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11. 利用因式分解的方法进行简便计算：
(1) $89 × \frac{1}{8} - 25 × 0.125$；
(2) $102^2 + 102 × 196 + 98^2$。
(1) $89 × \frac{1}{8} - 25 × 0.125$；
(2) $102^2 + 102 × 196 + 98^2$。
答案
解:(1)原式$= 89 × \frac{1}{8} - 25 × \frac{1}{8} = (89 - 25) × \frac{1}{8} = 64 × \frac{1}{8} = 8$.
(2)原式$= 102^2 + 2 × 102 × 98 + 98^2 = (102 + 98)^2 = 200^2 = 40\ 000$.
(2)原式$= 102^2 + 2 × 102 × 98 + 98^2 = (102 + 98)^2 = 200^2 = 40\ 000$.
解析
【分析】
(1) 观察式子可发现0.125和$\frac{1}{8}$数值相等，两个乘法项都含有相同因数$\frac{1}{8}$，因此可先提取公因式$\frac{1}{8}$，再计算剩余部分的差，最后算乘法，避免分别计算乘法再做减法的复杂运算，简化计算过程。
(2) 观察式子可发现196可拆分为$2×98$，此时式子结构符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2$的特征，其中$a$对应102，$b$对应98，因此可以利用完全平方公式将式子转化为$(a+b)^2$的形式再计算，大幅降低计算难度。
【解析】
(1) 先统一因数形式，将$0.125$转化为$\frac{1}{8}$：
原式$= 89 × \frac{1}{8} - 25 × \frac{1}{8}$
提取公因式$\frac{1}{8}$得：
$= (89 - 25) × \frac{1}{8}$
计算括号内的减法：
$= 64 × \frac{1}{8}$
计算得结果：
$= 8$
(2) 先拆分中间项的系数$196=2×98$：
原式$= 102^2 + 2 × 102 × 98 + 98^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$= (102 + 98)^2$
计算括号内的加法：
$= 200^2$
计算得结果：
$= 40000$
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{40000}$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解在简便计算中的典型应用，解题核心是先观察式子的结构特征，匹配对应的因式分解方法，将复杂的四则运算转化为更简单的运算，可有效减少计算量、降低出错率。
【难度系数】
0.8
(1) 观察式子可发现0.125和$\frac{1}{8}$数值相等，两个乘法项都含有相同因数$\frac{1}{8}$，因此可先提取公因式$\frac{1}{8}$，再计算剩余部分的差，最后算乘法，避免分别计算乘法再做减法的复杂运算，简化计算过程。
(2) 观察式子可发现196可拆分为$2×98$，此时式子结构符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2$的特征，其中$a$对应102，$b$对应98，因此可以利用完全平方公式将式子转化为$(a+b)^2$的形式再计算，大幅降低计算难度。
【解析】
(1) 先统一因数形式，将$0.125$转化为$\frac{1}{8}$：
原式$= 89 × \frac{1}{8} - 25 × \frac{1}{8}$
提取公因式$\frac{1}{8}$得：
$= (89 - 25) × \frac{1}{8}$
计算括号内的减法：
$= 64 × \frac{1}{8}$
计算得结果：
$= 8$
(2) 先拆分中间项的系数$196=2×98$：
原式$= 102^2 + 2 × 102 × 98 + 98^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，可得：
$= (102 + 98)^2$
计算括号内的加法：
$= 200^2$
计算得结果：
$= 40000$
【答案】
(1) $\boxed{8}$；(2) $\boxed{40000}$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，因式分解简便运算
【点评】
本题是因式分解在简便计算中的典型应用，解题核心是先观察式子的结构特征，匹配对应的因式分解方法，将复杂的四则运算转化为更简单的运算，可有效减少计算量、降低出错率。
【难度系数】
0.8
12. 已知 $ x + y = 1 $，$ xy = -\dfrac{1}{2} $，利用因式分解的方法求 $ x(x + y)(x - y) - x(x + y)^2 $ 的值.
答案
解:原式$= x(x + y)(x - y - x - y) = x(x + y)(-2y) = -2xy(x + y)$.当$x + y = 1$,$xy = -\frac{1}{2}$时,原式$= -2 × (-\frac{1}{2}) × 1 = 1$.
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式$x(x+y)$，因此先使用提公因式法对代数式进行因式分解，将其化简为仅包含已知条件$x+y$和$xy$的形式，再整体代入数值计算，无需单独求解$x$、$y$的值，可简化计算过程。
【解析】
先对原式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x(x + y)(x - y) - x(x + y)^2\\&=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]\\&=x(x+y)(x-y-x-y)\\&=x(x+y)(-2y)\\&=-2xy(x+y)\end{aligned}$
再将$x + y = 1$，$xy = -\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=-2×(-\dfrac{1}{2})×1=1$
【答案】
$1$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式整体求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过提取公因式化简原式，运用整体代入思想规避求解单个未知数的繁琐，解题时要注意提取公因式后剩余项的符号处理，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式$x(x+y)$，因此先使用提公因式法对代数式进行因式分解，将其化简为仅包含已知条件$x+y$和$xy$的形式，再整体代入数值计算，无需单独求解$x$、$y$的值，可简化计算过程。
【解析】
先对原式因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x(x + y)(x - y) - x(x + y)^2\\&=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]\\&=x(x+y)(x-y-x-y)\\&=x(x+y)(-2y)\\&=-2xy(x+y)\end{aligned}$
再将$x + y = 1$，$xy = -\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=-2×(-\dfrac{1}{2})×1=1$
【答案】
$1$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式整体求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是通过提取公因式化简原式，运用整体代入思想规避求解单个未知数的繁琐，解题时要注意提取公因式后剩余项的符号处理，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
13. 如图,一个圆环的外圆半径为R,内圆半径为r,面积为S.
(1)写出圆环面积的计算公式;
(2)当$R=15.25\ \mathrm{cm},r=5.25\ \mathrm{cm}$时,请你利用因式分解的方法求圆环的面积.(结果保留π)
(1)写出圆环面积的计算公式;
(2)当$R=15.25\ \mathrm{cm},r=5.25\ \mathrm{cm}$时,请你利用因式分解的方法求圆环的面积.(结果保留π)
答案
解:(1)$S = S_{大圆} - S_{小圆} = π R^2 - π r^2 = π(R^2 - r^2)$.
(2)$S = π(R^2 - r^2) = π(R + r)(R - r) = π × (15.25 + 5.25) × (15.25 - 5.25) = 205π(\mathrm{cm}^2)$.
(2)$S = π(R^2 - r^2) = π(R + r)(R - r) = π × (15.25 + 5.25) × (15.25 - 5.25) = 205π(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
(1) 求解圆环面积首先要明确：圆环是外圆减去中间内圆得到的图形，因此面积等于外圆面积减内圆面积，结合圆的面积公式$S=π R^2$即可推导出圆环的面积公式。
(2) 第二问要求用因式分解求解，观察第一问得到的公式中的$R^2-r^2$，符合平方差公式的结构特征，用平方差公式分解为$(R+r)(R-r)$后再代入数值计算，能避免计算较大的平方数，大幅简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
(1) 已知外圆半径为$R$，内圆半径为$r$，外圆面积为$π R^2$，内圆面积为$π r^2$，因此圆环面积：
$S = S_{\mathrm{外圆}} - S_{\mathrm{内圆}} = π R^2 - π r^2 = π(R^2 - r^2)$
(2) 利用平方差公式对$R^2 - r^2$因式分解，可得$R^2 - r^2=(R+r)(R-r)$，因此圆环面积公式可变形为$S=π(R+r)(R-r)$。
将$R=15.25\ \mathrm{cm},r=5.25\ \mathrm{cm}$代入变形后的公式：
$S=π×(15.25+5.25)×(15.25-5.25)=π×20.5×10=205π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $S=π(R^2 - r^2)$
(2) $205π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算、平方差因式分解、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形的面积计算，考查了因式分解的实际应用，通过平方差公式分解代数式，可以有效简化求值运算、降低计算量，是因式分解用于简化计算的典型题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解圆环面积首先要明确：圆环是外圆减去中间内圆得到的图形，因此面积等于外圆面积减内圆面积，结合圆的面积公式$S=π R^2$即可推导出圆环的面积公式。
(2) 第二问要求用因式分解求解，观察第一问得到的公式中的$R^2-r^2$，符合平方差公式的结构特征，用平方差公式分解为$(R+r)(R-r)$后再代入数值计算，能避免计算较大的平方数，大幅简化计算过程，降低出错概率。
【解析】
(1) 已知外圆半径为$R$，内圆半径为$r$，外圆面积为$π R^2$，内圆面积为$π r^2$，因此圆环面积：
$S = S_{\mathrm{外圆}} - S_{\mathrm{内圆}} = π R^2 - π r^2 = π(R^2 - r^2)$
(2) 利用平方差公式对$R^2 - r^2$因式分解，可得$R^2 - r^2=(R+r)(R-r)$，因此圆环面积公式可变形为$S=π(R+r)(R-r)$。
将$R=15.25\ \mathrm{cm},r=5.25\ \mathrm{cm}$代入变形后的公式：
$S=π×(15.25+5.25)×(15.25-5.25)=π×20.5×10=205π(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $S=π(R^2 - r^2)$
(2) $205π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算、平方差因式分解、代数式求值
【点评】
本题结合几何图形的面积计算，考查了因式分解的实际应用，通过平方差公式分解代数式，可以有效简化求值运算、降低计算量，是因式分解用于简化计算的典型题型。
【难度系数】
0.8
