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一、选择题
1. 多项式$-8x^2y^3z + 12xy^2z^3 - 24x^3yz^2$的公因式是（
A.$-xyz$
B.$-4x^3y^3z^3$
C.$-4xyz$
D.$-x^3y^3z^3$
1. 多项式$-8x^2y^3z + 12xy^2z^3 - 24x^3yz^2$的公因式是（
C
）A.$-xyz$
B.$-4x^3y^3z^3$
C.$-4xyz$
D.$-x^3y^3z^3$
答案
1.C
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，遵循三步思路：第一步确定公因式的系数：先找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项系数为负，公因式系数要带负号；第二步找各项中都包含的相同字母；第三步相同字母的指数取各项中的最低次，最后将系数部分与字母部分相乘，即可得到公因式。
【解析】
第一步：确定公因式的系数：多项式三项的系数分别为-8、12、-24，它们绝对值的最大公约数是4，由于首项系数为负，因此公因式的系数为-4；
第二步：找各项共有的字母：三个项中均含有x、y、z三个字母；
第三步：确定相同字母的最低次幂：x在三项中的次数依次为2、1、3，最低次为1；y在三项中的次数依次为3、2、1，最低次为1；z在三项中的次数依次为1、3、2，最低次为1，因此字母部分为xyz；
综上，公因式为-4×x×y×z=-4xyz，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 公因式的确定；2. 最大公约数计算；3. 单项式的次数判断
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，核心考查公因式的确定方法，解题时需注意首项为负时公因式通常取负号，避免因符号问题出错，熟练掌握确定步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，遵循三步思路：第一步确定公因式的系数：先找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项系数为负，公因式系数要带负号；第二步找各项中都包含的相同字母；第三步相同字母的指数取各项中的最低次，最后将系数部分与字母部分相乘，即可得到公因式。
【解析】
第一步：确定公因式的系数：多项式三项的系数分别为-8、12、-24，它们绝对值的最大公约数是4，由于首项系数为负，因此公因式的系数为-4；
第二步：找各项共有的字母：三个项中均含有x、y、z三个字母；
第三步：确定相同字母的最低次幂：x在三项中的次数依次为2、1、3，最低次为1；y在三项中的次数依次为3、2、1，最低次为1；z在三项中的次数依次为1、3、2，最低次为1，因此字母部分为xyz；
综上，公因式为-4×x×y×z=-4xyz，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 公因式的确定；2. 最大公约数计算；3. 单项式的次数判断
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，核心考查公因式的确定方法，解题时需注意首项为负时公因式通常取负号，避免因符号问题出错，熟练掌握确定步骤即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 把$2x(a-b)-4y(a-b)$分解因式,正确的是（
A.$2(a-b)(x+2y)$
B.$2(a-b)(x-2y)$
C.$(a-b)(2x+4y)$
D.$(a-b)(2x-4y)$
B
）A.$2(a-b)(x+2y)$
B.$2(a-b)(x-2y)$
C.$(a-b)(2x+4y)$
D.$(a-b)(2x-4y)$
答案
2.B
解析
【分析】
这是一道用提公因式法分解因式的基础题，解题思路如下：首先观察多项式特征，发现两项都含有公共因式，优先用提公因式法求解。第一步先确定公因式：先找系数的最大公约数，再找两项共有的整式因式；第二步提取公因式，将每一项除以公因式后的剩余部分放入括号，注意不要写错符号；最后检查分解是否彻底，括号内不能再含有公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对多项式$2x(a-b)-4y(a-b)$分解因式步骤如下：
1. 确定公因式：两项系数分别为2和-4，最大公约数是2；两项共有的整式因式为$(a-b)$，因此公因式为$2(a-b)$。
2. 提取公因式：
$\begin{aligned}2x(a-b)-4y(a-b)&=2(a-b)· x - 2(a-b)· 2y\\&=2(a-b)(x-2y)\end{aligned}$
3. 排查错误选项：C、D选项提取公因式不彻底，括号内仍有公因式2；A选项第二项符号错误，只有B符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题关键是准确识别公因式，提取公因式时注意符号的正确性，同时要保证因式分解的结果彻底，无剩余公因式。
【难度系数】
0.85
这是一道用提公因式法分解因式的基础题，解题思路如下：首先观察多项式特征，发现两项都含有公共因式，优先用提公因式法求解。第一步先确定公因式：先找系数的最大公约数，再找两项共有的整式因式；第二步提取公因式，将每一项除以公因式后的剩余部分放入括号，注意不要写错符号；最后检查分解是否彻底，括号内不能再含有公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对多项式$2x(a-b)-4y(a-b)$分解因式步骤如下：
1. 确定公因式：两项系数分别为2和-4，最大公约数是2；两项共有的整式因式为$(a-b)$，因此公因式为$2(a-b)$。
2. 提取公因式：
$\begin{aligned}2x(a-b)-4y(a-b)&=2(a-b)· x - 2(a-b)· 2y\\&=2(a-b)(x-2y)\end{aligned}$
3. 排查错误选项：C、D选项提取公因式不彻底，括号内仍有公因式2；A选项第二项符号错误，只有B符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，解题关键是准确识别公因式，提取公因式时注意符号的正确性，同时要保证因式分解的结果彻底，无剩余公因式。
【难度系数】
0.85
3. 下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是 （
A.$a^2 +1$
B.$a^2 +2a -1$
C.$a^2 -6a +9$
D.$a^2 +8a +64$
C
）A.$a^2 +1$
B.$a^2 +2a -1$
C.$a^2 -6a +9$
D.$a^2 +8a +64$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式因式分解，首先要明确完全平方式的结构特征：需为三项式，其中两项是两个数（或式子）的平方且符号为正，第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍，即符合$a^2\pm2ab+b^2$的形式。我们只需逐一验证每个选项是否符合该结构即可得出答案。
【解析】
完全平方公式因式分解的形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，据此逐一分析选项：
选项A：$a^2+1$是两项式，不满足完全平方式是三项式的要求，无法用完全平方公式因式分解；
选项B：$a^2+2a-1$的常数项为$-1$，不是符号为正的平方项，不符合完全平方式的结构，无法用完全平方公式因式分解；
选项C：$a^2-6a+9$中，$a^2$是$a$的平方，$9$是$3$的平方，中间项$-6a=-2× a×3$，符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(a-3)^2$，能用完全平方公式因式分解；
选项D：$a^2+8a+64$中，$a^2$是$a$的平方，$64$是$8$的平方，若符合完全平方式，中间项应为$\pm2× a×8=\pm16a$，但该项中间项为$8a$，不符合要求，无法用完全平方公式因式分解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式因式分解；完全平方式的特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对完全平方公式因式分解适用条件的理解，只要牢记完全平方式的三项结构特征，逐一排查选项就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用完全平方公式因式分解，首先要明确完全平方式的结构特征：需为三项式，其中两项是两个数（或式子）的平方且符号为正，第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍，即符合$a^2\pm2ab+b^2$的形式。我们只需逐一验证每个选项是否符合该结构即可得出答案。
【解析】
完全平方公式因式分解的形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，据此逐一分析选项：
选项A：$a^2+1$是两项式，不满足完全平方式是三项式的要求，无法用完全平方公式因式分解；
选项B：$a^2+2a-1$的常数项为$-1$，不是符号为正的平方项，不符合完全平方式的结构，无法用完全平方公式因式分解；
选项C：$a^2-6a+9$中，$a^2$是$a$的平方，$9$是$3$的平方，中间项$-6a=-2× a×3$，符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(a-3)^2$，能用完全平方公式因式分解；
选项D：$a^2+8a+64$中，$a^2$是$a$的平方，$64$是$8$的平方，若符合完全平方式，中间项应为$\pm2× a×8=\pm16a$，但该项中间项为$8a$，不符合要求，无法用完全平方公式因式分解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式因式分解；完全平方式的特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对完全平方公式因式分解适用条件的理解，只要牢记完全平方式的三项结构特征，逐一排查选项就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
4.将多项式$16m^2 +1$加上一个单项式,使所得多项式能进行因式分解,则此单项式不可能是 (
A.$-2$
B.$-15m^2$
C.$8m$
D.$-8m$
B
)A.$-2$
B.$-15m^2$
C.$8m$
D.$-8m$
答案
4.B
解析
【分析】
这道题要求判断哪个单项式加上$16m^2+1$后不能因式分解，我们可以用逐一验证法解题：将每个选项的单项式分别与原式相加，再结合七年级所学的提公因式法、平方差公式、完全平方公式，判断所得多项式能否因式分解，不能分解的就是正确选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
1. 验证选项A：$16m^2 +1 + (-2) = 16m^2 -1$，符合平方差公式结构，可因式分解为$(4m+1)(4m-1)$，可以分解，不符合题意。
2. 验证选项B：$16m^2 +1 + (-15m^2) = m^2 +1$，该式没有公因式，也不符合平方差公式（是两项和不是差）、完全平方公式的结构，在所学范围内无法因式分解，符合题意。
3. 验证选项C：$16m^2 +1 + 8m = 16m^2 +8m +1$，符合完全平方和公式结构，可因式分解为$(4m+1)^2$，可以分解，不符合题意。
4. 验证选项D：$16m^2 +1 + (-8m) = 16m^2 -8m +1$，符合完全平方差公式结构，可因式分解为$(4m-1)^2$，可以分解，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题核心考查因式分解的常用方法以及乘法公式的结构特征，只要熟练掌握公式的形式，逐一验证选项即可准确解题，是因式分解部分的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
这道题要求判断哪个单项式加上$16m^2+1$后不能因式分解，我们可以用逐一验证法解题：将每个选项的单项式分别与原式相加，再结合七年级所学的提公因式法、平方差公式、完全平方公式，判断所得多项式能否因式分解，不能分解的就是正确选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
1. 验证选项A：$16m^2 +1 + (-2) = 16m^2 -1$，符合平方差公式结构，可因式分解为$(4m+1)(4m-1)$，可以分解，不符合题意。
2. 验证选项B：$16m^2 +1 + (-15m^2) = m^2 +1$，该式没有公因式，也不符合平方差公式（是两项和不是差）、完全平方公式的结构，在所学范围内无法因式分解，符合题意。
3. 验证选项C：$16m^2 +1 + 8m = 16m^2 +8m +1$，符合完全平方和公式结构，可因式分解为$(4m+1)^2$，可以分解，不符合题意。
4. 验证选项D：$16m^2 +1 + (-8m) = 16m^2 -8m +1$，符合完全平方差公式结构，可因式分解为$(4m-1)^2$，可以分解，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题核心考查因式分解的常用方法以及乘法公式的结构特征，只要熟练掌握公式的形式，逐一验证选项即可准确解题，是因式分解部分的基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
5. 当$n$为自然数时，$(n+1)^2 - (n-3)^2$一定能（
A.被5整除
B.被6整除
C.被7整除
D.被8整除
D
）A.被5整除
B.被6整除
C.被7整除
D.被8整除
答案
5.D
解析
【分析】
本题可通过因式分解中的平方差公式对代数式进行化简，再判断化简结果的整除特征。首先观察代数式的结构：是两个整式的平方作差，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，因此先套用公式分解，再合并同类项化简，最后根据n是自然数的条件，判断结果是哪个数的整数倍即可。也可以通过代入特殊的自然数n计算验证，快速得出答案。
【解析】
方法一：利用平方差公式因式分解
将$(n+1)$看作公式中的$a$，$(n-3)$看作公式中的$b$，则：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - (n-3)^2&=[(n+1)+(n-3)][(n+1)-(n-3)]\\&=(n+1+n-3)(n+1-n+3)\\&=(2n-2)×4\\&=8(n-1)\end{aligned}$
因为n是自然数，所以$n-1$是整数，因此$8(n-1)$是8的整数倍，即原式一定能被8整除。
方法二：特殊值验证法
取自然数$n=0$，代入原式得：$(0+1)^2-(0-3)^2=1-9=-8$，-8能被8整除；
取$n=1$，代入得：$(1+1)^2-(1-3)^2=4-4=0$，0能被任意非零整数整除，符合要求；
取$n=2$，代入得：$3^2 - (-1)^2=9-1=8$，能被8整除，可验证结论正确。
【答案】
D
【知识点】
1.平方差公式 2.因式分解的应用
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键，既可以通过因式分解推导普遍结论，也可以用特殊值代入法快速解题，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
本题可通过因式分解中的平方差公式对代数式进行化简，再判断化简结果的整除特征。首先观察代数式的结构：是两个整式的平方作差，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的形式，因此先套用公式分解，再合并同类项化简，最后根据n是自然数的条件，判断结果是哪个数的整数倍即可。也可以通过代入特殊的自然数n计算验证，快速得出答案。
【解析】
方法一：利用平方差公式因式分解
将$(n+1)$看作公式中的$a$，$(n-3)$看作公式中的$b$，则：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - (n-3)^2&=[(n+1)+(n-3)][(n+1)-(n-3)]\\&=(n+1+n-3)(n+1-n+3)\\&=(2n-2)×4\\&=8(n-1)\end{aligned}$
因为n是自然数，所以$n-1$是整数，因此$8(n-1)$是8的整数倍，即原式一定能被8整除。
方法二：特殊值验证法
取自然数$n=0$，代入原式得：$(0+1)^2-(0-3)^2=1-9=-8$，-8能被8整除；
取$n=1$，代入得：$(1+1)^2-(1-3)^2=4-4=0$，0能被任意非零整数整除，符合要求；
取$n=2$，代入得：$3^2 - (-1)^2=9-1=8$，能被8整除，可验证结论正确。
【答案】
D
【知识点】
1.平方差公式 2.因式分解的应用
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键，既可以通过因式分解推导普遍结论，也可以用特殊值代入法快速解题，是因式分解的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
6.多项式$x^2 -1$与多项式$x^2 -2x +1$的公因式是
x-1
.答案
6.x-1
解析
【分析】
要确定两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别因式分解，再从分解后的结果中提取公共的因式即可。解题时先判断两个多项式的形式，分别选用对应的乘法公式完成因式分解，再找公共因式。
【解析】
1. 分解多项式$x^2 -1$：
该式符合平方差公式的形式，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x$，$b=1$，可得：
$x^2 -1=(x+1)(x-1)$
2. 分解多项式$x^2 -2x +1$：
该式符合完全平方差公式的形式，根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=x$，$b=1$，可得：
$x^2 -2x +1=(x-1)^2=(x-1)(x-1)$
3. 对比两个分解后的结果，公共的因式为$x-1$，即两个多项式的公因式是$x-1$。
【答案】
$x-1$
【知识点】
公因式的确定，因式分解，乘法公式应用
【点评】
本题是因式分解模块的基础题，主要考查对平方差、完全平方公式的掌握程度以及公因式的识别能力，熟练掌握因式分解的常用公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要确定两个多项式的公因式，需先将两个多项式分别因式分解，再从分解后的结果中提取公共的因式即可。解题时先判断两个多项式的形式，分别选用对应的乘法公式完成因式分解，再找公共因式。
【解析】
1. 分解多项式$x^2 -1$：
该式符合平方差公式的形式，根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x$，$b=1$，可得：
$x^2 -1=(x+1)(x-1)$
2. 分解多项式$x^2 -2x +1$：
该式符合完全平方差公式的形式，根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=x$，$b=1$，可得：
$x^2 -2x +1=(x-1)^2=(x-1)(x-1)$
3. 对比两个分解后的结果，公共的因式为$x-1$，即两个多项式的公因式是$x-1$。
【答案】
$x-1$
【知识点】
公因式的确定，因式分解，乘法公式应用
【点评】
本题是因式分解模块的基础题，主要考查对平方差、完全平方公式的掌握程度以及公因式的识别能力，熟练掌握因式分解的常用公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7.一个长方形的长和宽分别为$a,b$,若周长为12,面积为5,则$ab^3 + 2a^2b^2 + a^3b$的值为
180
.答案
7.180
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，直接求解a、b的值步骤繁琐，因此优先考虑对代数式因式分解，将其转化为含有a+b和ab的形式；再根据长方形周长和面积公式求出a+b与ab的值，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：根据已知条件求a+b和ab的值
已知长方形周长为12，由长方形周长公式可得：$2(a+b)=12$，解得$a+b=6$；
已知长方形面积为5，由长方形面积公式可得：$ab=5$。
第二步：对所求代数式因式分解
$\begin{aligned}ab^3 + 2a^2b^2 + a^3b&=ab(b^2 + 2ab + a^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a+b)^2 \quad \mathrm{（逆用完全平方公式）}\end{aligned}$
第三步：整体代入求值
将$a+b=6$，$ab=5$代入得：
原式$=5×6^2=5×36=180$
【答案】
180
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，无需计算a、b的具体取值，通过整体代入的方法可简化计算过程，能有效考查对因式分解方法的掌握和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察所求代数式的结构，直接求解a、b的值步骤繁琐，因此优先考虑对代数式因式分解，将其转化为含有a+b和ab的形式；再根据长方形周长和面积公式求出a+b与ab的值，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：根据已知条件求a+b和ab的值
已知长方形周长为12，由长方形周长公式可得：$2(a+b)=12$，解得$a+b=6$；
已知长方形面积为5，由长方形面积公式可得：$ab=5$。
第二步：对所求代数式因式分解
$\begin{aligned}ab^3 + 2a^2b^2 + a^3b&=ab(b^2 + 2ab + a^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a+b)^2 \quad \mathrm{（逆用完全平方公式）}\end{aligned}$
第三步：整体代入求值
将$a+b=6$，$ab=5$代入得：
原式$=5×6^2=5×36=180$
【答案】
180
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，无需计算a、b的具体取值，通过整体代入的方法可简化计算过程，能有效考查对因式分解方法的掌握和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 已知正方形的面积是$9x^2 + y^2 -6xy(x＞y＞0)$，利用因式分解可知该正方形的边长为
(用含$x,y$的代数式表示)
3x-y
.(用含$x,y$的代数式表示)
答案
8.3x-y
解析
【分析】
要确定正方形的边长，首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长²，因此边长是面积的算术平方根。接下来需要将给出的面积多项式因式分解，观察多项式的结构，符合完全平方差公式的形式，分解为完全平方式后，结合x＞y＞0的条件，取正的平方根即为边长。
【解析】
解：已知正方形的面积为$9x^2 + y^2 -6xy$，根据正方形面积=边长²，先对面积多项式因式分解：
调整多项式各项顺序得：$9x^2 -6xy + y^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=3x$，$b=y$，代入得：
$9x^2 -6xy + y^2=(3x)^2 - 2×3x× y + y^2=(3x - y)^2$
已知$x＞y＞0$，因此$3x - y＞0$，正方形边长为正数，所以边长为$\sqrt{(3x-y)^2}=3x - y$。
【答案】
$3x-y$
【知识点】
完全平方公式因式分解，正方形面积公式，算术平方根的性质
【点评】
本题将因式分解与几何图形性质结合考查，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，同时要注意结合题目给出的取值范围确定结果的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要确定正方形的边长，首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长²，因此边长是面积的算术平方根。接下来需要将给出的面积多项式因式分解，观察多项式的结构，符合完全平方差公式的形式，分解为完全平方式后，结合x＞y＞0的条件，取正的平方根即为边长。
【解析】
解：已知正方形的面积为$9x^2 + y^2 -6xy$，根据正方形面积=边长²，先对面积多项式因式分解：
调整多项式各项顺序得：$9x^2 -6xy + y^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，此处$a=3x$，$b=y$，代入得：
$9x^2 -6xy + y^2=(3x)^2 - 2×3x× y + y^2=(3x - y)^2$
已知$x＞y＞0$，因此$3x - y＞0$，正方形边长为正数，所以边长为$\sqrt{(3x-y)^2}=3x - y$。
【答案】
$3x-y$
【知识点】
完全平方公式因式分解，正方形面积公式，算术平方根的性质
【点评】
本题将因式分解与几何图形性质结合考查，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，同时要注意结合题目给出的取值范围确定结果的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
9.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“完美小西数”,如:$4 = 2^2 - 0^2,12 = 4^2 - 2^2,20 = 6^2 - 4^2$,因此4,12,20这三个数都是“完美小西数”.
(1)完美小西数中最大的两位数是
(2)介于50到101之间的所有“完美小西数”之和为
(1)完美小西数中最大的两位数是
92
;(2)介于50到101之间的所有“完美小西数”之和为
532
.答案
9.(1)92 (2)532
解析
【分析】
首先根据“完美小西数”的定义，设两个连续偶数分别为$2k$和$2k+2$（$k$为非负整数），利用平方差公式因式分解推导完美小西数的通用表达式，总结这类数的特征：完美小西数是4与正奇数的乘积。再根据特征求解两个问题：第一问找小于100的最大的符合特征的两位数；第二问先筛选出50到101之间所有符合特征的数，再求和即可。
【解析】
先推导完美小西数的一般形式：
设较小的连续偶数为$2k$（$k$为非负整数），则较大的连续偶数为$2k+2$。
根据定义可得：
$\begin{aligned}\mathrm{完美小西数}&=(2k+2)^2 - (2k)^2\\&=(2k+2-2k)(2k+2+2k)\\&=2×(4k+2)\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
即完美小西数是4的倍数，且除以4的结果为正奇数。
(1) 求最大的两位数完美小西数：
最大的两位数是99，$99÷4=24.75$，小于24.75的最大奇数是23，对应完美小西数为$4×23=92$；下一个奇数25对应的数为$4×25=100$，是三位数，不符合要求，因此最大的两位数完美小西数为92。
(2) 求介于50到101之间的所有完美小西数之和：
先确定符合要求的奇数范围：$50÷4=12.5$，$100÷4=25$，因此符合条件的正奇数为13、15、17、19、21、23、25。
对应的完美小西数分别为：$4×13=52$，$4×15=60$，$4×17=68$，$4×19=76$，$4×21=84$，$4×23=92$，$4×25=100$。
求和：$52+60+68+76+84+92+100=532$。
【答案】
(1)$92$；(2)$532$
【知识点】
平方差公式，因式分解应用，新定义运算
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是结合因式分解推导新定义数的通用特征，再根据特征筛选计算，能有效考查对平方差公式的灵活运用能力和信息提取能力。
【难度系数】
0.7
首先根据“完美小西数”的定义，设两个连续偶数分别为$2k$和$2k+2$（$k$为非负整数），利用平方差公式因式分解推导完美小西数的通用表达式，总结这类数的特征：完美小西数是4与正奇数的乘积。再根据特征求解两个问题：第一问找小于100的最大的符合特征的两位数；第二问先筛选出50到101之间所有符合特征的数，再求和即可。
【解析】
先推导完美小西数的一般形式：
设较小的连续偶数为$2k$（$k$为非负整数），则较大的连续偶数为$2k+2$。
根据定义可得：
$\begin{aligned}\mathrm{完美小西数}&=(2k+2)^2 - (2k)^2\\&=(2k+2-2k)(2k+2+2k)\\&=2×(4k+2)\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
即完美小西数是4的倍数，且除以4的结果为正奇数。
(1) 求最大的两位数完美小西数：
最大的两位数是99，$99÷4=24.75$，小于24.75的最大奇数是23，对应完美小西数为$4×23=92$；下一个奇数25对应的数为$4×25=100$，是三位数，不符合要求，因此最大的两位数完美小西数为92。
(2) 求介于50到101之间的所有完美小西数之和：
先确定符合要求的奇数范围：$50÷4=12.5$，$100÷4=25$，因此符合条件的正奇数为13、15、17、19、21、23、25。
对应的完美小西数分别为：$4×13=52$，$4×15=60$，$4×17=68$，$4×19=76$，$4×21=84$，$4×23=92$，$4×25=100$。
求和：$52+60+68+76+84+92+100=532$。
【答案】
(1)$92$；(2)$532$
【知识点】
平方差公式，因式分解应用，新定义运算
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是结合因式分解推导新定义数的通用特征，再根据特征筛选计算，能有效考查对平方差公式的灵活运用能力和信息提取能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10. 把下列各式分解因式:
(1)$2a^3 - 2a$;
(2)$(x^2 + 4)^2 - 16x^2$.
10. 把下列各式分解因式:
(1)$2a^3 - 2a$;
(2)$(x^2 + 4)^2 - 16x^2$.
答案
解:(1)原式$=2a(a^2 - 1) = 2a(a + 1)(a - 1)$.
(2)原式$=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) = (x + 2)^2(x - 2)^2$.
(2)原式$=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) = (x + 2)^2(x - 2)^2$.
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先找多项式的公因式提取，第二步判断剩余部分是否符合乘法公式的结构并套用公式，第三步检查是否分解到不能再分解为止。
(1)小题：先观察到多项式有公因式2a，先提取公因式，提取后剩余的$a^2-1$符合平方差公式的形式，继续用平方差公式分解即可。
(2)小题：原式是$(x^2+4)^2$和$(4x)^2$的差，符合平方差公式结构，先套用平方差公式分解，分解后得到的两个多项式刚好都符合完全平方公式的形式，再分别套用完全平方公式继续分解到最简即可。
【解析】
(1)先提取公因式，再利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=2a(a^2 - 1)\\&=2a(a + 1)(a - 1)\end{aligned}$
(2)先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 + 4)^2 - (4x)^2\\&=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x)\\&=(x + 2)^2(x - 2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$2a(a + 1)(a - 1)$；(2)$(x + 2)^2(x - 2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的常规解法，解题时要注意严格遵循因式分解的步骤，避免出现漏提取公因式、分解不彻底、错用公式的问题。
【难度系数】
0.7
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先找多项式的公因式提取，第二步判断剩余部分是否符合乘法公式的结构并套用公式，第三步检查是否分解到不能再分解为止。
(1)小题：先观察到多项式有公因式2a，先提取公因式，提取后剩余的$a^2-1$符合平方差公式的形式，继续用平方差公式分解即可。
(2)小题：原式是$(x^2+4)^2$和$(4x)^2$的差，符合平方差公式结构，先套用平方差公式分解，分解后得到的两个多项式刚好都符合完全平方公式的形式，再分别套用完全平方公式继续分解到最简即可。
【解析】
(1)先提取公因式，再利用平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=2a(a^2 - 1)\\&=2a(a + 1)(a - 1)\end{aligned}$
(2)先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=(x^2 + 4)^2 - (4x)^2\\&=(x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x)\\&=(x + 2)^2(x - 2)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$2a(a + 1)(a - 1)$；(2)$(x + 2)^2(x - 2)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的常规解法，解题时要注意严格遵循因式分解的步骤，避免出现漏提取公因式、分解不彻底、错用公式的问题。
【难度系数】
0.7
