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20. 计算：$4ab(\dfrac{1}{2}a - b)=$
$2a^2b-4ab^2$
.答案
20. $2a^2b-4ab^2$
解析
【分析】
本题考查整式乘法中的单项式乘多项式运算，解题思路如下：第一步回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；第二步分别计算单项式与多项式两项的乘积，计算时注意系数相乘、同底数幂相乘的运算规则，同时注意不要漏乘、不要弄错符号；第三步把两个乘积相加得到最终结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}4ab(\frac{1}{2}a - b)&=4ab×\frac{1}{2}a + 4ab×(-b)\\&=(4×\frac{1}{2})×(a× a)× b + 4× a×(b×(-b))\\&=2a^2b - 4ab^2\end{aligned}$
【答案】
$2a^2b-4ab^2$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查运算的规范性，解题时需注意不要漏乘多项式的每一项，同时要注意乘积的符号判断以及同底数幂相乘时指数的正确计算，熟练掌握基础运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法中的单项式乘多项式运算，解题思路如下：第一步回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；第二步分别计算单项式与多项式两项的乘积，计算时注意系数相乘、同底数幂相乘的运算规则，同时注意不要漏乘、不要弄错符号；第三步把两个乘积相加得到最终结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}4ab(\frac{1}{2}a - b)&=4ab×\frac{1}{2}a + 4ab×(-b)\\&=(4×\frac{1}{2})×(a× a)× b + 4× a×(b×(-b))\\&=2a^2b - 4ab^2\end{aligned}$
【答案】
$2a^2b-4ab^2$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查运算的规范性，解题时需注意不要漏乘多项式的每一项，同时要注意乘积的符号判断以及同底数幂相乘时指数的正确计算，熟练掌握基础运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
21. 如果$x$的立方等于27，那么$x$的算术平方根是
$\sqrt{3}$
。答案
21. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题需分两步进行：第一步，根据“x的立方等于27”的条件，利用立方运算与开立方运算的互逆关系求出x的值；第二步，根据算术平方根的定义，求出x的算术平方根即可。解题时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免粗心直接将x的值作为最终结果。
【解析】
解：由题意可知$x^3=27$
对27开立方得：$x=\sqrt[3]{27}=3$
根据算术平方根的定义：非负数的非负平方根叫做它的算术平方根，因此3的算术平方根为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1. 立方根运算 2. 算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对立方根、算术平方根概念的理解与运用，解题时要按步骤计算，避免因混淆概念或粗心大意失分。
【难度系数】
0.8
解题需分两步进行：第一步，根据“x的立方等于27”的条件，利用立方运算与开立方运算的互逆关系求出x的值；第二步，根据算术平方根的定义，求出x的算术平方根即可。解题时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免粗心直接将x的值作为最终结果。
【解析】
解：由题意可知$x^3=27$
对27开立方得：$x=\sqrt[3]{27}=3$
根据算术平方根的定义：非负数的非负平方根叫做它的算术平方根，因此3的算术平方根为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
1. 立方根运算 2. 算术平方根的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，重点考查对立方根、算术平方根概念的理解与运用，解题时要按步骤计算，避免因混淆概念或粗心大意失分。
【难度系数】
0.8
22. 若∠1与∠2是对顶角，且∠1+∠2=140°，则∠1的补角是
110
°。答案
22. 110
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到∠1与∠2是对顶角，根据对顶角的性质可得到∠1=∠2；结合二者之和为140°，就能计算出∠1的度数；再根据补角的定义，用180°减去∠1的度数，即可求出∠1的补角的度数。
【解析】
解：
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
又
∵∠1+∠2=140°，
∴2∠1=140°，解得∠1=70°，
根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，
因此∠1的补角为：180°-70°=110°。
【答案】
110
【知识点】
对顶角的性质；补角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考察对基础几何概念的掌握和应用，只要熟记对顶角相等的性质以及补角的定义，结合简单的计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，首先看到∠1与∠2是对顶角，根据对顶角的性质可得到∠1=∠2；结合二者之和为140°，就能计算出∠1的度数；再根据补角的定义，用180°减去∠1的度数，即可求出∠1的补角的度数。
【解析】
解：
∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1=∠2（对顶角相等），
又
∵∠1+∠2=140°，
∴2∠1=140°，解得∠1=70°，
根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，
因此∠1的补角为：180°-70°=110°。
【答案】
110
【知识点】
对顶角的性质；补角的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考察对基础几何概念的掌握和应用，只要熟记对顶角相等的性质以及补角的定义，结合简单的计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.9
23. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x+1＞a, \\3x≤2(x+2)\end{cases}$仅有2个整数解，则$a$的取值范围是 ______ 。
答案
23. $3≤a＜4$
解析
【分析】
解决本题的思路是：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到不等式组的解集；然后根据“仅有2个整数解”的条件，确定这两个整数解的具体值；最后结合解集的范围，反推出参数a的取值范围，注意要验证端点值是否符合要求，避免出错。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式①$x+1＞a$，移项可得：$x＞a-1$；
解不等式②$3x≤2(x+2)$，先去括号得$3x≤2x+4$，再移项合并同类项得：$x≤4$。
第二步：确定不等式组的解集
两个不等式的解集的公共部分为：$a-1 ＜ x ≤4$。
第三步：结合整数解的个数确定a的范围
因为不等式组仅有2个整数解，结合解集$x≤4$可知，这两个整数解为3和4。
要保证整数解只有3和4，需要满足：整数2不在解集中，整数3在解集中，
即：$2 ≤ a-1 ＜ 3$，
不等式三边同时加1，解得：$3 ≤ a ＜4$。
【答案】
$3≤a＜4$
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解；不等式的性质
【点评】
本题核心考查一元一次不等式组的解法及根据整数解求参数范围，解题的易错点是端点值的取舍，要注意结合题意验证端点是否符合要求，避免出现范围扩大或缩小的错误。
【难度系数】
0.6
解决本题的思路是：首先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到不等式组的解集；然后根据“仅有2个整数解”的条件，确定这两个整数解的具体值；最后结合解集的范围，反推出参数a的取值范围，注意要验证端点值是否符合要求，避免出错。
【解析】
第一步：分别解两个不等式
解不等式①$x+1＞a$，移项可得：$x＞a-1$；
解不等式②$3x≤2(x+2)$，先去括号得$3x≤2x+4$，再移项合并同类项得：$x≤4$。
第二步：确定不等式组的解集
两个不等式的解集的公共部分为：$a-1 ＜ x ≤4$。
第三步：结合整数解的个数确定a的范围
因为不等式组仅有2个整数解，结合解集$x≤4$可知，这两个整数解为3和4。
要保证整数解只有3和4，需要满足：整数2不在解集中，整数3在解集中，
即：$2 ≤ a-1 ＜ 3$，
不等式三边同时加1，解得：$3 ≤ a ＜4$。
【答案】
$3≤a＜4$
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解；不等式的性质
【点评】
本题核心考查一元一次不等式组的解法及根据整数解求参数范围，解题的易错点是端点值的取舍，要注意结合题意验证端点是否符合要求，避免出现范围扩大或缩小的错误。
【难度系数】
0.6
24. 已知$m^2 - 9n^2 = 5$，$m^2 + 6mn + 9n^2 = 5$，那么$n$的值为
0
。答案
24. 0
解析
【分析】
解题时先观察给出的两个等式的结构，可通过两式作差消去m²项，将式子简化为仅含n和mn的形式，再通过因式分解得到乘积为0的式子，分情况讨论排除矛盾的情况，即可求出n的值。
【解析】
已知：
① $m^2 - 9n^2 = 5$
② $m^2 + 6mn + 9n^2 = 5$
用②式减去①式可得：
$(m^2 + 6mn + 9n^2) - (m^2 - 9n^2) = 5 - 5$
去括号、合并同类项：
$m^2 + 6mn + 9n^2 - m^2 + 9n^2 = 0$
$6mn + 18n^2 = 0$
提取公因式$6n$得：
$6n(m + 3n) = 0$
分两种情况讨论：
1. 若$6n=0$，解得$n=0$，代入原式验证符合条件；
2. 若$m+3n=0$，代入②式可得$(m+3n)^2=0=5$，显然不成立，排除该情况。
因此$n$的值为0。
【答案】
0
【知识点】
整式的加减运算、提取公因式因式分解、完全平方公式
【点评】
本题重点考查整式运算和因式分解的灵活应用，通过作差消元简化计算是解题的关键，同时要注意对因式分解后得到的两种情况进行验证，排除矛盾的结论。
【难度系数】
0.7
解题时先观察给出的两个等式的结构，可通过两式作差消去m²项，将式子简化为仅含n和mn的形式，再通过因式分解得到乘积为0的式子，分情况讨论排除矛盾的情况，即可求出n的值。
【解析】
已知：
① $m^2 - 9n^2 = 5$
② $m^2 + 6mn + 9n^2 = 5$
用②式减去①式可得：
$(m^2 + 6mn + 9n^2) - (m^2 - 9n^2) = 5 - 5$
去括号、合并同类项：
$m^2 + 6mn + 9n^2 - m^2 + 9n^2 = 0$
$6mn + 18n^2 = 0$
提取公因式$6n$得：
$6n(m + 3n) = 0$
分两种情况讨论：
1. 若$6n=0$，解得$n=0$，代入原式验证符合条件；
2. 若$m+3n=0$，代入②式可得$(m+3n)^2=0=5$，显然不成立，排除该情况。
因此$n$的值为0。
【答案】
0
【知识点】
整式的加减运算、提取公因式因式分解、完全平方公式
【点评】
本题重点考查整式运算和因式分解的灵活应用，通过作差消元简化计算是解题的关键，同时要注意对因式分解后得到的两种情况进行验证，排除矛盾的结论。
【难度系数】
0.7
25. 某移动手环进价为200元/件，售价为280元/件。“双11”为了促销，商店准备将这批移动手环降价出售。若要保证单件利润不低于24元，则最低可打
8
折出售。答案
25. 8
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确销售问题的基本数量关系：单件利润=实际售价-进价，题目中“不低于”对应的是不等关系“≥”。我们可以先设最低打x折出售，打折后的实际售价为原售价乘以十分之x，再根据单件利润≥24元的要求列出不等式，解出x的最小值就是最低折扣。
【解析】
设最低可打x折出售，根据题意列不等式：
$280×\frac{x}{10} - 200 ≥ 24$
化简不等式得：
$28x - 200 ≥ 24$
移项计算：
$28x ≥ 24 + 200$
$28x ≥ 224$
两边同时除以28：
$x ≥ 8$
因此最低可打8折出售。
【答案】
8
【知识点】
一元一次不等式应用，销售利润计算，打折问题
【点评】
本题是典型的生活类不等式应用题，解题的关键是准确理解“打折”“不低于”的含义，理清售价、进价、利润三者之间的数量关系，正确列出不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确销售问题的基本数量关系：单件利润=实际售价-进价，题目中“不低于”对应的是不等关系“≥”。我们可以先设最低打x折出售，打折后的实际售价为原售价乘以十分之x，再根据单件利润≥24元的要求列出不等式，解出x的最小值就是最低折扣。
【解析】
设最低可打x折出售，根据题意列不等式：
$280×\frac{x}{10} - 200 ≥ 24$
化简不等式得：
$28x - 200 ≥ 24$
移项计算：
$28x ≥ 24 + 200$
$28x ≥ 224$
两边同时除以28：
$x ≥ 8$
因此最低可打8折出售。
【答案】
8
【知识点】
一元一次不等式应用，销售利润计算，打折问题
【点评】
本题是典型的生活类不等式应用题，解题的关键是准确理解“打折”“不低于”的含义，理清售价、进价、利润三者之间的数量关系，正确列出不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
三、计算题
26. $\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{(-1)^2}$
27. $(\sqrt{12}-\sqrt{\dfrac{1}{3}})÷\sqrt{3}+\sqrt[3]{-27}$
26. $\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{(-1)^2}$
27. $(\sqrt{12}-\sqrt{\dfrac{1}{3}})÷\sqrt{3}+\sqrt[3]{-27}$
答案
26. 0
27. $-\dfrac{4}{3}$
27. $-\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】
这两道题属于实数混合运算类题目，解题遵循“先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内内容”的运算顺序。解题时第一步先分别化简每个开方运算的结果，第二步按照运算顺序计算加减或乘除，计算过程中注意符号不要出错。
【解析】
26. 解：
$\begin{aligned}&\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{(-1)^2}\\=&3 + (-2) - \sqrt{1}\\=&3-2-1\\=&0\end{aligned}$
27. 解：
$\begin{aligned}&(\sqrt{12}-\sqrt{\dfrac{1}{3}})÷\sqrt{3}+\sqrt[3]{-27}\\=&(2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3})÷\sqrt{3} + (-3)\\=&\dfrac{5\sqrt{3}}{3}÷\sqrt{3} -3\\=&\dfrac{5}{3} -3\\=&\dfrac{5}{3}-\dfrac{9}{3}\\=&-\dfrac{4}{3}\end{aligned}$
【答案】
26. $\boldsymbol{0}$
27. $\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$
【知识点】
二次根式运算，立方根运算，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握平方根、立方根的化简规则，牢记运算顺序，计算时注意符号和二次根式化简的准确性即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题属于实数混合运算类题目，解题遵循“先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内内容”的运算顺序。解题时第一步先分别化简每个开方运算的结果，第二步按照运算顺序计算加减或乘除，计算过程中注意符号不要出错。
【解析】
26. 解：
$\begin{aligned}&\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{(-1)^2}\\=&3 + (-2) - \sqrt{1}\\=&3-2-1\\=&0\end{aligned}$
27. 解：
$\begin{aligned}&(\sqrt{12}-\sqrt{\dfrac{1}{3}})÷\sqrt{3}+\sqrt[3]{-27}\\=&(2\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{3})÷\sqrt{3} + (-3)\\=&\dfrac{5\sqrt{3}}{3}÷\sqrt{3} -3\\=&\dfrac{5}{3} -3\\=&\dfrac{5}{3}-\dfrac{9}{3}\\=&-\dfrac{4}{3}\end{aligned}$
【答案】
26. $\boldsymbol{0}$
27. $\boldsymbol{-\dfrac{4}{3}}$
【知识点】
二次根式运算，立方根运算，实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握平方根、立方根的化简规则，牢记运算顺序，计算时注意符号和二次根式化简的准确性即可得分。
【难度系数】
0.8
28. $6×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3})+(-1)^{2025}$
29. $-3^2+\sqrt[3]{-8}+\left|-4\right|$
29. $-3^2+\sqrt[3]{-8}+\left|-4\right|$
答案
28. $-2$
29. $-7$
29. $-7$
解析
【分析】
这两道题均属于有理数混合运算类题目，解题遵循“先算乘方/开方，再算乘除，最后算加减，有括号优先算括号内”的运算顺序，也可结合运算律简化计算。
第28题：观察到括号外的整数6和括号内两个分数的分母均为倍数关系，可优先用乘法分配律计算乘法，再计算(-1)的乘方（奇数次幂结果为-1），最后合并计算即可。
第29题：需先区分$-3^2$和$(-3)^2$的差异，$-3^2$表示3的平方的相反数，结果为-9；再分别计算立方根、绝对值，最后按顺序做加减运算即可。
【解析】
28. 解：
$\begin{aligned}原式&=6×\frac{1}{2} - 6×\frac{2}{3} + (-1)\\&=3 - 4 - 1\\&=-2\end{aligned}$
29. 解：
$\begin{aligned}原式&=-9 + \sqrt[3]{-8} + |-4|\\&=-9 + (-2) + 4\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
28. $\boldsymbol{-2}$；29. $\boldsymbol{-7}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方的性质、绝对值与立方根运算
【点评】
两道题都是有理数运算的基础常规题，核心考查运算顺序的掌握和易错符号的判断，合理运用运算律可简化计算，仔细确认每一步的符号就能避免失分。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于有理数混合运算类题目，解题遵循“先算乘方/开方，再算乘除，最后算加减，有括号优先算括号内”的运算顺序，也可结合运算律简化计算。
第28题：观察到括号外的整数6和括号内两个分数的分母均为倍数关系，可优先用乘法分配律计算乘法，再计算(-1)的乘方（奇数次幂结果为-1），最后合并计算即可。
第29题：需先区分$-3^2$和$(-3)^2$的差异，$-3^2$表示3的平方的相反数，结果为-9；再分别计算立方根、绝对值，最后按顺序做加减运算即可。
【解析】
28. 解：
$\begin{aligned}原式&=6×\frac{1}{2} - 6×\frac{2}{3} + (-1)\\&=3 - 4 - 1\\&=-2\end{aligned}$
29. 解：
$\begin{aligned}原式&=-9 + \sqrt[3]{-8} + |-4|\\&=-9 + (-2) + 4\\&=-7\end{aligned}$
【答案】
28. $\boldsymbol{-2}$；29. $\boldsymbol{-7}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方的性质、绝对值与立方根运算
【点评】
两道题都是有理数运算的基础常规题，核心考查运算顺序的掌握和易错符号的判断，合理运用运算律可简化计算，仔细确认每一步的符号就能避免失分。
【难度系数】
0.8
30. 解方程组：$\begin{cases}2x - y = 7, \\x + y = -1\end{cases}$
31. 解方程组：$\begin{cases}\frac{x}{2} + 2y = 7, \\2x + \frac{y}{3} = 5\end{cases}$
31. 解方程组：$\begin{cases}\frac{x}{2} + 2y = 7, \\2x + \frac{y}{3} = 5\end{cases}$
答案
30. $\begin{cases}x=2 \\y=-3\end{cases}$
31. $\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$
31. $\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$
解析
【分析】
30题观察方程组中两个方程的y的系数互为相反数，可采用加减消元法，将两式相加直接消去y，先求出x的值，再将x的值代入任意一个方程即可求出y的值。31题的方程组含有分数系数，首先根据等式的性质对两个方程去分母，转化为整数系数的二元一次方程组，再用加减消元法消去一个未知数，求出一个未知数后代入求解另一个未知数即可。
【解析】
30. 解：将方程组标号如下：
$\begin{cases}2x - y = 7&① \\x + y = -1&②\end{cases}$
由①+②得：$3x=6$，解得$x=2$。
把$x=2$代入②得：$2+y=-1$，解得$y=-3$。
31. 解：将方程组标号如下：
$\begin{cases}\frac{x}{2} + 2y = 7&① \\2x + \frac{y}{3} = 5&②\end{cases}$
给①两边同时乘2去分母得：$x+4y=14$ ③，
给②两边同时乘3去分母得：$6x+y=15$ ④，
给④两边同时乘4得：$24x+4y=60$ ⑤，
由⑤-③得：$23x=46$，解得$x=2$。
把$x=2$代入③得：$2+4y=14$，解得$y=3$。
【答案】
30. $\begin{cases}x=2 \\y=-3\end{cases}$
31. $\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 等式的性质
【点评】
这两道题是二元一次方程组的常规计算题型，第30题可直接利用系数特点用加减消元快速求解，第31题需要先去分母转化为整数系数方程组再求解，解题时注意去分母不要漏乘不含分母的项，计算过程要细心避免符号错误。
【难度系数】
0.8
30题观察方程组中两个方程的y的系数互为相反数，可采用加减消元法，将两式相加直接消去y，先求出x的值，再将x的值代入任意一个方程即可求出y的值。31题的方程组含有分数系数，首先根据等式的性质对两个方程去分母，转化为整数系数的二元一次方程组，再用加减消元法消去一个未知数，求出一个未知数后代入求解另一个未知数即可。
【解析】
30. 解：将方程组标号如下：
$\begin{cases}2x - y = 7&① \\x + y = -1&②\end{cases}$
由①+②得：$3x=6$，解得$x=2$。
把$x=2$代入②得：$2+y=-1$，解得$y=-3$。
31. 解：将方程组标号如下：
$\begin{cases}\frac{x}{2} + 2y = 7&① \\2x + \frac{y}{3} = 5&②\end{cases}$
给①两边同时乘2去分母得：$x+4y=14$ ③，
给②两边同时乘3去分母得：$6x+y=15$ ④，
给④两边同时乘4得：$24x+4y=60$ ⑤，
由⑤-③得：$23x=46$，解得$x=2$。
把$x=2$代入③得：$2+4y=14$，解得$y=3$。
【答案】
30. $\begin{cases}x=2 \\y=-3\end{cases}$
31. $\begin{cases}x=2 \\y=3\end{cases}$
【知识点】
1. 加减消元法解二元一次方程组
2. 等式的性质
【点评】
这两道题是二元一次方程组的常规计算题型，第30题可直接利用系数特点用加减消元快速求解，第31题需要先去分母转化为整数系数方程组再求解，解题时注意去分母不要漏乘不含分母的项，计算过程要细心避免符号错误。
【难度系数】
0.8
