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三、解答题
10. 计算:
(1) $-1^{2025} + (π - 3)^0 + (\frac{1}{3})^{-1}$；
(2) $x^3 · x^5 - (2x^4)^2 + x^{10} ÷ x^2$.
10. 计算:
(1) $-1^{2025} + (π - 3)^0 + (\frac{1}{3})^{-1}$；
(2) $x^3 · x^5 - (2x^4)^2 + x^{10} ÷ x^2$.
答案
10. (1)3
(2) $-2x^8$
(2) $-2x^8$
解析
【分析】
(1) 计算第一问时需分步化简每一项再求和：首先判断乘方符号，2025是奇数，故$-1^{2025}=-1$；再根据零指数幂规则，非零数的0次幂为1，可得$(π-3)^0=1$；最后根据负整数指数幂规则，$(\frac{1}{3})^{-1}$等于$\frac{1}{3}$的倒数即3，将三项结果相加即可。
(2) 计算第二问时遵循先乘方、乘除，后加减的整式运算顺序：分别根据同底数幂乘、除法则，积的乘方法则化简每一项，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 原式$=-1 + 1 + 3$
$=3$
(2) 原式$=x^{3+5} - 2^2·(x^4)^2 + x^{10-2}$
$=x^8 - 4x^8 + x^8$
$=-2x^8$
【答案】
(1)3；(2)$-2x^8$
【知识点】
幂的运算，零指数与负指数幂，整式混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查幂相关运算法则的掌握情况，计算时需注意$-1$的奇次幂符号、积的乘方中系数也要同时乘方，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 计算第一问时需分步化简每一项再求和：首先判断乘方符号，2025是奇数，故$-1^{2025}=-1$；再根据零指数幂规则，非零数的0次幂为1，可得$(π-3)^0=1$；最后根据负整数指数幂规则，$(\frac{1}{3})^{-1}$等于$\frac{1}{3}$的倒数即3，将三项结果相加即可。
(2) 计算第二问时遵循先乘方、乘除，后加减的整式运算顺序：分别根据同底数幂乘、除法则，积的乘方法则化简每一项，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 原式$=-1 + 1 + 3$
$=3$
(2) 原式$=x^{3+5} - 2^2·(x^4)^2 + x^{10-2}$
$=x^8 - 4x^8 + x^8$
$=-2x^8$
【答案】
(1)3；(2)$-2x^8$
【知识点】
幂的运算，零指数与负指数幂，整式混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查幂相关运算法则的掌握情况，计算时需注意$-1$的奇次幂符号、积的乘方中系数也要同时乘方，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
11. 先化简,再求值:
$(x+y)^2 + x(x-2y)$,其中$x=1,y=-2$.
$(x+y)^2 + x(x-2y)$,其中$x=1,y=-2$.
答案
11. 解:原式 = $x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy = 2x^2 + y^2$,当 x = 1,y = -2 时,原式 = $2 × 1^2 + ( - 2)^2 = 6$.
解析
【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，首先分别利用完全平方公式展开$(x+y)^2$，利用单项式乘多项式的运算法则计算$x(x-2y)$，再将展开后的式子合并同类项，得到最简整式；第二步将已知的$x$、$y$的值代入最简整式中计算最终结果，先化简再求值可以减少计算量，降低出错概率。
【解析】
第一步：展开并化简原式
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$；
根据单项式乘多项式法则，可得$x(x-2y)=x^2-2xy$；
因此原式$=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy$，合并同类项后$2xy$与$-2xy$抵消，化简结果为$2x^2+y^2$。
第二步：代值计算
将$x=1$，$y=-2$代入$2x^2+y^2$中：
原式$=2×1^2 + (-2)^2 = 2×1 +4=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式、单项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察整式乘法相关法则与合并同类项的掌握情况，运算时需注意展开时不要漏项，代值计算负数的乘方时要注意符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先化简整式，首先分别利用完全平方公式展开$(x+y)^2$，利用单项式乘多项式的运算法则计算$x(x-2y)$，再将展开后的式子合并同类项，得到最简整式；第二步将已知的$x$、$y$的值代入最简整式中计算最终结果，先化简再求值可以减少计算量，降低出错概率。
【解析】
第一步：展开并化简原式
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$；
根据单项式乘多项式法则，可得$x(x-2y)=x^2-2xy$；
因此原式$=x^2+2xy+y^2+x^2-2xy$，合并同类项后$2xy$与$-2xy$抵消，化简结果为$2x^2+y^2$。
第二步：代值计算
将$x=1$，$y=-2$代入$2x^2+y^2$中：
原式$=2×1^2 + (-2)^2 = 2×1 +4=2+4=6$。
【答案】
6
【知识点】
完全平方公式、单项式乘多项式、整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察整式乘法相关法则与合并同类项的掌握情况，运算时需注意展开时不要漏项，代值计算负数的乘方时要注意符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
12. 图1是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是
(2)观察图2,用一个等式表示下列三个整式:$(a+b)^2$、$(a-b)^2$、$ab$之间的等量关系.
(3)根据(2)中的等量关系,解决如下问题:若$m+n=8,mn=12$,求$m-n$的值.
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是
$a - b$
. (用含a、b的式子表示)(2)观察图2,用一个等式表示下列三个整式:$(a+b)^2$、$(a-b)^2$、$ab$之间的等量关系.
(3)根据(2)中的等量关系,解决如下问题:若$m+n=8,mn=12$,求$m-n$的值.
答案
12. 解:(1) $a - b$
(2)图2 整体是边长为 $a + b$ 的正方形,因此面积为 $(a + b)^2$,图2 各个部分的面积和为 $(a - b)^2 + 4ab$,
$\therefore (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$.
(3)$\because m + n = 8,mn = 12,\therefore (m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn = 64 - 48 = 16,\therefore m - n = \pm 4$.
(2)图2 整体是边长为 $a + b$ 的正方形,因此面积为 $(a + b)^2$,图2 各个部分的面积和为 $(a - b)^2 + 4ab$,
$\therefore (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$.
(3)$\because m + n = 8,mn = 12,\therefore (m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn = 64 - 48 = 16,\therefore m - n = \pm 4$.
解析
【分析】
(1) 观察图2的结构，阴影正方形的边长等于小长方形的长减去宽，小长方形长为a、宽为b，直接作差即可得到边长。
(2) 用两种方法计算图2的面积：一是整体计算，边长为(a+b)的正方形面积为$(a+b)^2$；二是分部分计算，阴影正方形面积加上4个小长方形的面积，二者相等即可推导出三个整式的等量关系。
(3) 直接套用第(2)问得到的恒等式，将已知的m+n和mn的值代入，先求出$(m-n)^2$的值，再开平方得到m-n的结果，注意平方为正数的数有正负两个值，不要漏解。
【解析】
(1) 图2中小长方形的长为a，宽为b，阴影正方形的边长 = 小长方形的长 - 小长方形的宽 = $a-b$。
(2) 图2整体是边长为$a+b$的正方形，因此整体面积为$(a+b)^2$；
分部分计算总面积：阴影正方形的面积为$(a-b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此总面积也可表示为$(a-b)^2+4ab$。
同一个图形的面积相等，因此得到等量关系：$\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$。
(3) 根据(2)的结论变形可得：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，
将$m+n=8$，$mn=12$代入上式：
$(m-n)^2=8^2-4×12=64-48=16$，
因此$m-n=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
【答案】
(1) $a-b$
(2) $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(3) $\pm4$
【知识点】
完全平方公式，数形结合推导恒等式，代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的推导和变形应用，通过面积法帮助理解公式的来源，再灵活运用公式解决代数求值问题，能有效强化对完全平方公式变形的掌握，培养数形结合的思维。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图2的结构，阴影正方形的边长等于小长方形的长减去宽，小长方形长为a、宽为b，直接作差即可得到边长。
(2) 用两种方法计算图2的面积：一是整体计算，边长为(a+b)的正方形面积为$(a+b)^2$；二是分部分计算，阴影正方形面积加上4个小长方形的面积，二者相等即可推导出三个整式的等量关系。
(3) 直接套用第(2)问得到的恒等式，将已知的m+n和mn的值代入，先求出$(m-n)^2$的值，再开平方得到m-n的结果，注意平方为正数的数有正负两个值，不要漏解。
【解析】
(1) 图2中小长方形的长为a，宽为b，阴影正方形的边长 = 小长方形的长 - 小长方形的宽 = $a-b$。
(2) 图2整体是边长为$a+b$的正方形，因此整体面积为$(a+b)^2$；
分部分计算总面积：阴影正方形的面积为$(a-b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此总面积也可表示为$(a-b)^2+4ab$。
同一个图形的面积相等，因此得到等量关系：$\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$。
(3) 根据(2)的结论变形可得：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，
将$m+n=8$，$mn=12$代入上式：
$(m-n)^2=8^2-4×12=64-48=16$，
因此$m-n=\pm\sqrt{16}=\pm4$。
【答案】
(1) $a-b$
(2) $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(3) $\pm4$
【知识点】
完全平方公式，数形结合推导恒等式，代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查完全平方公式的推导和变形应用，通过面积法帮助理解公式的来源，再灵活运用公式解决代数求值问题，能有效强化对完全平方公式变形的掌握，培养数形结合的思维。
【难度系数】
0.7
