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【例3】 楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车.当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售量超过5辆,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆.根据市场调查,月销售量不会突破30台.
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30,且x为正整数),实际进价为y万元/辆,求y与x的函数关系式;
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么该月需售出多少辆汽车?(销售利润=销售价−进价)
【解题思路】 (1)按销售量进行分类,再合理表示出函数关系式,即:若当月销售量超过5辆,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆,则有进价$y=30−0.1(x−5)$;(2)由销售利润=销售价−进价来考虑,因为进价不相同,所以需要分当$x≤5$和$5＜x≤30$两种情况来解决,特别是当$5＜x≤30$时,可列出方程$(32+0.1x−30.5)x=25$.
【解答过程】 解:(1)当$x≤5$时,$y=30$;
当$5＜x≤30$时,$y=−0.1x+30.5$.
∴$y=\begin{cases}30(x≤5), \\ -0.1x+30.5(5＜x≤30)\end{cases}$(且x为正整数);
(2)当$x≤5$时,$(32−30)×5=10＜25$,不合题意;
当$5＜x≤30$时,$(32+0.1x−30.5)x=25$,
$x^2+15x−250=0,x_1=−25$(舍去),$x_2=10$.
答:该月需售出10辆汽车.
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是(1)不能正确分类;(2)不能按分类要求合理地表示出函数关系或列出方程.
【方法规律】 (1)按销售量进行分类,再合理表示出函数关系式;(2)按进价不同进行分类,再确定符合题意的方程.
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30,且x为正整数),实际进价为y万元/辆,求y与x的函数关系式;
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么该月需售出多少辆汽车?(销售利润=销售价−进价)
【解题思路】 (1)按销售量进行分类,再合理表示出函数关系式,即:若当月销售量超过5辆,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆,则有进价$y=30−0.1(x−5)$;(2)由销售利润=销售价−进价来考虑,因为进价不相同,所以需要分当$x≤5$和$5＜x≤30$两种情况来解决,特别是当$5＜x≤30$时,可列出方程$(32+0.1x−30.5)x=25$.
【解答过程】 解:(1)当$x≤5$时,$y=30$;
当$5＜x≤30$时,$y=−0.1x+30.5$.
∴$y=\begin{cases}30(x≤5), \\ -0.1x+30.5(5＜x≤30)\end{cases}$(且x为正整数);
(2)当$x≤5$时,$(32−30)×5=10＜25$,不合题意;
当$5＜x≤30$时,$(32+0.1x−30.5)x=25$,
$x^2+15x−250=0,x_1=−25$(舍去),$x_2=10$.
答:该月需售出10辆汽车.
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是(1)不能正确分类;(2)不能按分类要求合理地表示出函数关系或列出方程.
【方法规律】 (1)按销售量进行分类,再合理表示出函数关系式;(2)按进价不同进行分类,再确定符合题意的方程.
答案
解：(1) 当$x ≤ 5$，且$x$为正整数时，进价不降低，故$y=30$；
当$5 ＜ x ≤ 30$，且$x$为正整数时，销售量超过5辆，多售出$(x-5)$辆，进价降低$0.1(x-5)$万元/辆，因此：
$y=30-0.1(x-5)=-0.1x+30.5$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为：
$y=\begin{cases}30 & (x≤5,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数}) \\-0.1x+30.5 & (5＜x≤30,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数})\end{cases}$
(2) 分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 5$时，每辆车的销售利润为$32-30=2$万元，总利润最大值为$2×5=10$万元，$10＜25$，不符合题意。
② 当$5 ＜ x ≤ 30$时，每辆车的利润为$32-(-0.1x+30.5)=0.1x+1.5$万元，根据总利润为25万元列方程：
$(0.1x+1.5)x=25$
整理得：$x^2+15x-250=0$
解得：$x_1=-25$（不符合实际，舍去），$x_2=10$，$x=10$满足$5＜x≤30$。
答：该月需售出10辆汽车。
当$5 ＜ x ≤ 30$，且$x$为正整数时，销售量超过5辆，多售出$(x-5)$辆，进价降低$0.1(x-5)$万元/辆，因此：
$y=30-0.1(x-5)=-0.1x+30.5$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为：
$y=\begin{cases}30 & (x≤5,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数}) \\-0.1x+30.5 & (5＜x≤30,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数})\end{cases}$
(2) 分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 5$时，每辆车的销售利润为$32-30=2$万元，总利润最大值为$2×5=10$万元，$10＜25$，不符合题意。
② 当$5 ＜ x ≤ 30$时，每辆车的利润为$32-(-0.1x+30.5)=0.1x+1.5$万元，根据总利润为25万元列方程：
$(0.1x+1.5)x=25$
整理得：$x^2+15x-250=0$
解得：$x_1=-25$（不符合实际，舍去），$x_2=10$，$x=10$满足$5＜x≤30$。
答：该月需售出10辆汽车。
解析
【分析】
（1）求y与x的函数关系式时，需依据进价调整规则分类讨论：当销售量不超过5辆时，进价没有优惠，固定为30万元/辆；当销售量超过5辆且不超过30辆时，先计算超出5辆的部分为(x-5)辆，对应每辆车进价降低0.1(x-5)万元，用原进价减去降低的部分即可得到该区间的进价表达式，最终整理为分段函数形式。
（2）求利润为25万元时的销售量，同样按进价的分段区间分别验证：首先计算销售量≤5辆时的最大总利润，判断是否能达到25万元；若不符合要求，再代入5＜x≤30区间的进价表达式，先算出单辆车的利润，再根据“总利润=单辆车利润×销售量”列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根，验证剩余根是否在取值范围内即可。
【解析】
(1) 当$x ≤ 5$，且$x$为正整数时，进价不降低，故$y=30$；
当$5 ＜ x ≤ 30$，且$x$为正整数时，销售量超过5辆，多售出$(x-5)$辆，进价降低$0.1(x-5)$万元/辆，因此：
$y=30-0.1(x-5)=-0.1x+30.5$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为：
$y=\begin{cases}30 & (x≤5,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数}) \\-0.1x+30.5 & (5＜x≤30,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数})\end{cases}$
(2) 分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 5$时，每辆车的销售利润为$32-30=2$万元，总利润最大值为$2×5=10$万元，$10＜25$，不符合题意。
② 当$5 ＜ x ≤ 30$时，每辆车的利润为$32-(-0.1x+30.5)=0.1x+1.5$万元，根据总利润为25万元列方程：
$(0.1x+1.5)x=25$
整理得：$x^2+15x-250=0$
解得：$x_1=-25$（不符合实际，舍去），$x_2=10$，$x=10$满足$5＜x≤30$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30 & (x≤5,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数}) \\-0.1x+30.5 & (5＜x≤30,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数})\end{cases}$
(2) 该月需售出10辆汽车。
【知识点】
分段函数应用；一元二次方程的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题属于实际应用类题型，重点考查分类讨论思想的运用，解题的关键是根据题干给出的优惠规则正确划分讨论区间，求解方程后要注意检验根是否符合实际意义和取值范围，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
（1）求y与x的函数关系式时，需依据进价调整规则分类讨论：当销售量不超过5辆时，进价没有优惠，固定为30万元/辆；当销售量超过5辆且不超过30辆时，先计算超出5辆的部分为(x-5)辆，对应每辆车进价降低0.1(x-5)万元，用原进价减去降低的部分即可得到该区间的进价表达式，最终整理为分段函数形式。
（2）求利润为25万元时的销售量，同样按进价的分段区间分别验证：首先计算销售量≤5辆时的最大总利润，判断是否能达到25万元；若不符合要求，再代入5＜x≤30区间的进价表达式，先算出单辆车的利润，再根据“总利润=单辆车利润×销售量”列一元二次方程求解，最后舍去不符合实际意义的负根，验证剩余根是否在取值范围内即可。
【解析】
(1) 当$x ≤ 5$，且$x$为正整数时，进价不降低，故$y=30$；
当$5 ＜ x ≤ 30$，且$x$为正整数时，销售量超过5辆，多售出$(x-5)$辆，进价降低$0.1(x-5)$万元/辆，因此：
$y=30-0.1(x-5)=-0.1x+30.5$。
综上，$y$与$x$的函数关系式为：
$y=\begin{cases}30 & (x≤5,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数}) \\-0.1x+30.5 & (5＜x≤30,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数})\end{cases}$
(2) 分两种情况讨论：
① 当$x ≤ 5$时，每辆车的销售利润为$32-30=2$万元，总利润最大值为$2×5=10$万元，$10＜25$，不符合题意。
② 当$5 ＜ x ≤ 30$时，每辆车的利润为$32-(-0.1x+30.5)=0.1x+1.5$万元，根据总利润为25万元列方程：
$(0.1x+1.5)x=25$
整理得：$x^2+15x-250=0$
解得：$x_1=-25$（不符合实际，舍去），$x_2=10$，$x=10$满足$5＜x≤30$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}30 & (x≤5,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数}) \\-0.1x+30.5 & (5＜x≤30,\mathrm{且}x\mathrm{为正整数})\end{cases}$
(2) 该月需售出10辆汽车。
【知识点】
分段函数应用；一元二次方程的实际应用；销售利润计算
【点评】
本题属于实际应用类题型，重点考查分类讨论思想的运用，解题的关键是根据题干给出的优惠规则正确划分讨论区间，求解方程后要注意检验根是否符合实际意义和取值范围，避免出现错解。
【难度系数】
0.6
1. 将方程 $3x^{2}=5x+2$ 化为一元二次方程的一般形式是
$3x^2-5x-2=0$
。答案
1. $3x^2-5x-2=0$
解析
【分析】
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数），核心特征是等号右侧为0，左侧按未知数的降幂排列。解题时只需将原方程右侧的项全部移到左侧，移项时注意改变符号，整理后即可得到符合要求的一般形式。
【解析】
已知原方程为$3x^2=5x+2$，根据移项法则，将等号右侧的$5x$和$+2$移到左侧，移项需变号，整理后可得：
$3x^2-5x-2=0$
该式符合一元二次方程一般形式的要求。
【答案】
$3x^2-5x-2=0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，移项法则
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时忽略符号变化，熟练掌握移项规则和一般形式的结构即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数），核心特征是等号右侧为0，左侧按未知数的降幂排列。解题时只需将原方程右侧的项全部移到左侧，移项时注意改变符号，整理后即可得到符合要求的一般形式。
【解析】
已知原方程为$3x^2=5x+2$，根据移项法则，将等号右侧的$5x$和$+2$移到左侧，移项需变号，整理后可得：
$3x^2-5x-2=0$
该式符合一元二次方程一般形式的要求。
【答案】
$3x^2-5x-2=0$
【知识点】
一元二次方程的一般形式，移项法则
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对一元二次方程一般形式的理解，易错点是移项时忽略符号变化，熟练掌握移项规则和一般形式的结构即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 用配方法解方程 $x^2 - 4x = 5$ 时，方程两边同时加上
$4$
，使得方程左边配成一个完全平方式。答案
2. 4
解析
【分析】
解决本题需结合配方法的原理思考：配方法的核心是利用完全平方公式，将二次式变形为完全平方式。对于二次项系数为1的二次式，配完全平方式时，需要添加的常数是一次项系数一半的平方。本题中方程左边二次项系数已经是1，先找到一次项系数，再计算它一半的平方，就能得到需要加的数。
【解析】
根据完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
方程左边的式子为$x^2-4x$，其中二次项$x^2$对应公式中的$a^2$，即$a=x$；
一次项为$-4x$，对应公式中的$-2ab$，代入$a=x$可得$2× x× b=4x$，解得$b=2$；
因此需要添加的常数为$b^2=2^2=4$。
添加后左边为$x^2-4x+4=(x-2)^2$，是完全平方式，符合要求。
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题关键是牢记二次项系数为1时，配完全平方需添加一次项系数一半的平方，掌握该规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解决本题需结合配方法的原理思考：配方法的核心是利用完全平方公式，将二次式变形为完全平方式。对于二次项系数为1的二次式，配完全平方式时，需要添加的常数是一次项系数一半的平方。本题中方程左边二次项系数已经是1，先找到一次项系数，再计算它一半的平方，就能得到需要加的数。
【解析】
根据完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
方程左边的式子为$x^2-4x$，其中二次项$x^2$对应公式中的$a^2$，即$a=x$；
一次项为$-4x$，对应公式中的$-2ab$，代入$a=x$可得$2× x× b=4x$，解得$b=2$；
因此需要添加的常数为$b^2=2^2=4$。
添加后左边为$x^2-4x+4=(x-2)^2$，是完全平方式，符合要求。
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法的基础考查题，解题关键是牢记二次项系数为1时，配完全平方需添加一次项系数一半的平方，掌握该规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
3. 现有一块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500 cm²的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得
$x^2-70x+825=0$
。答案
3. $x^2-70x+825=0$
解析
【分析】
要列方程首先需要明确无盖长方体盒子底面的长和宽：原矩形钢片长80cm、宽60cm，四个角各剪去边长为x cm的小正方形后，底面的长需要在原长的基础上减去左右两个小正方形的边长，即(80-2x)cm，底面的宽需要在原宽的基础上减去上下两个小正方形的边长，即(60-2x)cm。再根据“矩形面积=长×宽”，结合底面积为1500cm²的条件列方程，最后化简为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：由题意可知，无盖长方体盒子底面的长为$(80-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(60-2x)\mathrm{cm}$。
根据矩形底面积公式可列方程：
$(80-2x)(60-2x)=1500$
展开左边得：
$4800 - 160x - 120x + 4x^2 = 1500$
整理移项得：
$4x^2 - 280x + 3300 = 0$
两边同时除以4化简得：
$x^2 - 70x + 825 = 0$
【答案】
$x^2-70x+825=0$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、整式化简
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是正确表示出裁剪后长方体底面的长和宽，结合面积等量关系列方程化简即可，需注意裁剪时长和宽均需要减去2倍的小正方形边长，避免漏减出错。
【难度系数】
0.7
要列方程首先需要明确无盖长方体盒子底面的长和宽：原矩形钢片长80cm、宽60cm，四个角各剪去边长为x cm的小正方形后，底面的长需要在原长的基础上减去左右两个小正方形的边长，即(80-2x)cm，底面的宽需要在原宽的基础上减去上下两个小正方形的边长，即(60-2x)cm。再根据“矩形面积=长×宽”，结合底面积为1500cm²的条件列方程，最后化简为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：由题意可知，无盖长方体盒子底面的长为$(80-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(60-2x)\mathrm{cm}$。
根据矩形底面积公式可列方程：
$(80-2x)(60-2x)=1500$
展开左边得：
$4800 - 160x - 120x + 4x^2 = 1500$
整理移项得：
$4x^2 - 280x + 3300 = 0$
两边同时除以4化简得：
$x^2 - 70x + 825 = 0$
【答案】
$x^2-70x+825=0$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、整式化简
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题型，解题核心是正确表示出裁剪后长方体底面的长和宽，结合面积等量关系列方程化简即可，需注意裁剪时长和宽均需要减去2倍的小正方形边长，避免漏减出错。
【难度系数】
0.7
4. 方程$x^2 - 2x - 2 = 0$的解是
$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=-\sqrt{3}+1$
。答案
4. $x_1=\sqrt{3}+1,x_2=-\sqrt{3}+1$
解析
【分析】
这是一元二次方程求解的基础题，可采用配方法解题，思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后通过直接开平方法求出方程的解，注意开平方时要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
我们使用配方法求解：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2$
第二步，配方，给等式两边同时加一次项系数$-2$一半的平方，也就是$1$：
$x^2 - 2x + 1 = 2 + 1$
整理得完全平方式：
$(x - 1)^2 = 3$
第三步，开平方：
$x - 1 = \pm\sqrt{3}$
第四步，移项得到解：
$x = 1 \pm \sqrt{3}$
即$x_1 = 1 + \sqrt{3}$，$x_2 = 1 - \sqrt{3}$
【答案】
$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=-\sqrt{3}+1$
【知识点】
一元二次方程解法、配方法、直接开平方法
【点评】
本题是一元二次方程求解的常规基础题，主要考查配方法的运用，解题时注意开平方后不要遗漏负根即可。
【难度系数】
0.85
这是一元二次方程求解的基础题，可采用配方法解题，思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后通过直接开平方法求出方程的解，注意开平方时要取正负两个值，避免漏解。
【解析】
我们使用配方法求解：
第一步，移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 2$
第二步，配方，给等式两边同时加一次项系数$-2$一半的平方，也就是$1$：
$x^2 - 2x + 1 = 2 + 1$
整理得完全平方式：
$(x - 1)^2 = 3$
第三步，开平方：
$x - 1 = \pm\sqrt{3}$
第四步，移项得到解：
$x = 1 \pm \sqrt{3}$
即$x_1 = 1 + \sqrt{3}$，$x_2 = 1 - \sqrt{3}$
【答案】
$x_1=\sqrt{3}+1,x_2=-\sqrt{3}+1$
【知识点】
一元二次方程解法、配方法、直接开平方法
【点评】
本题是一元二次方程求解的常规基础题，主要考查配方法的运用，解题时注意开平方后不要遗漏负根即可。
【难度系数】
0.85
5. 将4个数$a,b,c,d$排成2行2列，两边各加一条竖直线记成$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，上述记号就叫作2阶行列式，若$\begin{vmatrix} x+2 & x-2 \\ 2-x & x+2 \end{vmatrix}=10$，则$x=\_\_\_\_\_\_$。
答案
5. $\pm1$
解析
【分析】这是一道新定义运算类题目，解题思路分三步：第一步先准确理解2阶行列式的运算规则，即$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，是主对角线乘积减去副对角线乘积；第二步将题目给出的行列式中的元素对应代入运算规则，列出含x的等式；第三步通过整式运算化简等式，得到一元二次方程后求解即可。
【解析】根据二阶行列式的定义可得：
$\begin{vmatrix} x+2 & x-2 \\ 2-x & x+2 \end{vmatrix}=(x+2)(x+2)-(x-2)(2-x)=10$
对左边的式子进行化简：
将$(2-x)$变形为$-(x-2)$，则$(x-2)(2-x)=-(x-2)^2$，代入等式得：
$(x+2)^2 - [-(x-2)^2] = 10$
即$(x+2)^2 + (x-2)^2 = 10$
展开完全平方公式：
$(x^2 +4x +4) + (x^2 -4x +4) = 10$
合并同类项：
$2x^2 + 8 = 10$
移项化简：
$2x^2 = 2$
$x^2 =1$
解得$x=\pm1$
【答案】$\pm1$
【知识点】新定义运算；整式混合运算；解一元二次方程
【点评】本题核心是正确理解新定义的运算规则，代入计算时要注意符号处理，熟练运用乘法公式展开整式能简化计算，避免符号错误是解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】根据二阶行列式的定义可得：
$\begin{vmatrix} x+2 & x-2 \\ 2-x & x+2 \end{vmatrix}=(x+2)(x+2)-(x-2)(2-x)=10$
对左边的式子进行化简：
将$(2-x)$变形为$-(x-2)$，则$(x-2)(2-x)=-(x-2)^2$，代入等式得：
$(x+2)^2 - [-(x-2)^2] = 10$
即$(x+2)^2 + (x-2)^2 = 10$
展开完全平方公式：
$(x^2 +4x +4) + (x^2 -4x +4) = 10$
合并同类项：
$2x^2 + 8 = 10$
移项化简：
$2x^2 = 2$
$x^2 =1$
解得$x=\pm1$
【答案】$\pm1$
【知识点】新定义运算；整式混合运算；解一元二次方程
【点评】本题核心是正确理解新定义的运算规则，代入计算时要注意符号处理，熟练运用乘法公式展开整式能简化计算，避免符号错误是解题的关键。
【难度系数】0.7
6. (1)$x^2 + 10x +$$=(x +$$)^2$；
(2)$x^2 - \frac{3}{2}x +\_\_\_\_\_\_=(x -\_\_\_\_\_\_)^2$。
(2)$x^2 - \frac{3}{2}x +\_\_\_\_\_\_=(x -\_\_\_\_\_\_)^2$。
答案
6. (1)25 5 (2)$\frac{9}{16}$ $\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的配平，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。当二次项系数为1时，等式左边需要补充的常数项是一次项系数一半的平方，等号右侧括号内的常数是一次项系数的一半。解题时先找准每小问的一次项系数，先计算它的一半，再平方即可得到需要补充的常数项。
【解析】
利用完全平方公式$(x\pm b)^2=x^2\pm2bx + b^2$进行配平：
(1) 式子$x^2+10x$的一次项系数为10，它的一半为$10÷2=5$，对应常数项为$5^2=25$，因此$x^2 + 10x +25=(x+5)^2$；
(2) 式子$x^2-\frac{3}{2}x$的一次项系数为$-\frac{3}{2}$，它的一半的绝对值为$\frac{3}{2}÷2=\frac{3}{4}$，对应常数项为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，因此$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=(x-\frac{3}{4})^2$。
【答案】
(1)25，5；(2)$\frac{9}{16}$，$\frac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，解题关键是掌握二次项系数为1时，完全平方式中常数项和一次项系数的数量关系，该知识点是后续用配方法解一元二次方程的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的配平，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。当二次项系数为1时，等式左边需要补充的常数项是一次项系数一半的平方，等号右侧括号内的常数是一次项系数的一半。解题时先找准每小问的一次项系数，先计算它的一半，再平方即可得到需要补充的常数项。
【解析】
利用完全平方公式$(x\pm b)^2=x^2\pm2bx + b^2$进行配平：
(1) 式子$x^2+10x$的一次项系数为10，它的一半为$10÷2=5$，对应常数项为$5^2=25$，因此$x^2 + 10x +25=(x+5)^2$；
(2) 式子$x^2-\frac{3}{2}x$的一次项系数为$-\frac{3}{2}$，它的一半的绝对值为$\frac{3}{2}÷2=\frac{3}{4}$，对应常数项为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，因此$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=(x-\frac{3}{4})^2$。
【答案】
(1)25，5；(2)$\frac{9}{16}$，$\frac{3}{4}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，解题关键是掌握二次项系数为1时，完全平方式中常数项和一次项系数的数量关系，该知识点是后续用配方法解一元二次方程的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7. 已知三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程$x^2 -17x +70=0$的根，则三角形的周长是
$17$
。答案
7. 17
解析
【分析】
解决本题分两步走：第一步先求解一元二次方程，得到第三边的所有可能取值；第二步结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，排除无法构成三角形的取值，最后将符合条件的三边长相加得到周长。
【解析】
1. 解方程$x^2 -17x +70=0$：
对左边因式分解，十字相乘得$(x-7)(x-10)=0$，
则$x-7=0$或$x-10=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
2. 验证第三边是否符合三角形三边关系：
已知三角形两边长为4和6，
若第三边长为10，此时$4+6=10$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去；
若第三边长为7，此时$4+6＞7$，$6-4＜7$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：
三角形周长为$4+6+7=17$。
【答案】
17
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，易错点是求出方程的根后，忽略验证三边是否能构成三角形，直接代入两个根计算周长导致错解，解题时要注意隐含条件的挖掘。
【难度系数】
0.7
解决本题分两步走：第一步先求解一元二次方程，得到第三边的所有可能取值；第二步结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，排除无法构成三角形的取值，最后将符合条件的三边长相加得到周长。
【解析】
1. 解方程$x^2 -17x +70=0$：
对左边因式分解，十字相乘得$(x-7)(x-10)=0$，
则$x-7=0$或$x-10=0$，
解得$x_1=7$，$x_2=10$。
2. 验证第三边是否符合三角形三边关系：
已知三角形两边长为4和6，
若第三边长为10，此时$4+6=10$，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去；
若第三边长为7，此时$4+6＞7$，$6-4＜7$，满足三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：
三角形周长为$4+6+7=17$。
【答案】
17
【知识点】
一元二次方程的解法；三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题是一元二次方程与三角形性质的综合题，易错点是求出方程的根后，忽略验证三边是否能构成三角形，直接代入两个根计算周长导致错解，解题时要注意隐含条件的挖掘。
【难度系数】
0.7
8. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是
$3200(1-x)^2=2500$
.答案
8. $3200(1-x)^2=2500$
解析
【分析】
这是连续降价的百分率问题，解题时需先明确每次降价的基数：第一次降价是在原价3200元的基础上调整，降价后价格为原价乘(1-降价百分率)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降相同的百分率，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格再乘(1-降价百分率)，最后结合两次降价后的最终售价为2500元，即可列出对应方程。
【解析】
1. 计算第一次降价后的售价：原价为3200元，平均每月降价百分率为x，因此第一次降价后的售价为$3200(1-x)$元；
2. 计算第二次降价后的售价：第二次降价的基数是第一次降价后的价格，因此第二次降价后的售价为$3200(1-x) × (1-x) = 3200(1-x)^2$元；
3. 根据两次降价后售价为2500元，列等式得$3200(1-x)^2=2500$。
【答案】
$3200(1-x)^2=2500$
【知识点】
百分率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率问题的典型考法，属于基础应用题，解题核心是找准每次价格变动的基数，牢记平均变化率的计算公式，是考试中常见的得分题型。
【难度系数】
0.8
这是连续降价的百分率问题，解题时需先明确每次降价的基数：第一次降价是在原价3200元的基础上调整，降价后价格为原价乘(1-降价百分率)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降相同的百分率，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格再乘(1-降价百分率)，最后结合两次降价后的最终售价为2500元，即可列出对应方程。
【解析】
1. 计算第一次降价后的售价：原价为3200元，平均每月降价百分率为x，因此第一次降价后的售价为$3200(1-x)$元；
2. 计算第二次降价后的售价：第二次降价的基数是第一次降价后的价格，因此第二次降价后的售价为$3200(1-x) × (1-x) = 3200(1-x)^2$元；
3. 根据两次降价后售价为2500元，列等式得$3200(1-x)^2=2500$。
【答案】
$3200(1-x)^2=2500$
【知识点】
百分率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率问题的典型考法，属于基础应用题，解题核心是找准每次价格变动的基数，牢记平均变化率的计算公式，是考试中常见的得分题型。
【难度系数】
0.8
9. 关于$x$的方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$是一元二次方程，则（
A.$a＞0$
B.$a≠0$
C.$a=1$
D.$a≥0$
B
）A.$a＞0$
B.$a≠0$
C.$a=1$
D.$a≥0$
答案
9. B
解析
【分析】
要判断方程为一元二次方程的条件，首先回忆一元二次方程的定义：一元二次方程需要满足三个核心要求，一是只含一个未知数，二是未知数的最高次数为2，三是二次项系数不能为0。本题中方程已经满足前两个要求，只需保证二次项系数不为0即可，对照选项就能得出答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，其二次项系数不能为0。
在方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$中，二次项为$ax^2$，因此需满足二次项系数$a ≠ 0$，此时方程才是一元二次方程。
所以选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念，解题核心是掌握一元二次方程中二次项系数不为0的隐含限制条件，属于基础类题目，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要判断方程为一元二次方程的条件，首先回忆一元二次方程的定义：一元二次方程需要满足三个核心要求，一是只含一个未知数，二是未知数的最高次数为2，三是二次项系数不能为0。本题中方程已经满足前两个要求，只需保证二次项系数不为0即可，对照选项就能得出答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，其二次项系数不能为0。
在方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$中，二次项为$ax^2$，因此需满足二次项系数$a ≠ 0$，此时方程才是一元二次方程。
所以选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的基础概念，解题核心是掌握一元二次方程中二次项系数不为0的隐含限制条件，属于基础类题目，熟练掌握概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
10. 如果2是方程$x^2 - c = 0$的一个根，那么c的值是（
A.4
B.-4
C.2
D.-2
A
）A.4
B.-4
C.2
D.-2
答案
10. A
解析
【分析】
本题可根据方程根的定义求解，解题思路如下：首先明确方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的根x=2代入原方程，原方程就转化为关于参数c的一元一次方程，求解该一元一次方程即可得到c的值。
【解析】
解：
∵2是方程$x^2 - c = 0$的一个根，
∴把$x=2$代入方程，可得：
$2^2 - c = 0$
即$4 - c = 0$
解得$c=4$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方程的根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程根的定义的应用，解题关键是牢记“方程的根代入原方程可使等式成立”，代入后计算难度低，容易得分。
【难度系数】
0.9
本题可根据方程根的定义求解，解题思路如下：首先明确方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的根x=2代入原方程，原方程就转化为关于参数c的一元一次方程，求解该一元一次方程即可得到c的值。
【解析】
解：
∵2是方程$x^2 - c = 0$的一个根，
∴把$x=2$代入方程，可得：
$2^2 - c = 0$
即$4 - c = 0$
解得$c=4$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方程的根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查方程根的定义的应用，解题关键是牢记“方程的根代入原方程可使等式成立”，代入后计算难度低，容易得分。
【难度系数】
0.9
11. 一元二次方程$x^2 -5x=-8$的根的情况是（
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
D
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
答案
11. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断。解题时首先要将原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，确定$a、b、c$的取值，再代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的符号对应判断根的情况：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【解析】
首先将原方程移项化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 5x + 8 = 0$
由此可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=8$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×8 = 25 - 32 = -7$
因为$\Delta = -7 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是考查一元二次方程根的判别式应用的基础题型，解题的核心是先将方程化为一般形式，注意移项时要变号，准确确定各项系数后代入判别式计算即可判断根的情况，是一元二次方程章节必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断。解题时首先要将原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式，确定$a、b、c$的取值，再代入判别式公式计算$\Delta$的数值，最后根据$\Delta$的符号对应判断根的情况：$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta＜0$时，方程没有实数根。
【解析】
首先将原方程移项化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 5x + 8 = 0$
由此可得二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-5$，常数项$c=8$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×8 = 25 - 32 = -7$
因为$\Delta = -7 ＜ 0$，所以该一元二次方程没有实数根。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是考查一元二次方程根的判别式应用的基础题型，解题的核心是先将方程化为一般形式，注意移项时要变号，准确确定各项系数后代入判别式计算即可判断根的情况，是一元二次方程章节必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8
12. 用配方法解一元二次方程$x^2 - 2x -5=0$，下列配方正确的是（
A.$(x+1)^2=6$
B.$(x+1)^2=9$
C.$(x-1)^2=6$
D.$(x-1)^2=9$
C
）A.$(x+1)^2=6$
B.$(x+1)^2=9$
C.$(x-1)^2=6$
D.$(x-1)^2=9$
答案
12. C
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再根据完全平方公式的结构特征，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，最后对照选项选出正确答案即可，需要注意一次项系数的符号不要混淆。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 2x = 5$
2. 配方，一次项系数为$-2$，它的一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，给方程左右两边同时加1，得：$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$
3. 将左侧整理为完全平方式，得：$(x-1)^2=6$
因此配方正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，易错点是容易忽略一次项系数的符号，错将完全平方式的符号写反，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查配方法解一元二次方程的应用，解题思路如下：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再根据完全平方公式的结构特征，给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将等号左侧整理为完全平方式，最后对照选项选出正确答案即可，需要注意一次项系数的符号不要混淆。
【解析】
解：对原方程$x^2 - 2x -5=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 - 2x = 5$
2. 配方，一次项系数为$-2$，它的一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，给方程左右两边同时加1，得：$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$
3. 将左侧整理为完全平方式，得：$(x-1)^2=6$
因此配方正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，易错点是容易忽略一次项系数的符号，错将完全平方式的符号写反，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键。
【难度系数】
0.8
