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1. 下列运算正确的是(
A.$(-x^2)^3 = x^6$
B.$3x^2 · 2x = 6x^3$
C.$(-2x)^3 = -6x^3$
D.$x^6 ÷ x^2 = x^3$
B
).A.$(-x^2)^3 = x^6$
B.$3x^2 · 2x = 6x^3$
C.$(-2x)^3 = -6x^3$
D.$x^6 ÷ x^2 = x^3$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查整式乘除的基础运算法则，解题思路是逐一分析每个选项，对应运用相关的运算规则计算出正确结果，再和选项给出的结果比对，判断对错即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
1. 验证A选项：根据幂的乘方与积的乘方法则，$(-x^2)^3=(-1)^3×(x^2)^3=-x^{2×3}=-x^6≠ x^6$，因此A选项错误。
2. 验证B选项：根据单项式乘单项式法则，系数相乘作为新的系数，同底数幂相乘底数不变指数相加，$3x^2·2x=(3×2)×(x^2·x)=6x^{2+1}=6x^3$，因此B选项正确。
3. 验证C选项：根据积的乘方法则，$(-2x)^3=(-2)^3× x^3=-8x^3≠-6x^3$，因此C选项错误。
4. 验证D选项：根据同底数幂的除法法则，底数不变指数相减，$x^6÷ x^2=x^{6-2}=x^4≠ x^3$，因此D选项错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式乘法章节的基础常考题，核心是对各类整式运算法则的记忆和运用，尤其要注意运算中符号的处理和指数的变化规律，记准法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查整式乘除的基础运算法则，解题思路是逐一分析每个选项，对应运用相关的运算规则计算出正确结果，再和选项给出的结果比对，判断对错即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
1. 验证A选项：根据幂的乘方与积的乘方法则，$(-x^2)^3=(-1)^3×(x^2)^3=-x^{2×3}=-x^6≠ x^6$，因此A选项错误。
2. 验证B选项：根据单项式乘单项式法则，系数相乘作为新的系数，同底数幂相乘底数不变指数相加，$3x^2·2x=(3×2)×(x^2·x)=6x^{2+1}=6x^3$，因此B选项正确。
3. 验证C选项：根据积的乘方法则，$(-2x)^3=(-2)^3× x^3=-8x^3≠-6x^3$，因此C选项错误。
4. 验证D选项：根据同底数幂的除法法则，底数不变指数相减，$x^6÷ x^2=x^{6-2}=x^4≠ x^3$，因此D选项错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；同底数幂的除法
【点评】
本题是整式乘法章节的基础常考题，核心是对各类整式运算法则的记忆和运用，尤其要注意运算中符号的处理和指数的变化规律，记准法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 运用乘法公式计算$(x+3)^2$的结果是(
A.$x^2+9$
B.$x^2-6x+9$
C.$x^2+6x+9$
D.$x^2+3x+9$
C
).A.$x^2+9$
B.$x^2-6x+9$
C.$x^2+6x+9$
D.$x^2+3x+9$
答案
C
解析
【分析】
本题考查完全平方和公式的应用，解题思路如下：首先明确本题是两个数和的平方运算，对应完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，接下来确定公式里对应的a和b，本题中a是x，b是3，最后将a和b代入公式展开计算即可，注意不要漏掉中间的2倍乘积项，避免出现只算首尾两项的错误。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
在$(x+3)^2$中，$a=x$，$b=3$，代入公式得：
$(x+3)^2 = x^2 + 2× x×3 + 3^2 = x^2 + 6x +9$，
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对完全平方公式的掌握，解题时需注意区分完全平方公式和平方差公式，同时不要遗漏两数乘积的2倍项，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方和公式的应用，解题思路如下：首先明确本题是两个数和的平方运算，对应完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，接下来确定公式里对应的a和b，本题中a是x，b是3，最后将a和b代入公式展开计算即可，注意不要漏掉中间的2倍乘积项，避免出现只算首尾两项的错误。
【解析】
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
在$(x+3)^2$中，$a=x$，$b=3$，代入公式得：
$(x+3)^2 = x^2 + 2× x×3 + 3^2 = x^2 + 6x +9$，
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对完全平方公式的掌握，解题时需注意区分完全平方公式和平方差公式，同时不要遗漏两数乘积的2倍项，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
3. 下列计算中正确的是(
A.$(x+y)(x+y)=x^2+y^2$
B.$(x+1)(x-1)=x^2-1$
C.$(x+2)(x-3)=x^2+x-6$
D.$(x-1)(x+6)=x^2-6$
B
).A.$(x+y)(x+y)=x^2+y^2$
B.$(x+1)(x-1)=x^2-1$
C.$(x+2)(x-3)=x^2+x-6$
D.$(x-1)(x+6)=x^2-6$
答案
B
解析
【分析】
本题考查整式乘法的运算，解题思路是根据多项式乘多项式的运算法则，以及平方差公式的特征，逐个计算每个选项的运算结果，再和选项给出的结果对比，选出计算正确的选项。计算时要注意不要漏乘多项式的项，也要注意每一项的符号，最后合并同类项得到最简结果再判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$(x+y)(x+y)=x· x + x· y + y· x + y· y = x^2 + 2xy + y^2 ≠ x^2+y^2$，故A错误；
B选项：$(x+1)(x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，其中$a=x$，$b=1$，代入得$x^2 - 1^2 = x^2 - 1$，和选项结果一致，故B正确；
C选项：$(x+2)(x-3)=x· x + x· (-3) + 2· x + 2× (-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 ≠ x^2+x-6$，故C错误；
D选项：$(x-1)(x+6)=x· x + x· 6 + (-1)· x + (-1)× 6 = x^2 + 6x - x - 6 = x^2 +5x -6 ≠ x^2-6$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，重点考查对多项式乘法运算规则的掌握，计算时要注意逐项相乘，不要漏乘，同时关注各项的符号，合并同类项时系数运算要准确。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法的运算，解题思路是根据多项式乘多项式的运算法则，以及平方差公式的特征，逐个计算每个选项的运算结果，再和选项给出的结果对比，选出计算正确的选项。计算时要注意不要漏乘多项式的项，也要注意每一项的符号，最后合并同类项得到最简结果再判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$(x+y)(x+y)=x· x + x· y + y· x + y· y = x^2 + 2xy + y^2 ≠ x^2+y^2$，故A错误；
B选项：$(x+1)(x-1)$符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，其中$a=x$，$b=1$，代入得$x^2 - 1^2 = x^2 - 1$，和选项结果一致，故B正确；
C选项：$(x+2)(x-3)=x· x + x· (-3) + 2· x + 2× (-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6 ≠ x^2+x-6$，故C错误；
D选项：$(x-1)(x+6)=x· x + x· 6 + (-1)· x + (-1)× 6 = x^2 + 6x - x - 6 = x^2 +5x -6 ≠ x^2-6$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的常规基础题，重点考查对多项式乘法运算规则的掌握，计算时要注意逐项相乘，不要漏乘，同时关注各项的符号，合并同类项时系数运算要准确。
【难度系数】
0.8
4. 要使$-x^3(x^2 + ax + 1)+2x^4$中不含有x的四次项，则a等于（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“不含x的四次项”的含义是x四次项的系数为0。解题时先按照单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项找到x四次项的系数，令系数等于0即可求出a的值。
【解析】
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&-x^3(x^2 + ax + 1)+2x^4\\=&-x^3· x^2 - x^3· ax - x^3·1 + 2x^4\\=&-x^5 - ax^4 - x^3 + 2x^4\\=&-x^5 + (-a + 2)x^4 - x^3\end{aligned}$
因为整式中不含x的四次项，所以x⁴项的系数为0，可得：
$-a + 2 = 0$
解得：$a=2$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，解题关键是理解“多项式不含某一项即该项系数为0”的规则，掌握整式乘法和合并同类项的运算方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确“不含x的四次项”的含义是x四次项的系数为0。解题时先按照单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项找到x四次项的系数，令系数等于0即可求出a的值。
【解析】
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}&-x^3(x^2 + ax + 1)+2x^4\\=&-x^3· x^2 - x^3· ax - x^3·1 + 2x^4\\=&-x^5 - ax^4 - x^3 + 2x^4\\=&-x^5 + (-a + 2)x^4 - x^3\end{aligned}$
因为整式中不含x的四次项，所以x⁴项的系数为0，可得：
$-a + 2 = 0$
解得：$a=2$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项、多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，解题关键是理解“多项式不含某一项即该项系数为0”的规则，掌握整式乘法和合并同类项的运算方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5.从前，一位庄园主把一块长为a米，宽为b米(a＞b＞100)的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会(
A.变小了
B.变大了
C.没有变化
D.无法确定
A
)。A.变小了
B.变大了
C.没有变化
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断张老汉的租地面积变化，只需分别计算土地调整前后的面积，再通过作差法比较两个面积的大小即可。首先根据长方形面积公式写出原面积和调整后的面积，再利用多项式乘多项式的法则展开调整后的面积表达式，将两个面积作差后，结合已知条件a＞b判断差的正负，就能得出面积的变化情况。
【解析】
首先计算原长方形土地的面积：
原面积 $ S_1 = ab $（平方米）
调整后土地的长为$(a+10)$米，宽为$(b-10)$米，调整后的面积：
$ S_2 = (a+10)(b-10) $
展开多项式乘法：
$ S_2 = ab - 10a + 10b - 100 $
将两个面积作差比较大小：
$ S_1 - S_2 = ab - (ab - 10a + 10b - 100) $
去括号化简得：
$ S_1 - S_2 = 10a - 10b + 100 = 10(a - b) + 100 $
已知$ a ＞ b $，因此$ a - b ＞ 0 $，则$ 10(a - b) + 100 ＞ 0 $，即$ S_1 ＞ S_2 $，说明调整后的租地面积比原来小了。
【答案】
A
【知识点】
整式乘法运算；作差法比较大小；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际租赁场景考查整式乘法的应用，解题核心是掌握作差法比较代数式大小的思路，熟练运用多项式乘多项式的运算法则进行化简计算即可快速得到结论。
【难度系数】
0.7
要判断张老汉的租地面积变化，只需分别计算土地调整前后的面积，再通过作差法比较两个面积的大小即可。首先根据长方形面积公式写出原面积和调整后的面积，再利用多项式乘多项式的法则展开调整后的面积表达式，将两个面积作差后，结合已知条件a＞b判断差的正负，就能得出面积的变化情况。
【解析】
首先计算原长方形土地的面积：
原面积 $ S_1 = ab $（平方米）
调整后土地的长为$(a+10)$米，宽为$(b-10)$米，调整后的面积：
$ S_2 = (a+10)(b-10) $
展开多项式乘法：
$ S_2 = ab - 10a + 10b - 100 $
将两个面积作差比较大小：
$ S_1 - S_2 = ab - (ab - 10a + 10b - 100) $
去括号化简得：
$ S_1 - S_2 = 10a - 10b + 100 = 10(a - b) + 100 $
已知$ a ＞ b $，因此$ a - b ＞ 0 $，则$ 10(a - b) + 100 ＞ 0 $，即$ S_1 ＞ S_2 $，说明调整后的租地面积比原来小了。
【答案】
A
【知识点】
整式乘法运算；作差法比较大小；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际租赁场景考查整式乘法的应用，解题核心是掌握作差法比较代数式大小的思路，熟练运用多项式乘多项式的运算法则进行化简计算即可快速得到结论。
【难度系数】
0.7
6.如图,甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式:①$(2a+b)(m+n)$;②$m(2a+b)+n(2a+b)$;③$2a(m+n)+b(m+n)$;④$2am+2an+bm+bn$.你认为正确的有(
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④
D
).A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④
答案
D
解析
【分析】
要判断四个式子是否正确表示长方形面积，可从整体法和部分求和法两个角度思考：首先确定大长方形的长和宽，用长×宽直接得到面积表达式；再分别通过上下拆分、左右拆分、拆分为最小的6个小长方形求和这三种部分求和的方式，推导对应的面积表达式，验证四个表达式是否均符合即可。
【解析】
我们逐一验证四个式子：
1. 验证①：大长方形的长为$a+a+b=2a+b$，宽为$m+n$，根据长方形面积=长×宽，可得面积为$(2a+b)(m+n)$，故①正确。
2. 验证②：将大长方形按上下两行拆分，上方长方形长为$2a+b$、宽为$m$，面积为$m(2a+b)$；下方长方形长为$2a+b$、宽为$n$，面积为$n(2a+b)$，总面积为两者之和，即$m(2a+b)+n(2a+b)$，故②正确。
3. 验证③：将大长方形按左右两部分拆分，左侧两列组成的长方形宽为$a+a=2a$、长为$m+n$，面积为$2a(m+n)$；右侧一列的长方形宽为$b$、长为$m+n$，面积为$b(m+n)$，总面积为两者之和，即$2a(m+n)+b(m+n)$，故③正确。
4. 验证④：将大长方形拆分为6个小长方形，分别计算面积后求和：2个长$a$宽$m$的小长方形面积和为$2am$，2个长$a$宽$n$的小长方形面积和为$2an$，1个长$b$宽$m$的长方形面积为$bm$，1个长$b$宽$n$的长方形面积为$bn$，总面积为$2am+2an+bm+bn$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算，整式乘法，乘法分配律
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过不同拆分方式表示同一图形的面积，能够直观帮助理解整式乘法的运算原理，掌握面积的不同计算方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要判断四个式子是否正确表示长方形面积，可从整体法和部分求和法两个角度思考：首先确定大长方形的长和宽，用长×宽直接得到面积表达式；再分别通过上下拆分、左右拆分、拆分为最小的6个小长方形求和这三种部分求和的方式，推导对应的面积表达式，验证四个表达式是否均符合即可。
【解析】
我们逐一验证四个式子：
1. 验证①：大长方形的长为$a+a+b=2a+b$，宽为$m+n$，根据长方形面积=长×宽，可得面积为$(2a+b)(m+n)$，故①正确。
2. 验证②：将大长方形按上下两行拆分，上方长方形长为$2a+b$、宽为$m$，面积为$m(2a+b)$；下方长方形长为$2a+b$、宽为$n$，面积为$n(2a+b)$，总面积为两者之和，即$m(2a+b)+n(2a+b)$，故②正确。
3. 验证③：将大长方形按左右两部分拆分，左侧两列组成的长方形宽为$a+a=2a$、长为$m+n$，面积为$2a(m+n)$；右侧一列的长方形宽为$b$、长为$m+n$，面积为$b(m+n)$，总面积为两者之和，即$2a(m+n)+b(m+n)$，故③正确。
4. 验证④：将大长方形拆分为6个小长方形，分别计算面积后求和：2个长$a$宽$m$的小长方形面积和为$2am$，2个长$a$宽$n$的小长方形面积和为$2an$，1个长$b$宽$m$的长方形面积为$bm$，1个长$b$宽$n$的长方形面积为$bn$，总面积为$2am+2an+bm+bn$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
D
【知识点】
长方形面积计算，整式乘法，乘法分配律
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过不同拆分方式表示同一图形的面积，能够直观帮助理解整式乘法的运算原理，掌握面积的不同计算方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
7.为了应用平方差公式计算$(a-b+c)(a+b-c)$，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是(
A.$[(a+c)-b][(a-c)+b]$
B.$[(a-b)+c][(a+b)-c]$
C.$[(b+c)-a][(b-c)+a]$
D.$[a-(b-c)][a+(b-c)]$
D
).A.$[(a+c)-b][(a-c)+b]$
B.$[(a-b)+c][(a+b)-c]$
C.$[(b+c)-a][(b-c)+a]$
D.$[a-(b-c)][a+(b-c)]$
答案
D
解析
【分析】
要使用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个相乘的式子中，存在一项完全相同，剩下的项互为相反数。解题时先观察原式$(a-b+c)(a+b-c)$，先找出两个因式中完全相同的项，再把剩余的部分整理成互为相反数的形式，再对照选项判断即可。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boxed{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$，特征是两个因式中有一项$m$完全相同，另一项$n$和$-n$互为相反数。
观察原式：
两个因式中相同的项是$a$；第一个因式中除$a$外的部分是$-b+c=-(b-c)$，第二个因式中除$a$外的部分是$+b-c=+(b-c)$，二者互为相反数。
因此原式可变形为：$[a-(b-c)][a+(b-c)]$，符合平方差公式的结构，对应选项D。
其余选项验证：
A选项变形后无统一的相同项和相反项，不符合平方差要求；
B选项变形后两个因式中没有同时满足的相同项和相反项，无法直接套用平方差公式；
C选项变形后改变了原式各项的符号逻辑，与原式不相等，变形错误。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式的结构、添括号法则、整式变形
【点评】
本题考查平方差公式的应用前提，核心是准确识别两个多项式中的相同项和相反项，正确运用添括号法则对原式进行变形，是整式乘法模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要使用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个相乘的式子中，存在一项完全相同，剩下的项互为相反数。解题时先观察原式$(a-b+c)(a+b-c)$，先找出两个因式中完全相同的项，再把剩余的部分整理成互为相反数的形式，再对照选项判断即可。
【解析】
平方差公式的形式为：$\boxed{(m+n)(m-n)=m^2-n^2}$，特征是两个因式中有一项$m$完全相同，另一项$n$和$-n$互为相反数。
观察原式：
两个因式中相同的项是$a$；第一个因式中除$a$外的部分是$-b+c=-(b-c)$，第二个因式中除$a$外的部分是$+b-c=+(b-c)$，二者互为相反数。
因此原式可变形为：$[a-(b-c)][a+(b-c)]$，符合平方差公式的结构，对应选项D。
其余选项验证：
A选项变形后无统一的相同项和相反项，不符合平方差要求；
B选项变形后两个因式中没有同时满足的相同项和相反项，无法直接套用平方差公式；
C选项变形后改变了原式各项的符号逻辑，与原式不相等，变形错误。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式的结构、添括号法则、整式变形
【点评】
本题考查平方差公式的应用前提，核心是准确识别两个多项式中的相同项和相反项，正确运用添括号法则对原式进行变形，是整式乘法模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
8. 传统文化 杨辉三角 杨辉三角是数学之花，是中国古代数学的伟大成就.它有许多有趣的性质和用途，这个由数字排列成的三角形数就称为杨辉三角，如图，其中每一横行都表示$(a+b)^n$（此处$n$为自然数）的展开式中各项的系数，那么$(a+b)^6$的展开式中第四项的系数为(
A.8
B.10
C.18
D.20
D
).A.8
B.10
C.18
D.20
答案
D [解析]根据杨辉三角中的系数规律可得，$(a+b)^4$的各项系数为1,4,6,4,1，$(a+b)^5$的各项系数为1,5,10,10,5,1，$(a+b)^6$的各项系数为1,6,15,20,15,6,1，则$(a+b)^6$的展开式中的第四项系数为20，故选D.
解析
【分析】
解答本题首先要明确杨辉三角的数字排列规律：每一行的首尾数字都是1，除首尾外的每个数字都等于它正上方相邻两个数字的和。我们可以先根据题目给出的前几行系数，逐步推出$(a+b)^4$、$(a+b)^5$、$(a+b)^6$的展开式各项系数，再找到$(a+b)^6$第四项对应的系数即可。
【解析】
首先观察已知的杨辉三角前几行对应的系数：
$(a+b)^0$的系数：1
$(a+b)^1$的系数：1，1
$(a+b)^2$的系数：1，2，1
$(a+b)^3$的系数：1，3，3，1
根据杨辉三角的规律，依次推导后续行的系数：
1. 推导$(a+b)^4$的系数：首尾为1，中间每个数为上一行相邻两数之和，即1，$1+3=4$，$3+3=6$，$3+1=4$，1，所以系数为1，4，6，4，1；
2. 推导$(a+b)^5$的系数：首尾为1，后续依次为$1+4=5$，$4+6=10$，$6+4=10$，$4+1=5$，1，所以系数为1，5，10，10，5，1；
3. 推导$(a+b)^6$的系数：首尾为1，后续依次为$1+5=6$，$5+10=15$，$10+10=20$，$10+5=15$，$5+1=6$，1，所以系数为1，6，15，20，15，6，1。
展开式的项按从左到右顺序数，第四项的系数为20，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
杨辉三角规律；数字规律探究；整式乘方展开
【点评】
本题以中国古代数学成就杨辉三角为背景，考查对数字规律的观察、推导和应用能力，解题的核心是掌握杨辉三角的数字排列特征，题目同时传递了传统数学文化的相关知识，兼具知识性和趣味性。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确杨辉三角的数字排列规律：每一行的首尾数字都是1，除首尾外的每个数字都等于它正上方相邻两个数字的和。我们可以先根据题目给出的前几行系数，逐步推出$(a+b)^4$、$(a+b)^5$、$(a+b)^6$的展开式各项系数，再找到$(a+b)^6$第四项对应的系数即可。
【解析】
首先观察已知的杨辉三角前几行对应的系数：
$(a+b)^0$的系数：1
$(a+b)^1$的系数：1，1
$(a+b)^2$的系数：1，2，1
$(a+b)^3$的系数：1，3，3，1
根据杨辉三角的规律，依次推导后续行的系数：
1. 推导$(a+b)^4$的系数：首尾为1，中间每个数为上一行相邻两数之和，即1，$1+3=4$，$3+3=6$，$3+1=4$，1，所以系数为1，4，6，4，1；
2. 推导$(a+b)^5$的系数：首尾为1，后续依次为$1+4=5$，$4+6=10$，$6+4=10$，$4+1=5$，1，所以系数为1，5，10，10，5，1；
3. 推导$(a+b)^6$的系数：首尾为1，后续依次为$1+5=6$，$5+10=15$，$10+10=20$，$10+5=15$，$5+1=6$，1，所以系数为1，6，15，20，15，6，1。
展开式的项按从左到右顺序数，第四项的系数为20，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
杨辉三角规律；数字规律探究；整式乘方展开
【点评】
本题以中国古代数学成就杨辉三角为背景，考查对数字规律的观察、推导和应用能力，解题的核心是掌握杨辉三角的数字排列特征，题目同时传递了传统数学文化的相关知识，兼具知识性和趣味性。
【难度系数】
0.7
9. 计算：$(-5a^{4})· (-8ab^{2})=$
$40a^5b^2$
。答案
$40a^5b^2$
解析
【分析】
这是单项式与单项式相乘的运算，解题时可按照单项式乘法的运算步骤思考：第一步先确定积的符号，两个负因数相乘结果为正；第二步计算系数的乘积；第三步处理同底数幂，按照同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的规则计算相同字母的幂次；第四步把只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式，最后把各部分结果组合即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数与符号：$(-5)×(-8)=40$
2. 计算同底数幂$a$的乘积：$a^4 · a = a^{4+1}=a^5$
3. 保留仅在第二个单项式中出现的因式$b^2$
4. 组合各部分结果，得到最终运算结果。
【答案】
$40a^5b^2$
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考查单项式乘法的运算规则，计算时需注意符号判断、同底数幂的指数运算，避免漏写仅在单个单项式中存在的字母因式。
【难度系数】
0.9
这是单项式与单项式相乘的运算，解题时可按照单项式乘法的运算步骤思考：第一步先确定积的符号，两个负因数相乘结果为正；第二步计算系数的乘积；第三步处理同底数幂，按照同底数幂相乘“底数不变，指数相加”的规则计算相同字母的幂次；第四步把只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式，最后把各部分结果组合即可得到最终答案。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则计算：
1. 计算系数与符号：$(-5)×(-8)=40$
2. 计算同底数幂$a$的乘积：$a^4 · a = a^{4+1}=a^5$
3. 保留仅在第二个单项式中出现的因式$b^2$
4. 组合各部分结果，得到最终运算结果。
【答案】
$40a^5b^2$
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考查单项式乘法的运算规则，计算时需注意符号判断、同底数幂的指数运算，避免漏写仅在单个单项式中存在的字母因式。
【难度系数】
0.9
10. $3x^2(4x - 3)=$
$2ab·($
$12x^3-9x^2$
；$2ab·($
$3ac$
$)=6a^2bc.$答案
$12x^3-9x^2$；$3ac$
解析
【分析】
第1个空考查单项式乘多项式的运算，解题时需依据单项式乘多项式法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，分步计算即可。第2个空是已知乘积与其中一个因式，求另一个因式，可转化为单项式除以单项式运算，依据法则：系数相除，同底数幂分别相除，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式，计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算$3x^2(4x - 3)$：
根据单项式乘多项式法则展开：
$3x^2(4x - 3)=3x^2·4x + 3x^2·(-3)$
分别计算两项：
$3x^2·4x=12x^{2+1}=12x^3$，$3x^2·(-3)=-9x^2$
合并得结果：$12x^3-9x^2$。
2. 求括号内的整式：
设括号内的整式为$A$，由题意得$A=6a^2bc÷2ab$
根据单项式除以单项式法则计算：
系数相除：$6÷2=3$
同底数幂相除：$a^2÷ a=a$，$b÷ b=1$
保留仅在被除式中出现的字母$c$
因此$A=3ac$。
【答案】
$12x^3-9x^2$；$3ac$
【知识点】
单项式乘多项式；单项式除以单项式
【点评】
本题是整式乘除的基础运算题，核心考查运算法则的掌握情况，解题时需注意指数的运算规则，不要漏乘多项式的项，也不要漏写仅在被除式中存在的字母。
【难度系数】
0.9
第1个空考查单项式乘多项式的运算，解题时需依据单项式乘多项式法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加，分步计算即可。第2个空是已知乘积与其中一个因式，求另一个因式，可转化为单项式除以单项式运算，依据法则：系数相除，同底数幂分别相除，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式，计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算$3x^2(4x - 3)$：
根据单项式乘多项式法则展开：
$3x^2(4x - 3)=3x^2·4x + 3x^2·(-3)$
分别计算两项：
$3x^2·4x=12x^{2+1}=12x^3$，$3x^2·(-3)=-9x^2$
合并得结果：$12x^3-9x^2$。
2. 求括号内的整式：
设括号内的整式为$A$，由题意得$A=6a^2bc÷2ab$
根据单项式除以单项式法则计算：
系数相除：$6÷2=3$
同底数幂相除：$a^2÷ a=a$，$b÷ b=1$
保留仅在被除式中出现的字母$c$
因此$A=3ac$。
【答案】
$12x^3-9x^2$；$3ac$
【知识点】
单项式乘多项式；单项式除以单项式
【点评】
本题是整式乘除的基础运算题，核心考查运算法则的掌握情况，解题时需注意指数的运算规则，不要漏乘多项式的项，也不要漏写仅在被除式中存在的字母。
【难度系数】
0.9
11.若单项式$-6x^{2}y^{m}$与$\frac{1}{3}x^{n-1}y^{3}$是同类项，
则这两个单项式的积是
则这两个单项式的积是
$-2x^4y^6$
。答案
$-2x^4y^6$
解析
【分析】
解题时首先要明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项。第一步先根据同类项的定义分别求出m、n的值；第二步将m、n的值代入两个单项式中，再按照单项式乘单项式的运算法则计算乘积即可，计算时要注意系数的符号和同底数幂的运算规则。
【解析】
∵ 单项式$-6x^{2}y^{m}$与$\frac{1}{3}x^{n-1}y^{3}$是同类项
∴ 相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}n-1=2\\m=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}n=3\\m=3\end{cases}$
则两个单项式分别为$-6x^{2}y^{3}$和$\frac{1}{3}x^{2}y^{3}$
计算两个单项式的积：
$\begin{aligned}-6x^{2}y^{3} × \frac{1}{3}x^{2}y^{3}&=(-6×\frac{1}{3})×(x^{2}· x^{2})×(y^{3}· y^{3})\\&=-2x^{2+2}y^{3+3}\\&=-2x^{4}y^{6}\end{aligned}$
【答案】
$-2x^4y^6$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先利用同类项的性质求出未知指数的值，再按整式乘法的运算法则计算，计算时要注意系数的符号，同底数幂相乘时指数相加，避免出现运算规则混淆的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式是同类项。第一步先根据同类项的定义分别求出m、n的值；第二步将m、n的值代入两个单项式中，再按照单项式乘单项式的运算法则计算乘积即可，计算时要注意系数的符号和同底数幂的运算规则。
【解析】
∵ 单项式$-6x^{2}y^{m}$与$\frac{1}{3}x^{n-1}y^{3}$是同类项
∴ 相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}n-1=2\\m=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}n=3\\m=3\end{cases}$
则两个单项式分别为$-6x^{2}y^{3}$和$\frac{1}{3}x^{2}y^{3}$
计算两个单项式的积：
$\begin{aligned}-6x^{2}y^{3} × \frac{1}{3}x^{2}y^{3}&=(-6×\frac{1}{3})×(x^{2}· x^{2})×(y^{3}· y^{3})\\&=-2x^{2+2}y^{3+3}\\&=-2x^{4}y^{6}\end{aligned}$
【答案】
$-2x^4y^6$
【知识点】
同类项的定义；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是先利用同类项的性质求出未知指数的值，再按整式乘法的运算法则计算，计算时要注意系数的符号，同底数幂相乘时指数相加，避免出现运算规则混淆的错误。
【难度系数】
0.8
12. 若$a=-2,b=-\dfrac{1}{2}$,则$a^{2n}·(ab^{n+1})^2=$
$1$
.答案
$1$
解析
【分析】
遇到这类含幂运算的代数式求值题，优先选择先化简再代值的思路，避免直接代入带来的复杂计算。首先回忆幂的相关运算法则，先利用积的乘方法则展开括号，再用幂的乘方、同底数幂乘法法则合并同类项，最后观察化简后的式子特征，逆用积的乘方公式代入数值计算即可，无需考虑指数n的具体取值。
【解析】
首先利用幂的运算性质化简原式：
1. 根据积的乘方法则展开括号：
$a^{2n}·(ab^{n+1})^2=a^{2n}·a^2·(b^{n+1})^2$
2. 根据幂的乘方法则、同底数幂乘法法则计算：
$=a^{2n+2}·b^{2n+2}$
3. 逆用积的乘方公式合并：
$=(ab)^{2n+2}$
代入$a=-2$，$b=-\dfrac{1}{2}$，先计算$ab$的值：
$ab=(-2)×(-\dfrac{1}{2})=1$
因此原式$=1^{2n+2}=1$（1的任意正整数次幂都等于1）
【答案】
$1$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂乘法
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的综合应用，先化简再求值的思路能大幅降低计算量，逆用积的乘方公式是解题的关键技巧，可避免处理复杂的指数运算。
【难度系数】
0.8
遇到这类含幂运算的代数式求值题，优先选择先化简再代值的思路，避免直接代入带来的复杂计算。首先回忆幂的相关运算法则，先利用积的乘方法则展开括号，再用幂的乘方、同底数幂乘法法则合并同类项，最后观察化简后的式子特征，逆用积的乘方公式代入数值计算即可，无需考虑指数n的具体取值。
【解析】
首先利用幂的运算性质化简原式：
1. 根据积的乘方法则展开括号：
$a^{2n}·(ab^{n+1})^2=a^{2n}·a^2·(b^{n+1})^2$
2. 根据幂的乘方法则、同底数幂乘法法则计算：
$=a^{2n+2}·b^{2n+2}$
3. 逆用积的乘方公式合并：
$=(ab)^{2n+2}$
代入$a=-2$，$b=-\dfrac{1}{2}$，先计算$ab$的值：
$ab=(-2)×(-\dfrac{1}{2})=1$
因此原式$=1^{2n+2}=1$（1的任意正整数次幂都等于1）
【答案】
$1$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，同底数幂乘法
【点评】
本题主要考查幂的运算性质的综合应用，先化简再求值的思路能大幅降低计算量，逆用积的乘方公式是解题的关键技巧，可避免处理复杂的指数运算。
【难度系数】
0.8
13.若$(a^{n}b· ab^{m})^{3}=a^{9}b^{15}$,则$m· n=$
$8$
.答案
$8$
解析
【分析】
解题时先利用同底数幂的乘法法则化简括号内的单项式乘积，再运用积的乘方与幂的乘方法则计算括号外的三次方，最后根据等式左右两边相同底数的幂的指数相等，分别列方程求出m、n的值，代入计算m·n即可。
【解析】
首先化简等式左边的式子：
1. 计算括号内的单项式乘法：
$a^{n}b· ab^{m} = a^{n+1}·b^{1+m}$（同底数幂相乘，底数不变，指数相加，单独字母的指数默认为1）
2. 对化简后的结果进行三次方运算：
$(a^{n+1}b^{m+1})^{3} = a^{3(n+1)}b^{3(m+1)}$（积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变、指数相乘）
3. 对比等式左右两边相同底数的指数，列方程求解：
对应a的指数：$3(n+1)=9$，解得$n=2$
对应b的指数：$3(m+1)=15$，解得$m=4$
4. 计算乘积：$m·n=4×2=8$
【答案】
$8$
【知识点】
同底数幂的乘法、积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是整式乘法章节的常规基础题，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题关键是准确掌握各类幂运算的规则，通过指数对应相等建立方程求解参数，是整式混合运算的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先利用同底数幂的乘法法则化简括号内的单项式乘积，再运用积的乘方与幂的乘方法则计算括号外的三次方，最后根据等式左右两边相同底数的幂的指数相等，分别列方程求出m、n的值，代入计算m·n即可。
【解析】
首先化简等式左边的式子：
1. 计算括号内的单项式乘法：
$a^{n}b· ab^{m} = a^{n+1}·b^{1+m}$（同底数幂相乘，底数不变，指数相加，单独字母的指数默认为1）
2. 对化简后的结果进行三次方运算：
$(a^{n+1}b^{m+1})^{3} = a^{3(n+1)}b^{3(m+1)}$（积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变、指数相乘）
3. 对比等式左右两边相同底数的指数，列方程求解：
对应a的指数：$3(n+1)=9$，解得$n=2$
对应b的指数：$3(m+1)=15$，解得$m=4$
4. 计算乘积：$m·n=4×2=8$
【答案】
$8$
【知识点】
同底数幂的乘法、积的乘方运算、幂的乘方运算
【点评】
本题是整式乘法章节的常规基础题，核心考查幂的相关运算法则的应用，解题关键是准确掌握各类幂运算的规则，通过指数对应相等建立方程求解参数，是整式混合运算的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
14.已知$a+b=-8$，$ab=12$，则$(a-b)^2=$
$16$
答案
$16$
解析
【分析】
解题的核心是灵活运用完全平方公式的变形关系。我们需要求$(a-b)^2$，首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对比两个式子可推导得出$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，刚好已知$a+b$和$ab$的数值，直接代入变形后的式子计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能大幅简化计算过程。
【解析】
根据完全平方公式推导待求式的变形：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\&=a^2+2ab+b^2-4ab\\&=(a+b)^2-4ab\end{aligned}$
将$a+b=-8$，$ab=12$代入上式计算：
$\begin{aligned}原式&=(-8)^2 - 4×12\\&=64 - 48\\&=16\end{aligned}$
【答案】
$16$
【知识点】
完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题是整式乘法章节的典型基础题，主要考查完全平方公式的变形应用，通过将待求式转化为含已知条件的形式，可规避求解未知数的繁琐步骤，掌握公式变形是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题的核心是灵活运用完全平方公式的变形关系。我们需要求$(a-b)^2$，首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对比两个式子可推导得出$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，刚好已知$a+b$和$ab$的数值，直接代入变形后的式子计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能大幅简化计算过程。
【解析】
根据完全平方公式推导待求式的变形：
$\begin{aligned}(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\\&=a^2+2ab+b^2-4ab\\&=(a+b)^2-4ab\end{aligned}$
将$a+b=-8$，$ab=12$代入上式计算：
$\begin{aligned}原式&=(-8)^2 - 4×12\\&=64 - 48\\&=16\end{aligned}$
【答案】
$16$
【知识点】
完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题是整式乘法章节的典型基础题，主要考查完全平方公式的变形应用，通过将待求式转化为含已知条件的形式，可规避求解未知数的繁琐步骤，掌握公式变形是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
15. 若$a^2 + a + 1 = 2$，则$(5 - a)(6 + a) =$
$29$
。答案
$29$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，将已知等式移项化简可得到$a^2+a$的值；再利用多项式乘多项式的法则将待求的$(5 - a)(6 + a)$展开、整理，会发现整理后的式子中包含$a^2+a$这个整体，最后将$a^2+a$的值整体代入计算即可，无需单独求解$a$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
第一步：化简已知条件
已知$a^2 + a + 1 = 2$，移项可得：
$a^2 + a = 2 - 1 = 1$
第二步：展开并整理待求代数式
根据多项式乘多项式法则展开$(5 - a)(6 + a)$：
$\begin{aligned}(5 - a)(6 + a)&=5×6 + 5× a - a×6 - a× a\\&=30 + 5a - 6a - a^2\\&=30 - a - a^2\\&=30 - (a^2 + a)\end{aligned}$
第三步：整体代入求值
将$a^2 + a = 1$代入上式：
$30 - (a^2 + a) = 30 - 1 = 29$
【答案】
$29$
【知识点】
多项式乘多项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是整式乘法中典型的求值类题型，重点考查整式乘法的运算规则和整体代入的求值思想，避开直接求解未知数的繁琐，通过观察式子结构找到可代入的整体部分即可快速解题，需要注意多项式乘法运算时的符号问题，避免展开出错。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，将已知等式移项化简可得到$a^2+a$的值；再利用多项式乘多项式的法则将待求的$(5 - a)(6 + a)$展开、整理，会发现整理后的式子中包含$a^2+a$这个整体，最后将$a^2+a$的值整体代入计算即可，无需单独求解$a$的具体数值，简化计算过程。
【解析】
第一步：化简已知条件
已知$a^2 + a + 1 = 2$，移项可得：
$a^2 + a = 2 - 1 = 1$
第二步：展开并整理待求代数式
根据多项式乘多项式法则展开$(5 - a)(6 + a)$：
$\begin{aligned}(5 - a)(6 + a)&=5×6 + 5× a - a×6 - a× a\\&=30 + 5a - 6a - a^2\\&=30 - a - a^2\\&=30 - (a^2 + a)\end{aligned}$
第三步：整体代入求值
将$a^2 + a = 1$代入上式：
$30 - (a^2 + a) = 30 - 1 = 29$
【答案】
$29$
【知识点】
多项式乘多项式、代数式求值、整体代入法
【点评】
本题是整式乘法中典型的求值类题型，重点考查整式乘法的运算规则和整体代入的求值思想，避开直接求解未知数的繁琐，通过观察式子结构找到可代入的整体部分即可快速解题，需要注意多项式乘法运算时的符号问题，避免展开出错。
【难度系数】
0.8
