当k=-1时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数解，因此不是总有两个不相等的实数解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程分析导致误判，解题时要先对二次项系数分类讨论，再结合对应方程的性质判断根的情况。
【难度系数】
0.7
这道题需要根据参数k的取值判断方程类型，进而分析根的情况：首先当k=0时，方程为一元一次方程，可直接求解判断是否有解；当k≠0时，方程为一元二次方程，通过计算根的判别式Δ的值，就能判断根的个数，最后逐一验证四个选项的正误即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 验证选项A：当k=0时，原方程化简为$x - 1 = 0$，解得$x=1$，方程有解，故A错误。
2. 验证选项B：当k=1时，原方程化简为$x^2 - 1 = 0$，解得$x_1=1$，$x_2=-1$，方程有两个不相等的实数解，故B错误。
3. 验证选项C：当k=-1时，原方程化简为$-x^2 + 2x - 1 = 0$，整理得$x^2 - 2x + 1 = 0$，此时判别式$\Delta=(-2)^2 - 4×1×1 = 0$，因此方程有两个相等的实数解，故C正确。
4. 验证选项D：当k≠0时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta=(1-k)^2 - 4× k×(-1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2 ≥0$，当k=-1时$\Delta=0$，方程有两个相等的实数解，因此不是总有两个不相等的实数解，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的求解
2. 一元二次方程根的判别式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略二次项系数为0的情况，直接将方程当作一元二次方程分析导致误判，解题时要先对二次项系数分类讨论，再结合对应方程的性质判断根的情况。
【难度系数】
0.7
三、解答题
17. 解下列方程.
(1)$x^2 + 2x = 0$；
(2)$2(x - 4)^2 + 16 = x^2$.
17. 解下列方程.
(1)$x^2 + 2x = 0$；
(2)$2(x - 4)^2 + 16 = x^2$.
答案
17. (1)$x_1=0,x_2=-2$ (2)$x_1=4,x_2=12$
解析
【分析】
本题是一元二次方程求解的基础题型，可借助因式分解法快速求解：
(1) 方程左侧的多项式含有公因式$x$，直接提取公因式即可将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的原理转化为一元一次方程求解；
(2) 先利用完全平方公式展开左侧含平方的项，再通过去括号、移项、合并同类项将方程整理为一元二次方程的一般形式，之后对二次三项式因式分解，同样转化为一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 对$x^2 + 2x = 0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x+2)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x+2=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-2$
(2) 先展开$2(x-4)^2$，原方程变形为：
$2(x^2 - 8x + 16) + 16 = x^2$
去括号得：$2x^2 - 16x + 32 + 16 = x^2$
移项、合并同类项得：$x^2 - 16x + 48 = 0$
对左侧因式分解得：$(x - 4)(x - 12) = 0$
$\therefore x - 4 = 0$ 或 $x - 12 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=12$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-2$ (2)$x_1=4,x_2=12$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 整式运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的常规基础题，重点考查因式分解法的灵活应用，第二问求解时要注意先整理化简方程，去括号和移项过程中避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
本题是一元二次方程求解的基础题型，可借助因式分解法快速求解：
(1) 方程左侧的多项式含有公因式$x$，直接提取公因式即可将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”的原理转化为一元一次方程求解；
(2) 先利用完全平方公式展开左侧含平方的项，再通过去括号、移项、合并同类项将方程整理为一元二次方程的一般形式，之后对二次三项式因式分解，同样转化为一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 对$x^2 + 2x = 0$左侧提取公因式$x$，可得：
$x(x+2)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x+2=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-2$
(2) 先展开$2(x-4)^2$，原方程变形为：
$2(x^2 - 8x + 16) + 16 = x^2$
去括号得：$2x^2 - 16x + 32 + 16 = x^2$
移项、合并同类项得：$x^2 - 16x + 48 = 0$
对左侧因式分解得：$(x - 4)(x - 12) = 0$
$\therefore x - 4 = 0$ 或 $x - 12 = 0$
解得：$x_1=4$，$x_2=12$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-2$ (2)$x_1=4,x_2=12$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 完全平方公式
3. 整式运算
【点评】
本题是一元二次方程求解的常规基础题，重点考查因式分解法的灵活应用，第二问求解时要注意先整理化简方程，去括号和移项过程中避免出现符号错误。
【难度系数】
0.85
18. 如图,有一面积为 150 m² 的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长 18 m),另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆的长为 35 m,则鸡场的长与宽各为多少米?
答案
18. 长为 15 m,宽为 10 m.
解析
【分析】
本题是一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题思路如下：1. 选设未知数：由于鸡场一边靠墙，设垂直于墙的边长为x m，那么平行于墙的边长可由篱笆总长度表示为(35-2x)m；2. 列方程：根据矩形面积=长×宽，结合鸡场面积为150 m²列方程；3. 解方程得到两个根；4. 验根：墙长仅18 m，因此平行于墙的边长不能超过18 m，舍去不符合实际的根，即可得到正确的边长。
【解析】
解：设鸡场垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的边长为(35-2x)m。
根据题意列方程得：
$x(35-2x)=150$
整理得：$2x^2-35x+150=0$
因式分解得：$(2x-15)(x-10)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=7.5$
检验：
当$x=10$时，平行于墙的边长为$35-2×10=15$m，$15＜18$，符合墙长限制；
当$x=7.5$时，平行于墙的边长为$35-2×7.5=20$m，$20＞18$，超出墙长，不符合实际，舍去。
因此鸡场垂直于墙的边长为10 m，平行于墙的边长为15 m，即长15 m，宽10 m。
【答案】
长为15 m，宽为10 m。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的典型题型，解题的关键点在于不能忽略墙长的限制条件，需要对解出的方程根进行实际意义的检验，避免出现不符合现实的结果，很好地考察了学生的建模能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题思路如下：1. 选设未知数：由于鸡场一边靠墙，设垂直于墙的边长为x m，那么平行于墙的边长可由篱笆总长度表示为(35-2x)m；2. 列方程：根据矩形面积=长×宽，结合鸡场面积为150 m²列方程；3. 解方程得到两个根；4. 验根：墙长仅18 m，因此平行于墙的边长不能超过18 m，舍去不符合实际的根，即可得到正确的边长。
【解析】
解：设鸡场垂直于墙的一边长为x m，则平行于墙的边长为(35-2x)m。
根据题意列方程得：
$x(35-2x)=150$
整理得：$2x^2-35x+150=0$
因式分解得：$(2x-15)(x-10)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=7.5$
检验：
当$x=10$时，平行于墙的边长为$35-2×10=15$m，$15＜18$，符合墙长限制；
当$x=7.5$时，平行于墙的边长为$35-2×7.5=20$m，$20＞18$，超出墙长，不符合实际，舍去。
因此鸡场垂直于墙的边长为10 m，平行于墙的边长为15 m，即长15 m，宽10 m。
【答案】
长为15 m，宽为10 m。
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的典型题型，解题的关键点在于不能忽略墙长的限制条件，需要对解出的方程根进行实际意义的检验，避免出现不符合现实的结果，很好地考察了学生的建模能力和思维严谨性。
【难度系数】
0.7
1. 关于$x$的方程$(m - \sqrt{3})x^{m^2 -1} - x + 3 = 0$是一元二次方程，则$m$的值为
$-\sqrt{3}$
.答案
1. $-\sqrt{3}$
解析
【分析】
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程必须同时满足两个核心条件：①只含一个未知数，未知数的最高次数是2；②是整式方程，且二次项系数不为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合条件的取值，即可得到正确的m值。
【解析】
∵ 关于x的方程$(m - \sqrt{3})x^{m^2 -1} - x + 3 = 0$是一元二次方程
∴ 需同时满足两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即：
$m^2 - 1 = 2$
解得 $m^2 = 3$，因此$m = \sqrt{3}$ 或 $m = -\sqrt{3}$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - \sqrt{3} ≠ 0$
解得 $m ≠ \sqrt{3}$
综上，m的取值只能是$-\sqrt{3}$
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 二次项系数非零要求
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础应用类易错题，解题时需注意一元二次方程的两个成立条件要同时满足，避免遗漏二次项系数不为0的要求，出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
要确定m的值，需结合一元二次方程的定义分析：一元二次方程必须同时满足两个核心条件：①只含一个未知数，未知数的最高次数是2；②是整式方程，且二次项系数不为0。我们先根据最高次数为2列方程求出m的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合条件的取值，即可得到正确的m值。
【解析】
∵ 关于x的方程$(m - \sqrt{3})x^{m^2 -1} - x + 3 = 0$是一元二次方程
∴ 需同时满足两个条件：
1. 未知数的最高次数为2，即：
$m^2 - 1 = 2$
解得 $m^2 = 3$，因此$m = \sqrt{3}$ 或 $m = -\sqrt{3}$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - \sqrt{3} ≠ 0$
解得 $m ≠ \sqrt{3}$
综上，m的取值只能是$-\sqrt{3}$
【答案】
$-\sqrt{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 二次项系数非零要求
【点评】
本题属于一元二次方程定义的基础应用类易错题，解题时需注意一元二次方程的两个成立条件要同时满足，避免遗漏二次项系数不为0的要求，出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
2. 已知：$a^2 -4a +4=0$，则$5a^2=$
$20$
。答案
2. 20
解析
【分析】
首先观察已知方程的左侧符合完全平方公式的结构，我们可以先通过因式分解法解这个一元二次方程求出a的值，再将a的值代入到$5a^2$中计算即可得到结果。
【解析】
先对已知方程$a^2 -4a +4=0$左边因式分解：
根据完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，可得$a^2-4a+4=(a-2)^2$，
因此原方程可变形为$(a-2)^2=0$，
解得$a=2$，
将$a=2$代入$5a^2$得：$5× 2^2=5×4=20$。
【答案】
20
【知识点】
完全平方公式；解一元二次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式，通过因式分解快速求得方程的解，再代入代数式计算即可。
【难度系数】
0.9
首先观察已知方程的左侧符合完全平方公式的结构，我们可以先通过因式分解法解这个一元二次方程求出a的值，再将a的值代入到$5a^2$中计算即可得到结果。
【解析】
先对已知方程$a^2 -4a +4=0$左边因式分解：
根据完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，可得$a^2-4a+4=(a-2)^2$，
因此原方程可变形为$(a-2)^2=0$，
解得$a=2$，
将$a=2$代入$5a^2$得：$5× 2^2=5×4=20$。
【答案】
20
【知识点】
完全平方公式；解一元二次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的形式，通过因式分解快速求得方程的解，再代入代数式计算即可。
【难度系数】
0.9
3. 关于$x$的方程$a(x+m)^2 + b = 0$的解是$x_1=-2, x_2=1(a,m,b均为常数,a≠0)$，则方程$a(x+m+2)^2 + b = 0$的解是
$x_1=-4,x_2=-1$
。答案
3. $x_1=-4,x_2=-1$
解析
【分析】
本题可通过整体代换的思路求解：观察两个方程的结构，二者均为“a(含x的表达式)² + b = 0”的形式，我们可以将第二个方程中括号内的(x+2)看作一个整体。已知第一个方程中x取-2或1时方程成立，对应第二个方程中整体(x+2)的取值就等于第一个方程中x的取值，由此建立等式即可快速求出第二个方程的解，无需展开计算。
【解析】
设$ u = x + 2 $，则方程$ a(x+m+2)^2 + b = 0 $可变形为：
$ a(u + m)^2 + b = 0 $
由题意可知，方程$ a(x+m)^2 + b = 0 $的解为$ x_1=-2, x_2=1 $，因此方程$ a(u + m)^2 + b = 0 $的解为：
$ u_1 = -2, u_2 = 1 $
将$ u = x + 2 $代回，得到两个一元一次方程：
$ x + 2 = -2 $，$ x + 2 = 1 $
分别解得：$ x_1 = -4 $，$ x_2 = -1 $
【答案】
$ x_1=-4,x_2=-1 $
【知识点】
一元二次方程的解，整体代换思想
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程解的概念的理解，运用整体代换的方法可以规避复杂的展开计算，大幅提升解题效率，是解决同结构方程问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题可通过整体代换的思路求解：观察两个方程的结构，二者均为“a(含x的表达式)² + b = 0”的形式，我们可以将第二个方程中括号内的(x+2)看作一个整体。已知第一个方程中x取-2或1时方程成立，对应第二个方程中整体(x+2)的取值就等于第一个方程中x的取值，由此建立等式即可快速求出第二个方程的解，无需展开计算。
【解析】
设$ u = x + 2 $，则方程$ a(x+m+2)^2 + b = 0 $可变形为：
$ a(u + m)^2 + b = 0 $
由题意可知，方程$ a(x+m)^2 + b = 0 $的解为$ x_1=-2, x_2=1 $，因此方程$ a(u + m)^2 + b = 0 $的解为：
$ u_1 = -2, u_2 = 1 $
将$ u = x + 2 $代回，得到两个一元一次方程：
$ x + 2 = -2 $，$ x + 2 = 1 $
分别解得：$ x_1 = -4 $，$ x_2 = -1 $
【答案】
$ x_1=-4,x_2=-1 $
【知识点】
一元二次方程的解，整体代换思想
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程解的概念的理解，运用整体代换的方法可以规避复杂的展开计算，大幅提升解题效率，是解决同结构方程问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
4. 孔明同学在解一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$时，正确解得$x_1=1, x_2=2$，则c的值为
$2$
。答案
4. 2
解析
【分析】
本题可以通过两种思路求解：思路一，根据一元二次方程根的定义，方程的根代入原方程等式成立，将已知的任意一个根代入方程即可求出c的值；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，直接计算即可得到c的值。
【解析】
方法一：利用方程根的定义求解
∵$x_1=1$是方程$x^2 - 3x + c = 0$的根，将$x=1$代入原方程得：
$1^2 - 3×1 + c = 0$
计算得：$1 - 3 + c = 0$
解得：$c=2$
方法二：利用根与系数的关系求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，两根$x_1=1、x_2=2$，代入得：
$1×2=\frac{c}{1}$
解得：$c=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，两种解题方法都属于基础应用，只要掌握相关基础知识点就能快速得出结果，是对核心基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.9
本题可以通过两种思路求解：思路一，根据一元二次方程根的定义，方程的根代入原方程等式成立，将已知的任意一个根代入方程即可求出c的值；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，直接计算即可得到c的值。
【解析】
方法一：利用方程根的定义求解
∵$x_1=1$是方程$x^2 - 3x + c = 0$的根，将$x=1$代入原方程得：
$1^2 - 3×1 + c = 0$
计算得：$1 - 3 + c = 0$
解得：$c=2$
方法二：利用根与系数的关系求解
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，两根$x_1=1、x_2=2$，代入得：
$1×2=\frac{c}{1}$
解得：$c=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，两种解题方法都属于基础应用，只要掌握相关基础知识点就能快速得出结果，是对核心基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.9
5. 已知关于$x$的方程$x^2 + mx -6=0$的一个根为2，则$m=$
$1$
，另一根是$-3$
。答案
5. 1 -3
解析
【分析】
解题可按两个思路进行：思路一，根据一元二次方程根的定义，能使方程成立的未知数的值就是方程的根，所以先把已知根x=2代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解出m后再代入原方程，解一元二次方程即可得到另一个根；思路二，直接利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根乘积先求另一根，再通过两根和求m，计算更快捷。
【解析】
方法1（代入法）：
把x=2代入方程$x^2 + mx -6=0$，得：
$2^2 + 2m - 6 = 0$
化简得$4 + 2m -6 = 0$，即$2m = 2$
解得$m=1$
将$m=1$代入原方程，得$x^2 + x -6=0$
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-3$，即另一根为-3。
方法2（根与系数关系法）：
设方程另一根为$a$，根据根与系数的关系：
两根之积：$2× a = -6$，解得$a=-3$
两根之和：$2 + a = -m$，把$a=-3$代入得$2-3=-m$，解得$m=1$。
【答案】
1；-3
【知识点】
一元二次方程根的定义，因式分解法解方程，根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，解题方法灵活，不管是代入法还是根与系数关系法都能快速求解，熟练掌握基础知识点即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
解题可按两个思路进行：思路一，根据一元二次方程根的定义，能使方程成立的未知数的值就是方程的根，所以先把已知根x=2代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解出m后再代入原方程，解一元二次方程即可得到另一个根；思路二，直接利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根乘积先求另一根，再通过两根和求m，计算更快捷。
【解析】
方法1（代入法）：
把x=2代入方程$x^2 + mx -6=0$，得：
$2^2 + 2m - 6 = 0$
化简得$4 + 2m -6 = 0$，即$2m = 2$
解得$m=1$
将$m=1$代入原方程，得$x^2 + x -6=0$
因式分解得$(x+3)(x-2)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=-3$，即另一根为-3。
方法2（根与系数关系法）：
设方程另一根为$a$，根据根与系数的关系：
两根之积：$2× a = -6$，解得$a=-3$
两根之和：$2 + a = -m$，把$a=-3$代入得$2-3=-m$，解得$m=1$。
【答案】
1；-3
【知识点】
一元二次方程根的定义，因式分解法解方程，根与系数的关系
【点评】
本题属于一元二次方程的基础考查题，解题方法灵活，不管是代入法还是根与系数关系法都能快速求解，熟练掌握基础知识点即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
6. 如图，邻边不 等 的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m.若矩形的面积为4 m²，则AB的长度是
$1$
m.（可利用的围墙长度超过6 m）答案
6. 1
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推导：首先设垂直围墙的边AB的长度为未知数，根据栅栏总长度表示出平行围墙的边BC的长度；再结合矩形面积公式列出一元二次方程；最后求解方程后，结合题目“邻边不等”的条件舍去不符合要求的解，得到正确答案。
【解析】
设AB的长度为$ x $ m，则CD的长度也为$ x $ m，BC边的长度为$ (6-2x) $ m。
根据矩形面积公式可列方程：
$ x(6-2x)=4 $
整理为一元二次方程一般形式：
$ x^2-3x+2=0 $
因式分解得：
$ (x-1)(x-2)=0 $
解得$ x_1=1 $，$ x_2=2 $。
检验解的合理性：
当$ x=1 $时，$ BC=6-2×1=4 $ m，AB和BC长度不同，符合邻边不等的要求；
当$ x=2 $时，$ BC=6-2×2=2 $ m，AB和BC长度相等，不符合邻边不等的要求，舍去。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题时要注意结合题目给出的限制条件对求得的根进行验证，避免遗漏限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按以下思路推导：首先设垂直围墙的边AB的长度为未知数，根据栅栏总长度表示出平行围墙的边BC的长度；再结合矩形面积公式列出一元二次方程；最后求解方程后，结合题目“邻边不等”的条件舍去不符合要求的解，得到正确答案。
【解析】
设AB的长度为$ x $ m，则CD的长度也为$ x $ m，BC边的长度为$ (6-2x) $ m。
根据矩形面积公式可列方程：
$ x(6-2x)=4 $
整理为一元二次方程一般形式：
$ x^2-3x+2=0 $
因式分解得：
$ (x-1)(x-2)=0 $
解得$ x_1=1 $，$ x_2=2 $。
检验解的合理性：
当$ x=1 $时，$ BC=6-2×1=4 $ m，AB和BC长度不同，符合邻边不等的要求；
当$ x=2 $时，$ BC=6-2×2=2 $ m，AB和BC长度相等，不符合邻边不等的要求，舍去。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用，矩形面积计算
【点评】
本题考查一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题时要注意结合题目给出的限制条件对求得的根进行验证，避免遗漏限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7
7. 下列各方程一定是关于x的一元二次方程的是（
A.$\frac{\sqrt{5}}{2}x^2 + \frac{1}{x} = 0$
B.$ax^2 + bx + c = 0$
C.$(n^2 + 1)x^2 + n = 0$
D.$mx^2 + 3x = 2x(x - 1) + 2$
C
）A.$\frac{\sqrt{5}}{2}x^2 + \frac{1}{x} = 0$
B.$ax^2 + bx + c = 0$
C.$(n^2 + 1)x^2 + n = 0$
D.$mx^2 + 3x = 2x(x - 1) + 2$
答案
7. C
解析
【分析】
解题的核心依据是一元二次方程的定义，需同时满足四个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数x；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时逐一对照上述条件排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据一元二次方程的定义逐一分析选项：
1. 选项A：方程中含$\frac{1}{x}$，属于分式，因此该方程是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，排除A。
2. 选项B：$ax^2+bx+c=0$未限定$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数小于2，不是一元二次方程，排除B。
3. 选项C：因为$n^2≥0$，所以$n^2+1≥1$，二次项系数恒不为0，且该方程是只含未知数x的整式方程，x的最高次数为2，符合一元二次方程的所有条件。
4. 选项D：先整理方程：
$mx^2 + 3x = 2x(x - 1) + 2$
展开右侧得$mx^2 + 3x = 2x^2 - 2x + 2$
移项合并同类项得$(m-2)x^2 +5x -2=0$
当$m=2$时，二次项系数为0，方程变为一元一次方程，不符合要求，排除D。
综上，只有选项C一定是关于x的一元二次方程。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的概念
【点评】
本题重点考查一元二次方程的判定，易错点在于容易忽略二次项系数不能为0的隐含要求，以及误将含分式的方程判定为整式方程，解题时需严格对照定义逐一验证每个选项。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是一元二次方程的定义，需同时满足四个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数x；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时逐一对照上述条件排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们根据一元二次方程的定义逐一分析选项：
1. 选项A：方程中含$\frac{1}{x}$，属于分式，因此该方程是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，排除A。
2. 选项B：$ax^2+bx+c=0$未限定$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数小于2，不是一元二次方程，排除B。
3. 选项C：因为$n^2≥0$，所以$n^2+1≥1$，二次项系数恒不为0，且该方程是只含未知数x的整式方程，x的最高次数为2，符合一元二次方程的所有条件。
4. 选项D：先整理方程：
$mx^2 + 3x = 2x(x - 1) + 2$
展开右侧得$mx^2 + 3x = 2x^2 - 2x + 2$
移项合并同类项得$(m-2)x^2 +5x -2=0$
当$m=2$时，二次项系数为0，方程变为一元一次方程，不符合要求，排除D。
综上，只有选项C一定是关于x的一元二次方程。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的概念
【点评】
本题重点考查一元二次方程的判定，易错点在于容易忽略二次项系数不能为0的隐含要求，以及误将含分式的方程判定为整式方程，解题时需严格对照定义逐一验证每个选项。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于$x$的方程$kx^2 + (2k+1)x + (k-1) = 0$有实数根，则$k$的取值范围为（
A.$k ≥ -\frac{1}{8}$
B.$k ＞ -\frac{1}{8}$
C.$k ≥ -\frac{1}{8}$且$k ≠ 0$
D.$k ＜ -\frac{1}{8}$
A
）A.$k ≥ -\frac{1}{8}$
B.$k ＞ -\frac{1}{8}$
C.$k ≥ -\frac{1}{8}$且$k ≠ 0$
D.$k ＜ -\frac{1}{8}$
答案
8. A
解析
【分析】
题目仅说明是关于x的方程，未明确方程类型，因此需要分类讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，此时方程有实根需满足判别式Δ≥0，计算出该情况下k的范围，最后综合两种情况的结果得到最终取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为一元一次方程：$x - 1 = 0$，解得$x=1$，有实数根，符合题意，因此$k=0$可取。
2. 当$k≠0$时，原方程为一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。
其中$a=k$，$b=2k+1$，$c=k-1$，代入得：
$\Delta=(2k+1)^2 - 4k(k-1)$
$=4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 + 4k$
$=8k + 1$
令$\Delta ≥ 0$，即$8k + 1 ≥ 0$，解得$k ≥ -\frac{1}{8}$，结合$k≠0$的前提，此时$k$的取值范围是$k ≥ -\frac{1}{8}$且$k≠0$。
综合两种情况，k的总取值范围为$k ≥ -\frac{1}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
方程分类讨论、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题的易错点是易默认方程为一元二次方程，直接附加$k≠0$的限制而误选C，解题时需注意：若题干仅说明“关于x的方程”，未指明是一元二次方程，一定要分一次方程、二次方程两种情况讨论。
【难度系数】
0.7
题目仅说明是关于x的方程，未明确方程类型，因此需要分类讨论：①当k=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实根；②当k≠0时，方程为一元二次方程，此时方程有实根需满足判别式Δ≥0，计算出该情况下k的范围，最后综合两种情况的结果得到最终取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程化为一元一次方程：$x - 1 = 0$，解得$x=1$，有实数根，符合题意，因此$k=0$可取。
2. 当$k≠0$时，原方程为一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。
其中$a=k$，$b=2k+1$，$c=k-1$，代入得：
$\Delta=(2k+1)^2 - 4k(k-1)$
$=4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 + 4k$
$=8k + 1$
令$\Delta ≥ 0$，即$8k + 1 ≥ 0$，解得$k ≥ -\frac{1}{8}$，结合$k≠0$的前提，此时$k$的取值范围是$k ≥ -\frac{1}{8}$且$k≠0$。
综合两种情况，k的总取值范围为$k ≥ -\frac{1}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
方程分类讨论、一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题的易错点是易默认方程为一元二次方程，直接附加$k≠0$的限制而误选C，解题时需注意：若题干仅说明“关于x的方程”，未指明是一元二次方程，一定要分一次方程、二次方程两种情况讨论。
【难度系数】
0.7
