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23. [阅读理解]若 $ x $ 满足 $(x - 2024)(2009 - x) = -302$，试求 $(x - 2024)^2 + (2009 - x)^2$ 的值.
解:设 $ x - 2024 = a $，$ 2009 - x = b $，则 $ ab = -302 $，且 $ a + b = (x - 2024) + (2009 - x) = -15 $.
因为 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，所以 $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-15)^2 - 2 × (-302) = 829$，即 $(x - 2024)^2 + (2009 - x)^2$ 的值为 829.
[解决问题]请你根据上述材料的解题思路，完成下面一题的解答过程，若 $ y $ 满足 $(y - 2024)^2 + (y - 2025)^2 = 4047$，试求 $(y - 2024)(y - 2025)$ 的值.
解:设 $ x - 2024 = a $，$ 2009 - x = b $，则 $ ab = -302 $，且 $ a + b = (x - 2024) + (2009 - x) = -15 $.
因为 $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，所以 $ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (-15)^2 - 2 × (-302) = 829$，即 $(x - 2024)^2 + (2009 - x)^2$ 的值为 829.
[解决问题]请你根据上述材料的解题思路，完成下面一题的解答过程，若 $ y $ 满足 $(y - 2024)^2 + (y - 2025)^2 = 4047$，试求 $(y - 2024)(y - 2025)$ 的值.
答案
设$y-2024=a$，$y-2025=b$，则$a^2+b^2=4047$，$a-b=1$.
因为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
所以$ab=\frac{1}{2}[a^2+b^2-(a-b)^2]=2023$.
所以$(y-2024)(y-2025)=2023$.
因为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，
所以$ab=\frac{1}{2}[a^2+b^2-(a-b)^2]=2023$.
所以$(y-2024)(y-2025)=2023$.
解析
【分析】
我们可以借鉴材料中的换元法简化运算，首先观察到所求的乘积式与已知的平方和式中都重复出现$(y-2024)$和$(y-2025)$，将这两个代数式分别设为$a$和$b$，先计算出$a$与$b$的差，再结合已知的$a^2+b^2$的值，利用完全平方差公式的变形就能求出$ab$，也就是所求的乘积。
【解析】
设$y-2024=a$，$y-2025=b$，则根据题意可得$a^2+b^2=4047$，且$a-b=(y-2024)-(y-2025)=1$。
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将公式变形可得：
$ab=\frac{1}{2}[a^2+b^2-(a-b)^2]$
把$a^2+b^2=4047$，$a-b=1$代入上式计算：
$ab=\frac{1}{2}×(4047 - 1^2)=\frac{1}{2}×4046=2023$
即$(y-2024)(y-2025)=2023$。
【答案】
$2023$
【知识点】
换元法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，核心考查对解题方法的迁移运用能力，换元可以简化结构复杂的代数式运算，解题关键是准确找到换元后两个代数式的和或差，熟练掌握完全平方公式的常见变形即可快速求解。
【难度系数】
0.7
我们可以借鉴材料中的换元法简化运算，首先观察到所求的乘积式与已知的平方和式中都重复出现$(y-2024)$和$(y-2025)$，将这两个代数式分别设为$a$和$b$，先计算出$a$与$b$的差，再结合已知的$a^2+b^2$的值，利用完全平方差公式的变形就能求出$ab$，也就是所求的乘积。
【解析】
设$y-2024=a$，$y-2025=b$，则根据题意可得$a^2+b^2=4047$，且$a-b=(y-2024)-(y-2025)=1$。
根据完全平方差公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将公式变形可得：
$ab=\frac{1}{2}[a^2+b^2-(a-b)^2]$
把$a^2+b^2=4047$，$a-b=1$代入上式计算：
$ab=\frac{1}{2}×(4047 - 1^2)=\frac{1}{2}×4046=2023$
即$(y-2024)(y-2025)=2023$。
【答案】
$2023$
【知识点】
换元法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题属于阅读迁移类题型，核心考查对解题方法的迁移运用能力，换元可以简化结构复杂的代数式运算，解题关键是准确找到换元后两个代数式的和或差，熟练掌握完全平方公式的常见变形即可快速求解。
【难度系数】
0.7
24. 中考新考法 操作探究 [知识生成]对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式,请结合图形解答下列问题:
(1)写出图(1)中所表示的数学等式:
(2)如图(2),是用4块完全相同的长方形拼成的正方形,用两种不同的方法求图中空白部分的面积,得到的数学等式是
(3)[知识应用]若$x+y=7,xy=\frac{13}{4}$,求$x-y$的值;
(4)[灵活应用]图(3)中有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得到图甲,将A,B并列放置后构造新的正方形得到图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11,则正方形A,B的面积之和为
(1)写出图(1)中所表示的数学等式:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
;(2)如图(2),是用4块完全相同的长方形拼成的正方形,用两种不同的方法求图中空白部分的面积,得到的数学等式是
$(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$
;(3)[知识应用]若$x+y=7,xy=\frac{13}{4}$,求$x-y$的值;
(4)[灵活应用]图(3)中有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得到图甲,将A,B并列放置后构造新的正方形得到图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11,则正方形A,B的面积之和为
$13$
.答案
(1)$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2)$(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$ [解析]$\because S_{空白}=S_{大正方形}-4S_{长方形}=(a+b)^2-4ab$，又$S_{空白}=(a-b)^2$，$\therefore (a+b)^2-4ab=(a-b)^2$.
(3)$\because x+y=7$，$\therefore (x+y)^2=49$，
$\therefore (x-y)^2=(x+y)^2-4xy=49-4×\frac{13}{4}=36$，
$\therefore x-y$的值为6或-6.
(4)13 [解析]设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$，由题意，得$(a-b)^2=2$，$(a+b)^2-a^2-b^2=2ab=11$，$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=2+11=13.$
(2)$(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$ [解析]$\because S_{空白}=S_{大正方形}-4S_{长方形}=(a+b)^2-4ab$，又$S_{空白}=(a-b)^2$，$\therefore (a+b)^2-4ab=(a-b)^2$.
(3)$\because x+y=7$，$\therefore (x+y)^2=49$，
$\therefore (x-y)^2=(x+y)^2-4xy=49-4×\frac{13}{4}=36$，
$\therefore x-y$的值为6或-6.
(4)13 [解析]设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$，由题意，得$(a-b)^2=2$，$(a+b)^2-a^2-b^2=2ab=11$，$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=2+11=13.$
解析
【分析】
本题通过图形面积的不同计算方法推导整式乘法公式，再利用公式解决相关计算问题，解题思路如下：
(1) 分别用整体法和分割法计算图(1)大正方形的面积，二者结果相等即可得到对应等式；
(2) 分别用“大正方形面积减4个长方形面积”和“直接计算空白正方形面积”两种方法求图(2)空白部分面积，结果相等即可得到对应等式；
(3) 利用第(2)问得到的完全平方变形公式，代入已知的$x+y$和$xy$的值，先求出$(x-y)^2$，再开平方得到$x-y$的值；
(4) 设正方形A边长为$a$、B边长为$b$，根据图甲、图乙的阴影面积分别得到$(a-b)^2=2$和$2ab=11$，再利用完全平方公式变形即可求出两个正方形的面积和。
【解析】
(1) 图(1)中边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，分割后各部分面积和为$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$，因此可得等式。
(2) 图(2)中空白部分面积：$S_{空白}=S_{大正方形}-4S_{长方形}=(a+b)^2-4ab$，同时空白正方形边长为$(a-b)$，面积为$(a-b)^2$，因此可得对应等式。
(3) 已知$x+y=7$，两边平方得$(x+y)^2=49$，
根据完全平方公式变形得：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，
代入$xy=\frac{13}{4}$得：$(x-y)^2=49-4×\frac{13}{4}=36$，
开平方得$x-y=\pm6$。
(4) 设正方形A边长为$a$，正方形B边长为$b$：
图甲阴影面积为$(a-b)^2=2$；
图乙新正方形边长为$(a+b)$，阴影面积为$(a+b)^2-a^2-b^2=2ab=11$；
两个正方形面积和$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=2+11=13$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2) $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$
(3) $6$或$-6$
(4) $13$
【知识点】
完全平方公式，乘法公式的应用，面积法推导等式
【点评】
本题将几何图形面积计算和代数公式推导结合，体现了数形结合的数学思想，需要熟练掌握完全平方公式的变形，能灵活运用公式解决求值问题。
【难度系数】
0.7
本题通过图形面积的不同计算方法推导整式乘法公式，再利用公式解决相关计算问题，解题思路如下：
(1) 分别用整体法和分割法计算图(1)大正方形的面积，二者结果相等即可得到对应等式；
(2) 分别用“大正方形面积减4个长方形面积”和“直接计算空白正方形面积”两种方法求图(2)空白部分面积，结果相等即可得到对应等式；
(3) 利用第(2)问得到的完全平方变形公式，代入已知的$x+y$和$xy$的值，先求出$(x-y)^2$，再开平方得到$x-y$的值；
(4) 设正方形A边长为$a$、B边长为$b$，根据图甲、图乙的阴影面积分别得到$(a-b)^2=2$和$2ab=11$，再利用完全平方公式变形即可求出两个正方形的面积和。
【解析】
(1) 图(1)中边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，分割后各部分面积和为$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$，因此可得等式。
(2) 图(2)中空白部分面积：$S_{空白}=S_{大正方形}-4S_{长方形}=(a+b)^2-4ab$，同时空白正方形边长为$(a-b)$，面积为$(a-b)^2$，因此可得对应等式。
(3) 已知$x+y=7$，两边平方得$(x+y)^2=49$，
根据完全平方公式变形得：$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$，
代入$xy=\frac{13}{4}$得：$(x-y)^2=49-4×\frac{13}{4}=36$，
开平方得$x-y=\pm6$。
(4) 设正方形A边长为$a$，正方形B边长为$b$：
图甲阴影面积为$(a-b)^2=2$；
图乙新正方形边长为$(a+b)$，阴影面积为$(a+b)^2-a^2-b^2=2ab=11$；
两个正方形面积和$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=2+11=13$。
【答案】
(1) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
(2) $(a+b)^2-4ab=(a-b)^2$
(3) $6$或$-6$
(4) $13$
【知识点】
完全平方公式，乘法公式的应用，面积法推导等式
【点评】
本题将几何图形面积计算和代数公式推导结合，体现了数形结合的数学思想，需要熟练掌握完全平方公式的变形，能灵活运用公式解决求值问题。
【难度系数】
0.7
