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15. 求不等式 $ x + 5 - \frac{x - 1}{3} ＞ \frac{2x + 3}{2} + \frac{x}{3} - 1 $ 的非负整数解.
答案
15.解:原不等式可化为:
$6(x + 5) - 2(x - 1) ＞ 3(2x + 3) + 2x - 6$. 整理得$4x ＜ 29$.
$\therefore x ＜ \frac{29}{4}. \because x$为非负整数,$\therefore x = 0,1,2,3,4,5,6,7$.
$6(x + 5) - 2(x - 1) ＞ 3(2x + 3) + 2x - 6$. 整理得$4x ＜ 29$.
$\therefore x ＜ \frac{29}{4}. \because x$为非负整数,$\therefore x = 0,1,2,3,4,5,6,7$.
解析
【分析】
要解该不等式并求非负整数解，按照一元一次不等式的标准求解步骤思考即可：首先观察不等式含有分母，先找分母2和3的最小公倍数6，给不等式每一项都乘6去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；再去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号；接着移项、合并同类项，将不等式化为$ax＞b$或$ax＜b$的形式；系数化为1时，若两边同时除以负数要注意改变不等号方向；最后在所得解集中筛选出所有非负整数（即大于等于0的整数）。
【解析】
解：给原不等式两边同时乘6，得：
$6(x + 5) - 2(x - 1) ＞ 3(2x + 3) + 2x - 6$
去括号，得：
$6x + 30 - 2x + 2 ＞ 6x + 9 + 2x - 6$
合并同类项，得：
$4x + 32 ＞ 8x + 3$
移项合并，得：
$4x ＜ 29$
系数化为1，得：
$x ＜ \frac{29}{4}$
∵x为非负整数，
∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7。
【答案】
0,1,2,3,4,5,6,7
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的整数解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的求解及整数解的确定，易错点为去分母时漏乘常数项、系数化为1时忘记改变不等号方向、找非负整数解时遗漏0，解题时需注意规避这些错误。
【难度系数】
0.7
要解该不等式并求非负整数解，按照一元一次不等式的标准求解步骤思考即可：首先观察不等式含有分母，先找分母2和3的最小公倍数6，给不等式每一项都乘6去分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；再去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号；接着移项、合并同类项，将不等式化为$ax＞b$或$ax＜b$的形式；系数化为1时，若两边同时除以负数要注意改变不等号方向；最后在所得解集中筛选出所有非负整数（即大于等于0的整数）。
【解析】
解：给原不等式两边同时乘6，得：
$6(x + 5) - 2(x - 1) ＞ 3(2x + 3) + 2x - 6$
去括号，得：
$6x + 30 - 2x + 2 ＞ 6x + 9 + 2x - 6$
合并同类项，得：
$4x + 32 ＞ 8x + 3$
移项合并，得：
$4x ＜ 29$
系数化为1，得：
$x ＜ \frac{29}{4}$
∵x为非负整数，
∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7。
【答案】
0,1,2,3,4,5,6,7
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式的整数解
【点评】
本题重点考查一元一次不等式的求解及整数解的确定，易错点为去分母时漏乘常数项、系数化为1时忘记改变不等号方向、找非负整数解时遗漏0，解题时需注意规避这些错误。
【难度系数】
0.7
16. 为丰富学生课余生活，学校准备购买象棋和围棋共120副，已知象棋每副25元，围棋每副30元，围棋的数量不少于象棋数量的2倍，且总费用不超过3 500元.设购买围棋m副，列出关于m的不等式组并求出m的取值范围.
答案
16.解:因为购买围棋m副,所以购买象棋$(120 - m)$副,
根据题意得,$\begin{cases} m≥2(120 - m), \\ 30m + 25(120 - m) ≤ 3\ 500, \end{cases}$ 解得$80 ≤ m≤100$.
答:m的取值范围为$80 ≤ m ≤ 100$.
根据题意得,$\begin{cases} m≥2(120 - m), \\ 30m + 25(120 - m) ≤ 3\ 500, \end{cases}$ 解得$80 ≤ m≤100$.
答:m的取值范围为$80 ≤ m ≤ 100$.
解析
【分析】
解题时首先明确变量含义，已知购买围棋m副，结合总数量120副可表示出象棋的数量为(120-m)副；接下来从题干中提取两个不等关系：①围棋的数量不少于象棋数量的2倍，“不少于”对应不等号“≥”；②总费用不超过3500元，“不超过”对应不等号“≤”，分别根据两个不等关系列出不等式，组成不等式组后求解，取两个不等式解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
解：已知购买围棋m副，因此购买象棋的数量为$(120 - m)$副。
根据题意列出不等式组：
$\begin{cases} m≥2(120 - m) \quad ① \\ 30m + 25(120 - m) ≤ 3500 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$m≥240 - 2m$
移项合并同类项得：$3m≥240$
系数化为1得：$m≥80$
解不等式②：
去括号得：$30m + 3000 - 25m ≤ 3500$
合并同类项得：$5m + 3000 ≤ 3500$
移项得：$5m ≤ 500$
系数化为1得：$m≤100$
因此不等式组的解集为$80≤ m≤100$。
【答案】
m的取值范围为$80 ≤ m ≤ 100$
【知识点】
1. 列一元一次不等式组
2. 解一元一次不等式组
3. 不等式组的实际应用
【点评】
本题属于不等式组实际应用的基础题型，解题核心是准确理解“不少于”“不超过”等表述对应的不等符号，正确梳理数量关系列出不等式组，解不等式时需注意移项变号的规则，最终取值范围要符合实际问题的隐含要求。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确变量含义，已知购买围棋m副，结合总数量120副可表示出象棋的数量为(120-m)副；接下来从题干中提取两个不等关系：①围棋的数量不少于象棋数量的2倍，“不少于”对应不等号“≥”；②总费用不超过3500元，“不超过”对应不等号“≤”，分别根据两个不等关系列出不等式，组成不等式组后求解，取两个不等式解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
解：已知购买围棋m副，因此购买象棋的数量为$(120 - m)$副。
根据题意列出不等式组：
$\begin{cases} m≥2(120 - m) \quad ① \\ 30m + 25(120 - m) ≤ 3500 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：
去括号得：$m≥240 - 2m$
移项合并同类项得：$3m≥240$
系数化为1得：$m≥80$
解不等式②：
去括号得：$30m + 3000 - 25m ≤ 3500$
合并同类项得：$5m + 3000 ≤ 3500$
移项得：$5m ≤ 500$
系数化为1得：$m≤100$
因此不等式组的解集为$80≤ m≤100$。
【答案】
m的取值范围为$80 ≤ m ≤ 100$
【知识点】
1. 列一元一次不等式组
2. 解一元一次不等式组
3. 不等式组的实际应用
【点评】
本题属于不等式组实际应用的基础题型，解题核心是准确理解“不少于”“不超过”等表述对应的不等符号，正确梳理数量关系列出不等式组，解不等式时需注意移项变号的规则，最终取值范围要符合实际问题的隐含要求。
【难度系数】
0.75
17.王老师为了准备奖品,购买了笔记本和钢笔共16件,笔记本一本5元,钢笔一支8元,一共110元.
(1)王老师购买了笔记本、钢笔各多少件?
(2)王老师计划再购买笔记本和钢笔共8件(笔记本和钢笔每样至少购买一件),但是两次总花费不得超过160元,有多少种购买方案?请将购买方案一一写出.
(1)王老师购买了笔记本、钢笔各多少件?
(2)王老师计划再购买笔记本和钢笔共8件(笔记本和钢笔每样至少购买一件),但是两次总花费不得超过160元,有多少种购买方案?请将购买方案一一写出.
答案
17.解:(1)设购买了笔记本x本,钢笔y支,
依题意,得$\begin{cases} x + y = 16, \\ 5x + 8y = 110, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 6, \\ y = 10. \end{cases}$
答:购买了笔记本6本,钢笔10支.
(2)设购买笔记本m本,则购买钢笔$(8 - m)$支,
依题意,得$\begin{cases} 5m + 8(8 - m) + 110 ≤ 160, \\ 8 - m ＞ 0, \\ m ＞ 0, \end{cases}$
解得$4\frac{2}{3}≤m＜8$.
$\because m$为正整数,$\therefore m$可以为5,6,7,$\therefore$共有3种购买方案,
方案1:购买笔记本5本,钢笔3支;
方案2:购买笔记本6本,钢笔2支;
方案3:购买笔记本7本,钢笔1支.
依题意,得$\begin{cases} x + y = 16, \\ 5x + 8y = 110, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 6, \\ y = 10. \end{cases}$
答:购买了笔记本6本,钢笔10支.
(2)设购买笔记本m本,则购买钢笔$(8 - m)$支,
依题意,得$\begin{cases} 5m + 8(8 - m) + 110 ≤ 160, \\ 8 - m ＞ 0, \\ m ＞ 0, \end{cases}$
解得$4\frac{2}{3}≤m＜8$.
$\because m$为正整数,$\therefore m$可以为5,6,7,$\therefore$共有3种购买方案,
方案1:购买笔记本5本,钢笔3支;
方案2:购买笔记本6本,钢笔2支;
方案3:购买笔记本7本,钢笔1支.
解析
【分析】
(1) 第一问存在两个未知量：购买笔记本的数量、购买钢笔的数量，同时给出两个明确的等量关系：①笔记本数量+钢笔数量=16件；②笔记本总费用+钢笔总费用=110元，我们可以设两个未知数，列二元一次方程组求解。
(2) 第二问为方案设计类问题，已知第二次购买两种物品共8件，可设购买笔记本m本，则钢笔数量为(8-m)本，结合题干限制条件：两次总花费不超过160元，且两种物品每样至少买1件，列一元一次不等式组求出m的取值范围，再根据m为正整数的实际意义，即可得出所有符合要求的购买方案。
【解析】
(1) 设购买了笔记本x本，钢笔y支，
依题意，得$\begin{cases} x + y = 16, \\ 5x + 8y = 110, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 6, \\ y = 10. \end{cases}$
(2) 设购买笔记本m本，则购买钢笔$(8 - m)$支，
依题意，得$\begin{cases} 5m + 8(8 - m) + 110 ≤ 160, \\ 8 - m ＞ 0, \\ m ＞ 0, \end{cases}$
解得$4\frac{2}{3}≤m＜8$。
∵m为正整数，
∴m可以为5,6,7，
∴共有3种购买方案，
方案1:购买笔记本5本，钢笔3支；
方案2:购买笔记本6本，钢笔2支；
方案3:购买笔记本7本，钢笔1支。
【答案】
(1) 购买了笔记本6本，钢笔10支；
(2) 共有3种购买方案，分别为：方案1：购买笔记本5本，钢笔3支；方案2：购买笔记本6本，钢笔2支；方案3：购买笔记本7本，钢笔1支。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，核心是准确梳理题干中的等量关系和不等关系列方程或不等式，求解时要注意结合实际问题的限制，未知数需取正整数，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问存在两个未知量：购买笔记本的数量、购买钢笔的数量，同时给出两个明确的等量关系：①笔记本数量+钢笔数量=16件；②笔记本总费用+钢笔总费用=110元，我们可以设两个未知数，列二元一次方程组求解。
(2) 第二问为方案设计类问题，已知第二次购买两种物品共8件，可设购买笔记本m本，则钢笔数量为(8-m)本，结合题干限制条件：两次总花费不超过160元，且两种物品每样至少买1件，列一元一次不等式组求出m的取值范围，再根据m为正整数的实际意义，即可得出所有符合要求的购买方案。
【解析】
(1) 设购买了笔记本x本，钢笔y支，
依题意，得$\begin{cases} x + y = 16, \\ 5x + 8y = 110, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x = 6, \\ y = 10. \end{cases}$
(2) 设购买笔记本m本，则购买钢笔$(8 - m)$支，
依题意，得$\begin{cases} 5m + 8(8 - m) + 110 ≤ 160, \\ 8 - m ＞ 0, \\ m ＞ 0, \end{cases}$
解得$4\frac{2}{3}≤m＜8$。
∵m为正整数，
∴m可以为5,6,7，
∴共有3种购买方案，
方案1:购买笔记本5本，钢笔3支；
方案2:购买笔记本6本，钢笔2支；
方案3:购买笔记本7本，钢笔1支。
【答案】
(1) 购买了笔记本6本，钢笔10支；
(2) 共有3种购买方案，分别为：方案1：购买笔记本5本，钢笔3支；方案2：购买笔记本6本，钢笔2支；方案3：购买笔记本7本，钢笔1支。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；方案设计问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的典型实际应用题，核心是准确梳理题干中的等量关系和不等关系列方程或不等式，求解时要注意结合实际问题的限制，未知数需取正整数，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
