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8. 不等式组$\begin{cases} x - 1 ≤ 0, \\ 2x + 4 ＞ 0 \end{cases}$的解集在数轴上表示为（
）
）答案
8.B
解析
【分析】
要确定不等式组的解集在数轴上的表示，需分三步进行：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到每个不等式的解集；第二步找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；第三步根据数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点，不包含端点用空心圈），逐一匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：先分别解两个不等式：
1. 解不等式$x - 1 ≤ 0$，
移项得：$x ≤ 1$，该解集包含端点$1$，数轴上用实心点表示，向左延伸。
2. 解不等式$2x + 4 ＞ 0$，
移项得：$2x ＞ -4$，
两边同时除以2得：$x ＞ -2$，该解集不包含端点$-2$，数轴上用空心圈表示，向右延伸。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 1$，对照数轴表示，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对不等式组求解方法的掌握，以及数轴表示解集时实心点和空心圈的区分，解题时注意不要混淆端点的表示规则即可。
【难度系数】
0.8
要确定不等式组的解集在数轴上的表示，需分三步进行：第一步分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到每个不等式的解集；第二步找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；第三步根据数轴表示解集的规则（大于向右、小于向左，包含端点用实心点，不包含端点用空心圈），逐一匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：先分别解两个不等式：
1. 解不等式$x - 1 ≤ 0$，
移项得：$x ≤ 1$，该解集包含端点$1$，数轴上用实心点表示，向左延伸。
2. 解不等式$2x + 4 ＞ 0$，
移项得：$2x ＞ -4$，
两边同时除以2得：$x ＞ -2$，该解集不包含端点$-2$，数轴上用空心圈表示，向右延伸。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 1$，对照数轴表示，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法、不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对不等式组求解方法的掌握，以及数轴表示解集时实心点和空心圈的区分，解题时注意不要混淆端点的表示规则即可。
【难度系数】
0.8
二、填空题
9. 不等式 $ x - 2 ≤ 3x + 5 $ 的负整数解有
9. 不等式 $ x - 2 ≤ 3x + 5 $ 的负整数解有
-3, -2, -1
.答案
9.-3, -2, -1
解析
【分析】
解决本题需先按步骤求解一元一次不等式得到解集，再从解集中筛选出所有负整数即可。解题时先遵循一元一次不等式的求解规则：移项时注意变号，系数化为1时若系数为负数，不等号方向要反向，最终结合负整数的定义找出符合要求的解。
【解析】
解不等式 $ x - 2 ≤ 3x + 5 $：
1. 移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得：$x - 3x ≤ 5 + 2$
2. 合并同类项，得：$-2x ≤ 7$
3. 系数化为1，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ -3.5$
要求负整数解，即满足$x ＜ 0$且$x ≥ -3.5$的整数，符合条件的数为$-3、-2、-1$。
【答案】
-3，-2，-1
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式特殊解求解
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元一次不等式的求解及特殊解的筛选，解题时要注意移项变号、系数为负时不等号方向改变的规则，避免因操作失误漏解或多解。
【难度系数】
0.8
解决本题需先按步骤求解一元一次不等式得到解集，再从解集中筛选出所有负整数即可。解题时先遵循一元一次不等式的求解规则：移项时注意变号，系数化为1时若系数为负数，不等号方向要反向，最终结合负整数的定义找出符合要求的解。
【解析】
解不等式 $ x - 2 ≤ 3x + 5 $：
1. 移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得：$x - 3x ≤ 5 + 2$
2. 合并同类项，得：$-2x ≤ 7$
3. 系数化为1，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ -3.5$
要求负整数解，即满足$x ＜ 0$且$x ≥ -3.5$的整数，符合条件的数为$-3、-2、-1$。
【答案】
-3，-2，-1
【知识点】
一元一次不等式的解法；不等式特殊解求解
【点评】
本题是基础题型，重点考查一元一次不等式的求解及特殊解的筛选，解题时要注意移项变号、系数为负时不等号方向改变的规则，避免因操作失误漏解或多解。
【难度系数】
0.8
10. 代数式$\frac{1-3x}{2}$的值小于或等于2且大于-1，则x的取值范围是
$-1≤x＜1$
.答案
10.$-1≤x＜1$
解析
【分析】
解决本题首先要把题目中代数式的取值要求转化为数学不等式，再按一元一次不等式的解法步骤求解。思考路径：①先将“代数式的值小于或等于2且大于-1”转化为连写的一元一次不等式；②根据不等式的基本性质逐步变形，去分母、移项、系数化为1，注意系数为负数时不等号方向要改变；③最终整理得到x的取值范围。
【解析】
根据题意列不等式：
$-1 ＜ \frac{1-3x}{2} ≤ 2$
不等式三边同时乘2（正数，不等号方向不变），得：
$-2 ＜ 1 - 3x ≤ 4$
不等式三边同时减1，得：
$-3 ＜ -3x ≤ 3$
不等式三边同时除以-3（负数，不等号方向改变），得：
$1 ＞ x ≥ -1$
即$-1 ≤ x ＜ 1$
【答案】
$-1 ≤ x ＜ 1$
【知识点】
列一元一次不等式、不等式的基本性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式应用的基础题，重点考查将文字描述转化为数学不等式的能力，解题时要注意“小于或等于”要带等号，不等式两边乘除负数时不等号方向必须改变，这是本题的常见失分点。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要把题目中代数式的取值要求转化为数学不等式，再按一元一次不等式的解法步骤求解。思考路径：①先将“代数式的值小于或等于2且大于-1”转化为连写的一元一次不等式；②根据不等式的基本性质逐步变形，去分母、移项、系数化为1，注意系数为负数时不等号方向要改变；③最终整理得到x的取值范围。
【解析】
根据题意列不等式：
$-1 ＜ \frac{1-3x}{2} ≤ 2$
不等式三边同时乘2（正数，不等号方向不变），得：
$-2 ＜ 1 - 3x ≤ 4$
不等式三边同时减1，得：
$-3 ＜ -3x ≤ 3$
不等式三边同时除以-3（负数，不等号方向改变），得：
$1 ＞ x ≥ -1$
即$-1 ≤ x ＜ 1$
【答案】
$-1 ≤ x ＜ 1$
【知识点】
列一元一次不等式、不等式的基本性质、解一元一次不等式
【点评】
本题是不等式应用的基础题，重点考查将文字描述转化为数学不等式的能力，解题时要注意“小于或等于”要带等号，不等式两边乘除负数时不等号方向必须改变，这是本题的常见失分点。
【难度系数】
0.75
11.如果k是不等式$2x+3＞0$的负整数解,则关于y的不等式$(k-3)y＜-4$的解集是
$y＞1$
.答案
11.$y＞1$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先求解不等式2x+3＞0，找出它的所有负整数解，即可得到k的取值；第二步将k代入关于y的不等式，结合不等式的性质求解集即可，注意当不等式两边同时除以负数时，不等号方向要发生改变。
【解析】
1. 求解不等式$2x+3＞0$：
移项得：$2x ＞ -3$
两边同时除以2得：$x ＞ -1.5$
∵k是该不等式的负整数解，大于-1.5的负整数只有-1
∴$k=-1$
2. 将$k=-1$代入不等式$(k-3)y＜-4$：
先计算系数：$k-3=-1-3=-4$
不等式变为：$-4y ＜ -4$
根据不等式的性质，两边同时除以-4，不等号方向改变：
$y ＞ (-4)÷(-4)$
计算得：$y ＞ 1$
【答案】
$y＞1$
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的性质、整数解的确定
【点评】
本题属于基础综合题，考查了一元一次不等式的求解、整数解的判断，易错点为不等式两边同时除以负数时，未改变不等号的方向。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步先求解不等式2x+3＞0，找出它的所有负整数解，即可得到k的取值；第二步将k代入关于y的不等式，结合不等式的性质求解集即可，注意当不等式两边同时除以负数时，不等号方向要发生改变。
【解析】
1. 求解不等式$2x+3＞0$：
移项得：$2x ＞ -3$
两边同时除以2得：$x ＞ -1.5$
∵k是该不等式的负整数解，大于-1.5的负整数只有-1
∴$k=-1$
2. 将$k=-1$代入不等式$(k-3)y＜-4$：
先计算系数：$k-3=-1-3=-4$
不等式变为：$-4y ＜ -4$
根据不等式的性质，两边同时除以-4，不等号方向改变：
$y ＞ (-4)÷(-4)$
计算得：$y ＞ 1$
【答案】
$y＞1$
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的性质、整数解的确定
【点评】
本题属于基础综合题，考查了一元一次不等式的求解、整数解的判断，易错点为不等式两边同时除以负数时，未改变不等号的方向。
【难度系数】
0.7
12. 方程组$\begin{cases}x + y = 2, \\ x - y = 2a\end{cases}$的解满足$x ＞ 0, y ＜ 0$,则$a$的取值范围是 ______ .
答案
12.$a＞1$
解析
【分析】
要确定a的取值范围，首先需要求出方程组的解，我们可以用加减消元法解这个二元一次方程组，得到用含a的代数式表示的x和y；再根据x＞0、y＜0的条件，分别列出关于a的一元一次不等式，解出两个不等式的解集后，取它们的公共部分就是a的取值范围。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x + y = 2&① \\ x - y = 2a&②\end{cases}$：
1. 消元求x：①+②得，$2x=2+2a$，解得$x=1+a$；
2. 消元求y：①-②得，$2y=2-2a$，解得$y=1-a$；
根据题意$x＞0$，$y＜0$，可列不等式组：
$\begin{cases}1+a＞0 \\ 1-a＜0\end{cases}$
解第一个不等式：$1+a＞0$，移项得$a＞-1$；
解第二个不等式：$1-a＜0$，移项得$-a＜-1$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得$a＞1$；
取两个解集的公共部分，根据“同大取大”的原则，得$a＞1$。
【答案】
$a＞1$
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 解一元一次不等式
3. 不等式组解集的确定
【点评】
本题是方程组与不等式结合的常规题型，解题核心是先得到含参数的方程组解，再结合不等关系列不等式求解，需注意解不等式时，两边同时乘或除以负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
要确定a的取值范围，首先需要求出方程组的解，我们可以用加减消元法解这个二元一次方程组，得到用含a的代数式表示的x和y；再根据x＞0、y＜0的条件，分别列出关于a的一元一次不等式，解出两个不等式的解集后，取它们的公共部分就是a的取值范围。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x + y = 2&① \\ x - y = 2a&②\end{cases}$：
1. 消元求x：①+②得，$2x=2+2a$，解得$x=1+a$；
2. 消元求y：①-②得，$2y=2-2a$，解得$y=1-a$；
根据题意$x＞0$，$y＜0$，可列不等式组：
$\begin{cases}1+a＞0 \\ 1-a＜0\end{cases}$
解第一个不等式：$1+a＞0$，移项得$a＞-1$；
解第二个不等式：$1-a＜0$，移项得$-a＜-1$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变），得$a＞1$；
取两个解集的公共部分，根据“同大取大”的原则，得$a＞1$。
【答案】
$a＞1$
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 解一元一次不等式
3. 不等式组解集的确定
【点评】
本题是方程组与不等式结合的常规题型，解题核心是先得到含参数的方程组解，再结合不等关系列不等式求解，需注意解不等式时，两边同时乘或除以负数，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
三、解答题
13. 解下列不等式,并把它们的解集分别在数轴上表示出来.
(1) $3 - \dfrac{3x - 1}{4} ≤ \dfrac{5(x + 3)}{8}$；
(2) $\dfrac{2x + 1}{4} ＜ \dfrac{15x - 2}{6} - \dfrac{1}{3}(5x - 4)$.
13. 解下列不等式,并把它们的解集分别在数轴上表示出来.
(1) $3 - \dfrac{3x - 1}{4} ≤ \dfrac{5(x + 3)}{8}$；
(2) $\dfrac{2x + 1}{4} ＜ \dfrac{15x - 2}{6} - \dfrac{1}{3}(5x - 4)$.
答案
13.(1)$x≥1$ (2)$x ＞ -\dfrac{9}{4}$
解析
【分析】
解一元一次不等式的思路与解一元一次方程类似，遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤，解题时要注意：①去分母时不要漏乘不含分母的常数项；②去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号；③系数化为1时，若两边同时乘/除以负数，不等号方向要改变；在数轴上表示解集时，≥、≤用实心圆点，＞、＜用空心圆圈，大于向右画、小于向左画。
【解析】
(1) 解不等式 $3 - \dfrac{3x - 1}{4} ≤ \dfrac{5(x + 3)}{8}$
①去分母：两边同时乘8，得 $24 - 2(3x - 1) ≤ 5(x + 3)$
②去括号：得 $24 - 6x + 2 ≤ 5x + 15$
③合并同类项：得 $26 - 6x ≤ 5x + 15$
④移项：将含$x$的项移到右侧，常数项移到左侧，得 $26 - 15 ≤ 5x + 6x$，合并得 $11 ≤ 11x$
⑤系数化为1：两边同时除以11（正数，不等号方向不变），得 $x ≥ 1$
数轴表示：在数轴上1的位置画实心圆点，向右画射线即可。
(2) 解不等式 $\dfrac{2x + 1}{4} ＜ \dfrac{15x - 2}{6} - \dfrac{1}{3}(5x - 4)$
①去分母：两边同时乘12，得 $3(2x + 1) ＜ 2(15x - 2) - 4(5x - 4)$
②去括号：得 $6x + 3 ＜ 30x - 4 - 20x + 16$
③合并同类项：得 $6x + 3 ＜ 10x + 12$
④移项：将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得 $6x - 10x ＜ 12 - 3$，合并得 $-4x ＜ 9$
⑤系数化为1：两边同时除以-4（负数，不等号方向改变），得 $x ＞ -\dfrac{9}{4}$
数轴表示：在数轴上$-\dfrac{9}{4}$（即-2.25）的位置画空心圆圈，向右画射线即可。
【答案】
(1) $x≥1$；(2) $x ＞ -\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的基本性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是解一元一次不等式的常规题型，重点考查解不等式的步骤和易错点，掌握运算规则，规避去分母漏乘、系数化1时不等号方向错误等问题即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解一元一次不等式的思路与解一元一次方程类似，遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤，解题时要注意：①去分母时不要漏乘不含分母的常数项；②去括号时如果括号前是负号，括号内各项要变号；③系数化为1时，若两边同时乘/除以负数，不等号方向要改变；在数轴上表示解集时，≥、≤用实心圆点，＞、＜用空心圆圈，大于向右画、小于向左画。
【解析】
(1) 解不等式 $3 - \dfrac{3x - 1}{4} ≤ \dfrac{5(x + 3)}{8}$
①去分母：两边同时乘8，得 $24 - 2(3x - 1) ≤ 5(x + 3)$
②去括号：得 $24 - 6x + 2 ≤ 5x + 15$
③合并同类项：得 $26 - 6x ≤ 5x + 15$
④移项：将含$x$的项移到右侧，常数项移到左侧，得 $26 - 15 ≤ 5x + 6x$，合并得 $11 ≤ 11x$
⑤系数化为1：两边同时除以11（正数，不等号方向不变），得 $x ≥ 1$
数轴表示：在数轴上1的位置画实心圆点，向右画射线即可。
(2) 解不等式 $\dfrac{2x + 1}{4} ＜ \dfrac{15x - 2}{6} - \dfrac{1}{3}(5x - 4)$
①去分母：两边同时乘12，得 $3(2x + 1) ＜ 2(15x - 2) - 4(5x - 4)$
②去括号：得 $6x + 3 ＜ 30x - 4 - 20x + 16$
③合并同类项：得 $6x + 3 ＜ 10x + 12$
④移项：将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧，得 $6x - 10x ＜ 12 - 3$，合并得 $-4x ＜ 9$
⑤系数化为1：两边同时除以-4（负数，不等号方向改变），得 $x ＞ -\dfrac{9}{4}$
数轴表示：在数轴上$-\dfrac{9}{4}$（即-2.25）的位置画空心圆圈，向右画射线即可。
【答案】
(1) $x≥1$；(2) $x ＞ -\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的基本性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是解一元一次不等式的常规题型，重点考查解不等式的步骤和易错点，掌握运算规则，规避去分母漏乘、系数化1时不等号方向错误等问题即可正确求解。
【难度系数】
0.7
14. x是怎样的数时，代数式$\frac{4x - 2}{5}$的值不大于代数式$\frac{1 + 3x}{4}$的值？
答案
14.$x≤13$
解析
【分析】
首先明确“不大于”的数学含义是小于等于（$≤$），据此可列出关于x的一元一次不等式；再按照解一元一次不等式的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步计算即可。去分母时注意两边同时乘分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项，由于乘的是正数，不等号方向无需改变。
【解析】
解：根据题意可列不等式：
$\frac{4x-2}{5} ≤ \frac{1+3x}{4}$
两边同时乘20（5和4的最小公倍数）去分母，得：
$4(4x-2) ≤ 5(1+3x)$
去括号，得：
$16x - 8 ≤ 5 + 15x$
移项，得：
$16x - 15x ≤ 5 + 8$
合并同类项，得：
$x ≤ 13$
【答案】
$x ≤ 13$
【知识点】
列一元一次不等式、解一元一次不等式
【点评】
本题考查将文字描述转化为数学不等式的能力，以及解一元一次不等式的基本运算能力，解题关键是准确理解“不大于”对应的不等关系，计算时注意去分母不要漏乘常数项，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
首先明确“不大于”的数学含义是小于等于（$≤$），据此可列出关于x的一元一次不等式；再按照解一元一次不等式的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步计算即可。去分母时注意两边同时乘分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项，由于乘的是正数，不等号方向无需改变。
【解析】
解：根据题意可列不等式：
$\frac{4x-2}{5} ≤ \frac{1+3x}{4}$
两边同时乘20（5和4的最小公倍数）去分母，得：
$4(4x-2) ≤ 5(1+3x)$
去括号，得：
$16x - 8 ≤ 5 + 15x$
移项，得：
$16x - 15x ≤ 5 + 8$
合并同类项，得：
$x ≤ 13$
【答案】
$x ≤ 13$
【知识点】
列一元一次不等式、解一元一次不等式
【点评】
本题考查将文字描述转化为数学不等式的能力，以及解一元一次不等式的基本运算能力，解题关键是准确理解“不大于”对应的不等关系，计算时注意去分母不要漏乘常数项，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
