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16. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对$(a,b)$进入其中时，会得到一个新的数：$(a-1)×(b-2)$. 现将数对$(m,1)$放入其中得到数$n$，再将数对$(n,m)$放入其中后，那么最后得到的数是________.(结果用含$m$的代数式表示，并化简)
答案
$-m^2+2m$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解魔术盒的新运算规则：任意数对$(a,b)$放入后得到的结果为第一个数减1的差乘第二个数减2的差。我们分两步计算：第一步先将数对$(m,1)$代入规则，求出$n$的含$m$的表达式；第二步再将数对$(n,m)$代入规则，把$n$替换为第一步得到的表达式，最后按照整式乘法的规则化简即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算数对$(m,1)$放入魔术盒得到的$n$
根据新运算规则，代入$a=m$，$b=1$：
$\begin{aligned}n&=(m-1)×(1-2)\\&=(m-1)×(-1)\\&=1-m\end{aligned}$
第二步：将数对$(n,m)$放入魔术盒计算最终结果
此时代入$a=n=1-m$，$b=m$：
最终结果$=(n-1)×(m-2)$
把$n=1-m$代入上式：
$\begin{aligned}&=(1-m-1)×(m-2)\\&=(-m)×(m-2)\\&=-m× m + (-m)×(-2)\\&=-m^2+2m\end{aligned}$
【答案】
$-m^2+2m$
【知识点】
新定义运算、整式乘法、代数式化简
【点评】
本题属于新定义类的基础运算题，核心是正确理解新运算的规则，按顺序分步代入计算，计算过程中要注意符号的处理，熟练掌握整式乘法的运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解魔术盒的新运算规则：任意数对$(a,b)$放入后得到的结果为第一个数减1的差乘第二个数减2的差。我们分两步计算：第一步先将数对$(m,1)$代入规则，求出$n$的含$m$的表达式；第二步再将数对$(n,m)$代入规则，把$n$替换为第一步得到的表达式，最后按照整式乘法的规则化简即可得到最终结果。
【解析】
第一步：计算数对$(m,1)$放入魔术盒得到的$n$
根据新运算规则，代入$a=m$，$b=1$：
$\begin{aligned}n&=(m-1)×(1-2)\\&=(m-1)×(-1)\\&=1-m\end{aligned}$
第二步：将数对$(n,m)$放入魔术盒计算最终结果
此时代入$a=n=1-m$，$b=m$：
最终结果$=(n-1)×(m-2)$
把$n=1-m$代入上式：
$\begin{aligned}&=(1-m-1)×(m-2)\\&=(-m)×(m-2)\\&=-m× m + (-m)×(-2)\\&=-m^2+2m\end{aligned}$
【答案】
$-m^2+2m$
【知识点】
新定义运算、整式乘法、代数式化简
【点评】
本题属于新定义类的基础运算题，核心是正确理解新运算的规则，按顺序分步代入计算，计算过程中要注意符号的处理，熟练掌握整式乘法的运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
17.如图，大正方形与小正方形的面积之差是16，则阴影部分的面积是
$8$
.答案
8 [解析]设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，故阴影部分的面积是$\frac{1}{2}AE·BC+\frac{1}{2}AE·BD=\frac{1}{2}AE·(BC+BD)=\frac{1}{2}(AB-BE)(BC+BD)=\frac{1}{2}(a-b)(a+b)=\frac{1}{2}(a^2-b^2)=\frac{1}{2}×16=8.$
解析
【分析】
解题时先观察阴影部分的构成：它由△ACE和△ADE两个三角形组成，我们可以先设大正方形边长为a，小正方形边长为b，先分别表示出两个三角形的面积，再提取公因式合并化简，结合平方差公式可以发现化简后的式子正好和大小正方形的面积差相关，最后代入已知的面积差即可求出阴影部分的面积，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，由题意得大小正方形的面积差为$a^2 - b^2 =16$。
阴影部分的面积为$△ ACE$的面积与$△ ADE$的面积之和：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ACE}+S_{△ ADE}$
$=\frac{1}{2} · AE · BC + \frac{1}{2} · AE · BD$
提取公因式$\frac{1}{2}AE$可得：
$=\frac{1}{2}AE · (BC + BD)$
其中$AE=AB-BE=a-b$，$BC=a$，$BD=b$，代入得：
$=\frac{1}{2}(a-b)(a+b)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，代入得：
$=\frac{1}{2}(a^2 - b^2)$
将$a^2 - b^2=16$代入计算：
$=\frac{1}{2} × 16 =8$
【答案】
8
【知识点】
三角形面积计算，平方差公式，整式化简
【点评】
本题将几何面积求解与整式运算结合，解题的核心是正确拆分阴影部分面积，通过化简发现和已知面积差的关联，利用整体代入的思想计算，避免了单独求解边长的繁琐，是数形结合的典型习题。
【难度系数】
0.6
解题时先观察阴影部分的构成：它由△ACE和△ADE两个三角形组成，我们可以先设大正方形边长为a，小正方形边长为b，先分别表示出两个三角形的面积，再提取公因式合并化简，结合平方差公式可以发现化简后的式子正好和大小正方形的面积差相关，最后代入已知的面积差即可求出阴影部分的面积，不需要单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：设大正方形的边长为$a$，小正方形的边长为$b$，由题意得大小正方形的面积差为$a^2 - b^2 =16$。
阴影部分的面积为$△ ACE$的面积与$△ ADE$的面积之和：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ACE}+S_{△ ADE}$
$=\frac{1}{2} · AE · BC + \frac{1}{2} · AE · BD$
提取公因式$\frac{1}{2}AE$可得：
$=\frac{1}{2}AE · (BC + BD)$
其中$AE=AB-BE=a-b$，$BC=a$，$BD=b$，代入得：
$=\frac{1}{2}(a-b)(a+b)$
根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2 - b^2$，代入得：
$=\frac{1}{2}(a^2 - b^2)$
将$a^2 - b^2=16$代入计算：
$=\frac{1}{2} × 16 =8$
【答案】
8
【知识点】
三角形面积计算，平方差公式，整式化简
【点评】
本题将几何面积求解与整式运算结合，解题的核心是正确拆分阴影部分面积，通过化简发现和已知面积差的关联，利用整体代入的思想计算，避免了单独求解边长的繁琐，是数形结合的典型习题。
【难度系数】
0.6
18.设有边长分别为$a$和$b(a＞b)$的A类和B类正方形纸片、长为$a$宽为$b$的C类长方形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为$a+b$的正方形,需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形,则需要C类纸片的张数为
$8$
.答案
$8$
解析
【分析】
要计算拼成长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形所需C类纸片的张数，首先明确三类纸片的面积：A类正方形面积为$a^2$，B类正方形面积为$b^2$，C类长方形面积为$ab$。拼接前后总面积相等，因此先计算目标长方形的面积，将其展开为多项式后，$ab$项的系数就是需要C类纸片的张数。
【解析】
首先计算目标长方形的面积：
$\begin{aligned}(3a+b)(2a+2b)&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
因为C类纸片的面积为$ab$，展开式中$ab$项的系数为8，因此需要C类纸片8张。
【答案】
$8$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；面积拼接
【点评】
本题结合几何图形的面积拼接考查整式乘法的应用，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的特点，通过展开整式乘法找到对应项的系数即可求解，是整式乘法的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
要计算拼成长为$3a+b$、宽为$2a+2b$的长方形所需C类纸片的张数，首先明确三类纸片的面积：A类正方形面积为$a^2$，B类正方形面积为$b^2$，C类长方形面积为$ab$。拼接前后总面积相等，因此先计算目标长方形的面积，将其展开为多项式后，$ab$项的系数就是需要C类纸片的张数。
【解析】
首先计算目标长方形的面积：
$\begin{aligned}(3a+b)(2a+2b)&=3a·2a + 3a·2b + b·2a + b·2b\\&=6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2\\&=6a^2 + 8ab + 2b^2\end{aligned}$
因为C类纸片的面积为$ab$，展开式中$ab$项的系数为8，因此需要C类纸片8张。
【答案】
$8$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；面积拼接
【点评】
本题结合几何图形的面积拼接考查整式乘法的应用，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的特点，通过展开整式乘法找到对应项的系数即可求解，是整式乘法的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题
19. 计算：
(1)$0.25a^2 · 4a$；
(2)$\frac{3}{4}a^2b^3 · (-\frac{8}{9}abc)$；
(3)$-3a(a-b)^2$；
(4)$(x-y)^2 - (x-2y)(x+y)$。
19. 计算：
(1)$0.25a^2 · 4a$；
(2)$\frac{3}{4}a^2b^3 · (-\frac{8}{9}abc)$；
(3)$-3a(a-b)^2$；
(4)$(x-y)^2 - (x-2y)(x+y)$。
答案
(1)原式=$a^3$.
(2)原式=$-\frac{2}{3}a^3b^4c$.
(3)原式=$-3a(a^2-2ab+b^2)$
$=-3a^3+6a^2b-3ab^2$.
(4)原式=$3y^2-xy$.
(2)原式=$-\frac{2}{3}a^3b^4c$.
(3)原式=$-3a(a^2-2ab+b^2)$
$=-3a^3+6a^2b-3ab^2$.
(4)原式=$3y^2-xy$.
解析
【分析】
这4道小题均属于整式乘法的基础运算题，解题思路清晰：(1)(2)为单项式乘单项式，按照“系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中含有的字母连同指数直接作为积的因式”的规则计算即可；(3)先利用完全平方公式展开$(a-b)^2$，再用单项式乘多项式的规则，让$-3a$乘展开后多项式的每一项，注意符号不要出错；(4)先分别计算完全平方、多项式乘多项式，再去括号，最后合并同类项得到结果，去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 分别计算系数乘积和同底数幂乘积：
原式$=(0.25×4)·(a^2·a)=1×a^3=a^3$。
(2) 先算系数乘积，再分别计算同底数幂的乘积，保留仅在一个单项式中出现的字母$c$：
原式$=[\frac{3}{4}×(-\frac{8}{9})]·(a^2·a)·(b^3·b)·c=-\frac{2}{3}a^3b^4c$。
(3) 先展开完全平方，再用单项式乘多项式每一项：
原式$=-3a(a^2-2ab+b^2)$
$=-3a·a^2 + (-3a)·(-2ab) + (-3a)·b^2$
$=-3a^3+6a^2b-3ab^2$。
(4) 先分别计算完全平方、多项式乘多项式，再去括号合并同类项：
原式$=(x^2-2xy+y^2) - (x^2+xy-2xy-2y^2)$
$=x^2-2xy+y^2 -x^2 +xy +2y^2$
$=3y^2-xy$。
【答案】
(1)$a^3$；(2)$-\frac{2}{3}a^3b^4c$；(3)$-3a^3+6a^2b-3ab^2$；(4)$3y^2-xy$
【知识点】
单项式乘单项式，整式乘法运算，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，重点考查基础运算规则的掌握程度，计算时要注意符号处理、指数运算的正确性，合并同类项时要准确识别同类项，避免漏项、错项。
【难度系数】
0.8
这4道小题均属于整式乘法的基础运算题，解题思路清晰：(1)(2)为单项式乘单项式，按照“系数相乘作为积的系数，同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中含有的字母连同指数直接作为积的因式”的规则计算即可；(3)先利用完全平方公式展开$(a-b)^2$，再用单项式乘多项式的规则，让$-3a$乘展开后多项式的每一项，注意符号不要出错；(4)先分别计算完全平方、多项式乘多项式，再去括号，最后合并同类项得到结果，去括号时若括号前是负号，括号内各项要变号。
【解析】
(1) 分别计算系数乘积和同底数幂乘积：
原式$=(0.25×4)·(a^2·a)=1×a^3=a^3$。
(2) 先算系数乘积，再分别计算同底数幂的乘积，保留仅在一个单项式中出现的字母$c$：
原式$=[\frac{3}{4}×(-\frac{8}{9})]·(a^2·a)·(b^3·b)·c=-\frac{2}{3}a^3b^4c$。
(3) 先展开完全平方，再用单项式乘多项式每一项：
原式$=-3a(a^2-2ab+b^2)$
$=-3a·a^2 + (-3a)·(-2ab) + (-3a)·b^2$
$=-3a^3+6a^2b-3ab^2$。
(4) 先分别计算完全平方、多项式乘多项式，再去括号合并同类项：
原式$=(x^2-2xy+y^2) - (x^2+xy-2xy-2y^2)$
$=x^2-2xy+y^2 -x^2 +xy +2y^2$
$=3y^2-xy$。
【答案】
(1)$a^3$；(2)$-\frac{2}{3}a^3b^4c$；(3)$-3a^3+6a^2b-3ab^2$；(4)$3y^2-xy$
【知识点】
单项式乘单项式，整式乘法运算，合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，重点考查基础运算规则的掌握程度，计算时要注意符号处理、指数运算的正确性，合并同类项时要准确识别同类项，避免漏项、错项。
【难度系数】
0.8
20. 计算：
(1) $(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×(2^{16} +1)×(2^{32} +1)+1$；
(2) $(a+1)(a^2 +1)(a^4 +1)·…·(a^{1024} +1)$，其中$a≠1$。
(1) $(2+1)×(2^2 +1)×(2^4 +1)×(2^8 +1)×(2^{16} +1)×(2^{32} +1)+1$；
(2) $(a+1)(a^2 +1)(a^4 +1)·…·(a^{1024} +1)$，其中$a≠1$。
答案
(1)原式=$(2-1)×[(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)+1]$
$=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)+1=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)+1=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)+1=(2^{32}-1)×(2^{32}+1)+1=2^{64}.$
(2)因为$(a-1)[(a+1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{1024}+1)]=(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{1024}+1)=(a^4-1)(a^4+1)·…·(a^{1024}+1)=(a^{1024}-1)(a^{1024}+1)=a^{2048}-1$，且$a≠1$，所以原式=$\frac{a^{2048}-1}{a-1}$.
$=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)+1=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)+1=(2^4-1)×(2^4+1)×(2^8+1)×(2^{16}+1)×(2^{32}+1)+1=(2^{32}-1)×(2^{32}+1)+1=2^{64}.$
(2)因为$(a-1)[(a+1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{1024}+1)]=(a^2-1)(a^2+1)(a^4+1)·…·(a^{1024}+1)=(a^4-1)(a^4+1)·…·(a^{1024}+1)=(a^{1024}-1)(a^{1024}+1)=a^{2048}-1$，且$a≠1$，所以原式=$\frac{a^{2048}-1}{a-1}$.
解析
【分析】
观察两个小题的算式结构，都是多个形如“底数的2ⁿ次幂加1”的因式相乘，符合平方差公式的一侧特征，可通过补项构造平方差公式简化运算：(1)由于2-1=1，乘1不会改变原式结果，因此先给原式前补乘(2-1)，之后反复运用平方差公式逐步计算即可；(2)已知a≠1，因此可先给算式乘(a-1)，构造平方差公式逐步计算后，再除以(a-1)，保证原式结果不变。
【解析】
(1) 利用“乘1不改变原式值”补项后反复用平方差公式计算：
原式 = (2-1)×(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)×(2³²+1) + 1
= (2²-1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)×(2³²+1) + 1
= (2⁴-1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)×(2³²+1) + 1
……
= (2³²-1)×(2³²+1) + 1
= 2⁶⁴ - 1 + 1
= 2⁶⁴
(2) 因为a≠1，所以a-1≠0，利用“乘除同一个非零数原式值不变”补项后计算：
原式 = $\frac{(a-1)(a+1)(a²+1)(a⁴+1)·…·(a^{1024}+1)}{a-1}$
分子反复运用平方差公式化简：
= $\frac{(a²-1)(a²+1)(a⁴+1)·…·(a^{1024}+1)}{a-1}$
= $\frac{(a⁴-1)(a⁴+1)·…·(a^{1024}+1)}{a-1}$
……
= $\frac{(a^{1024}-1)(a^{1024}+1)}{a-1}$
= $\frac{a^{2048} - 1}{a-1}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2^{64}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{a^{2048}-1}{a-1}}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法，代数式化简
【点评】
本题核心是平方差公式的灵活应用，解题关键是观察算式的结构特征，通过补乘合适的因式构造平方差公式的使用条件，多次运用公式实现快速化简，注意补乘非零因式后要对应做逆运算保证原式结果不变。
【难度系数】
0.4
观察两个小题的算式结构，都是多个形如“底数的2ⁿ次幂加1”的因式相乘，符合平方差公式的一侧特征，可通过补项构造平方差公式简化运算：(1)由于2-1=1，乘1不会改变原式结果，因此先给原式前补乘(2-1)，之后反复运用平方差公式逐步计算即可；(2)已知a≠1，因此可先给算式乘(a-1)，构造平方差公式逐步计算后，再除以(a-1)，保证原式结果不变。
【解析】
(1) 利用“乘1不改变原式值”补项后反复用平方差公式计算：
原式 = (2-1)×(2+1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)×(2³²+1) + 1
= (2²-1)×(2²+1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)×(2³²+1) + 1
= (2⁴-1)×(2⁴+1)×(2⁸+1)×(2¹⁶+1)×(2³²+1) + 1
……
= (2³²-1)×(2³²+1) + 1
= 2⁶⁴ - 1 + 1
= 2⁶⁴
(2) 因为a≠1，所以a-1≠0，利用“乘除同一个非零数原式值不变”补项后计算：
原式 = $\frac{(a-1)(a+1)(a²+1)(a⁴+1)·…·(a^{1024}+1)}{a-1}$
分子反复运用平方差公式化简：
= $\frac{(a²-1)(a²+1)(a⁴+1)·…·(a^{1024}+1)}{a-1}$
= $\frac{(a⁴-1)(a⁴+1)·…·(a^{1024}+1)}{a-1}$
……
= $\frac{(a^{1024}-1)(a^{1024}+1)}{a-1}$
= $\frac{a^{2048} - 1}{a-1}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2^{64}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{a^{2048}-1}{a-1}}$
【知识点】
平方差公式，整式乘法，代数式化简
【点评】
本题核心是平方差公式的灵活应用，解题关键是观察算式的结构特征，通过补乘合适的因式构造平方差公式的使用条件，多次运用公式实现快速化简，注意补乘非零因式后要对应做逆运算保证原式结果不变。
【难度系数】
0.4
21. 小颖说：“对于任意自然数$n$，代数式$(n+3)^2 - (n-1)^2$都能被8整除”，你同意他的说法吗？理由是什么？
答案
同意小颖的说法.理由如下：
$\because (n+3)^2-(n-1)^2$
$=[(n+3)+(n-1)]·[(n+3)-(n-1)]$
$=(n+3+n-1)·(n+3-n+1)$
$=4(2n+2)=8(n+1)$，
$\therefore$对于任意自然数$n$，代数式$(n+3)^2-(n-1)^2$都能被8整除.
$\because (n+3)^2-(n-1)^2$
$=[(n+3)+(n-1)]·[(n+3)-(n-1)]$
$=(n+3+n-1)·(n+3-n+1)$
$=4(2n+2)=8(n+1)$，
$\therefore$对于任意自然数$n$，代数式$(n+3)^2-(n-1)^2$都能被8整除.
解析
【分析】要判断给定的代数式能否被8整除，只需将代数式化简后验证其是否为8与某个整数的乘积即可。观察原式为两个平方项作差的结构，可优先考虑用平方差公式因式分解，也可以直接展开两个完全平方后合并同类项，再整理出含因数8的形式，最后结合n是自然数的条件判断即可。
【解析】同意小颖的说法，理由如下：
$\begin{aligned}(n+3)^2-(n-1)^2&=[(n+3)+(n-1)]·[(n+3)-(n-1)]\\&=(n+3+n-1)·(n+3-n+1)\\&=(2n+2)×4\\&=8(n+1)\end{aligned}$
因为n是自然数，所以$n+1$是正整数，因此$8(n+1)$是8的倍数，即对于任意自然数$n$，代数式$(n+3)^2-(n-1)^2$都能被8整除。
【答案】同意小颖的说法，对于任意自然数$n$，代数式$(n+3)^2-(n-1)^2$都能被8整除。
【知识点】平方差公式；整式的化简；整除的判定
【点评】本题是整式运算的应用类题目，核心考查平方差公式的运用，判断代数式能否被某个数整除的关键是将代数式化简为该数与某个整式乘积的形式，熟练掌握整式的运算法则是解题的基础。
【难度系数】0.75
【解析】同意小颖的说法，理由如下：
$\begin{aligned}(n+3)^2-(n-1)^2&=[(n+3)+(n-1)]·[(n+3)-(n-1)]\\&=(n+3+n-1)·(n+3-n+1)\\&=(2n+2)×4\\&=8(n+1)\end{aligned}$
因为n是自然数，所以$n+1$是正整数，因此$8(n+1)$是8的倍数，即对于任意自然数$n$，代数式$(n+3)^2-(n-1)^2$都能被8整除。
【答案】同意小颖的说法，对于任意自然数$n$，代数式$(n+3)^2-(n-1)^2$都能被8整除。
【知识点】平方差公式；整式的化简；整除的判定
【点评】本题是整式运算的应用类题目，核心考查平方差公式的运用，判断代数式能否被某个数整除的关键是将代数式化简为该数与某个整式乘积的形式，熟练掌握整式的运算法则是解题的基础。
【难度系数】0.75
22. 李叔叔刚分到一套新房，其结构如图(单位：米)，他打算除卧室外，其余部分铺地砖。
(1)至少需要多少平方米地砖？
(2)如果铺的这种地砖的价格为75元/平方米，那么李叔叔至少需要花多少钱？
(1)至少需要多少平方米地砖？
(2)如果铺的这种地砖的价格为75元/平方米，那么李叔叔至少需要花多少钱？
答案
(1)$4b·2a+a·2b+a·b=11ab$(平方米)，故至少需要$11ab$平方米地砖.
(2)$11ab×75=825ab$(元)，故李叔叔至少需要花$825ab$元.
(2)$11ab×75=825ab$(元)，故李叔叔至少需要花$825ab$元.
解析
【分析】
解题时首先明确铺地砖的区域为客厅、卫生间、厨房，不包含卧室，我们只需分别计算这三个区域的面积再求和，即可得到所需地砖的总面积；第二问用总面积乘地砖单价就能得到总花费。第一步先确定各区域的长宽：①客厅长为4b、宽为2a，按长方形面积公式即可计算；②卫生间宽为a，长为总宽度4b减去卧室宽度2b，得到2b后计算面积；③厨房宽为b，高为总高度4a减去客厅高度2a、再减去卫生间高度a，得到a后计算面积，最后汇总求和、乘单价即可。
【解析】
(1) 分别计算各铺砖区域的面积：
客厅面积：$4b × 2a = 8ab$（平方米）
卫生间长为$4b-2b=2b$，面积为$2b × a = 2ab$（平方米）
厨房高为$4a-2a-a=a$，面积为$a × b = ab$（平方米）
所需地砖总面积：$8ab+2ab+ab=11ab$（平方米）
(2) 总花费=总面积×单价，代入数据得：
$11ab × 75 = 825ab$（元）
【答案】
(1) 至少需要$11ab$平方米地砖；
(2) 李叔叔至少需要花$825ab$元。
【知识点】
列代数式，整式乘法，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景，考查利用整式运算解决几何面积类实际问题的能力，解题核心是准确识别各区域的边长，正确计算各部分面积，计算过程中要注意单项式乘法的运算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确铺地砖的区域为客厅、卫生间、厨房，不包含卧室，我们只需分别计算这三个区域的面积再求和，即可得到所需地砖的总面积；第二问用总面积乘地砖单价就能得到总花费。第一步先确定各区域的长宽：①客厅长为4b、宽为2a，按长方形面积公式即可计算；②卫生间宽为a，长为总宽度4b减去卧室宽度2b，得到2b后计算面积；③厨房宽为b，高为总高度4a减去客厅高度2a、再减去卫生间高度a，得到a后计算面积，最后汇总求和、乘单价即可。
【解析】
(1) 分别计算各铺砖区域的面积：
客厅面积：$4b × 2a = 8ab$（平方米）
卫生间长为$4b-2b=2b$，面积为$2b × a = 2ab$（平方米）
厨房高为$4a-2a-a=a$，面积为$a × b = ab$（平方米）
所需地砖总面积：$8ab+2ab+ab=11ab$（平方米）
(2) 总花费=总面积×单价，代入数据得：
$11ab × 75 = 825ab$（元）
【答案】
(1) 至少需要$11ab$平方米地砖；
(2) 李叔叔至少需要花$825ab$元。
【知识点】
列代数式，整式乘法，代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景，考查利用整式运算解决几何面积类实际问题的能力，解题核心是准确识别各区域的边长，正确计算各部分面积，计算过程中要注意单项式乘法的运算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
