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23. 中考新考法 证明代数结论 规定两数$a$，$b$之间的一种运算，记作$(a,b)$.如果$a^c = b$，那么$(a,b)=c$.例如：因为$2^3=8$，所以$(2,8)=3$.
(1)根据上述规定，填空：$(3,243)=$
(2)若$(4,5)=a$，$(4,6)=b$，$(4,30)=c$，探究$a$，$b$，$c$之间的数量关系并说明理由.
(1)根据上述规定，填空：$(3,243)=$
$5$
，$(-2,-32)=$$5$
；(2)若$(4,5)=a$，$(4,6)=b$，$(4,30)=c$，探究$a$，$b$，$c$之间的数量关系并说明理由.
答案
23. (1)$5$ $5$ [解析]$\because 3^5=243,\therefore (3,243)=5.$
$\because (-2)^5=-32,\therefore (-2,-32)=5.$
(2)$a+b=c$.理由如下：
根据题意，得$4^a=5,4^b=6,4^c=30.$
$\because 5×6=30,\therefore 4^a · 4^b=4^c,$
$\therefore 4^{a+b}=4^c,\therefore a+b=c.$
$\because (-2)^5=-32,\therefore (-2,-32)=5.$
(2)$a+b=c$.理由如下：
根据题意，得$4^a=5,4^b=6,4^c=30.$
$\because 5×6=30,\therefore 4^a · 4^b=4^c,$
$\therefore 4^{a+b}=4^c,\therefore a+b=c.$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解给定的运算规则：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$，本质是求底数为$a$、幂为$b$对应的指数。
(1) 求解第一空时，只需找出3的多少次方等于243，该指数就是答案；求解第二空时，找出-2的多少次方等于-32即可。
(2) 求解第二问时，先根据新定义将三个式子转化为幂的形式，再观察5、6、30的数量关系（$5×6=30$），结合同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，即可推导三个指数$a、b、c$的关系。
【解析】
(1) 因为$3^5 = 243$，根据题中运算规则可得$(3,243)=5$；
因为$(-2)^5 = -32$，根据题中运算规则可得$(-2,-32)=5$。
(2) $a+b=c$，理由如下：
根据新定义的运算规则可得：$4^a = 5$，$4^b = 6$，$4^c = 30$。
因为$5×6 = 30$，所以将对应的幂代入可得：$4^a · 4^b = 4^c$。
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$4^{a+b}=4^c$。
因为底数相同的两个相等的幂，指数也相等，所以$a+b=c$。
【答案】
(1) $5$，$5$；(2) $a+b=c$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，有理数的乘方
【点评】
本题以新运算为背景，考查了幂的运算性质的应用，解题的关键是正确理解新定义的运算逻辑，将陌生的新运算转化为已经学过的幂运算问题，侧重考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.75
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解给定的运算规则：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$，本质是求底数为$a$、幂为$b$对应的指数。
(1) 求解第一空时，只需找出3的多少次方等于243，该指数就是答案；求解第二空时，找出-2的多少次方等于-32即可。
(2) 求解第二问时，先根据新定义将三个式子转化为幂的形式，再观察5、6、30的数量关系（$5×6=30$），结合同底数幂相乘底数不变指数相加的性质，即可推导三个指数$a、b、c$的关系。
【解析】
(1) 因为$3^5 = 243$，根据题中运算规则可得$(3,243)=5$；
因为$(-2)^5 = -32$，根据题中运算规则可得$(-2,-32)=5$。
(2) $a+b=c$，理由如下：
根据新定义的运算规则可得：$4^a = 5$，$4^b = 6$，$4^c = 30$。
因为$5×6 = 30$，所以将对应的幂代入可得：$4^a · 4^b = 4^c$。
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$4^{a+b}=4^c$。
因为底数相同的两个相等的幂，指数也相等，所以$a+b=c$。
【答案】
(1) $5$，$5$；(2) $a+b=c$
【知识点】
新定义运算，同底数幂的乘法，有理数的乘方
【点评】
本题以新运算为背景，考查了幂的运算性质的应用，解题的关键是正确理解新定义的运算逻辑，将陌生的新运算转化为已经学过的幂运算问题，侧重考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.75
24. 已知$2^a = 3$，$2^b = 5$，$2^c = 75$。
(1)求$2^{2a}$的值；
(2)求$2^{c - b + a}$的值；
(3)试说明：$a + 2b = c$。
(1)求$2^{2a}$的值；
(2)求$2^{c - b + a}$的值；
(3)试说明：$a + 2b = c$。
答案
24. (1)$2^{2a}=(2^a)^2=3^2=9.$
(2)$2^{c-b+a}=2^c ÷ 2^b × 2^a=75÷5×3=45.$
(3)因为$2^{2b}=5^2=25,$
所以$2^a · 2^{2b}=2^{a+2b}=3×25=75.$
又$2^c=75,$所以$2^c=2^{a+2b},$
所以$a+2b=c.$
(2)$2^{c-b+a}=2^c ÷ 2^b × 2^a=75÷5×3=45.$
(3)因为$2^{2b}=5^2=25,$
所以$2^a · 2^{2b}=2^{a+2b}=3×25=75.$
又$2^c=75,$所以$2^c=2^{a+2b},$
所以$a+2b=c.$
解析
【分析】
这道题围绕幂的运算法则展开考查，解题思路如下：(1)求$2^{2a}$时，逆用幂的乘方法则，将$2^{2a}$转化为$(2^a)^2$，代入已知的$2^a=3$就能计算结果；(2)求$2^{c-b+a}$时，逆用同底数幂的乘除法则，把式子拆分为$2^c ÷ 2^b × 2^a$，代入对应已知数值计算即可；(3)要证明$a+2b=c$，根据“底数为大于0且不等于1的同底数幂相等时，指数相等”的性质，只需证明$2^{a+2b}=2^c$，先算出$2^{2b}$的值，再计算$2^a$和$2^{2b}$的乘积，和$2^c$对比就能得出结论。
【解析】
(1) 根据幂的乘方运算法则可得：
$2^{2a}=(2^a)^2$
将$2^a=3$代入得：$(2^a)^2=3^2=9$。
(2) 根据同底数幂的乘除运算法则可得：
$2^{c-b+a}=2^c ÷ 2^b × 2^a$
将$2^a=3$，$2^b=5$，$2^c=75$代入得：
$75÷5×3=15×3=45$。
(3) 先计算$2^{2b}$，由幂的乘方法则得：
$2^{2b}=(2^b)^2=5^2=25$
则$2^a · 2^{2b}=2^{a+2b}=3×25=75$
已知$2^c=75$，因此$2^{a+2b}=2^c$
因为底数$2＞0$且$2≠1$，所以指数相等，即$a+2b=c$。
【答案】
(1)$9$；(2)$45$；(3)$a+2b=c$，证明如上。
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题主要考查幂的运算公式的正向和逆向运用，熟练掌握各运算法则的变形是解题核心，解题时结合已知条件对所求式子做合理拆分、变形就能快速求解。
【难度系数】
0.8
这道题围绕幂的运算法则展开考查，解题思路如下：(1)求$2^{2a}$时，逆用幂的乘方法则，将$2^{2a}$转化为$(2^a)^2$，代入已知的$2^a=3$就能计算结果；(2)求$2^{c-b+a}$时，逆用同底数幂的乘除法则，把式子拆分为$2^c ÷ 2^b × 2^a$，代入对应已知数值计算即可；(3)要证明$a+2b=c$，根据“底数为大于0且不等于1的同底数幂相等时，指数相等”的性质，只需证明$2^{a+2b}=2^c$，先算出$2^{2b}$的值，再计算$2^a$和$2^{2b}$的乘积，和$2^c$对比就能得出结论。
【解析】
(1) 根据幂的乘方运算法则可得：
$2^{2a}=(2^a)^2$
将$2^a=3$代入得：$(2^a)^2=3^2=9$。
(2) 根据同底数幂的乘除运算法则可得：
$2^{c-b+a}=2^c ÷ 2^b × 2^a$
将$2^a=3$，$2^b=5$，$2^c=75$代入得：
$75÷5×3=15×3=45$。
(3) 先计算$2^{2b}$，由幂的乘方法则得：
$2^{2b}=(2^b)^2=5^2=25$
则$2^a · 2^{2b}=2^{a+2b}=3×25=75$
已知$2^c=75$，因此$2^{a+2b}=2^c$
因为底数$2＞0$且$2≠1$，所以指数相等，即$a+2b=c$。
【答案】
(1)$9$；(2)$45$；(3)$a+2b=c$，证明如上。
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题主要考查幂的运算公式的正向和逆向运用，熟练掌握各运算法则的变形是解题核心，解题时结合已知条件对所求式子做合理拆分、变形就能快速求解。
【难度系数】
0.8
25. 数学文化 指数与对数之间的联系 阅读以下材料：
苏格兰数学家纳皮尔(J. Napier，1550—1617年)是对数的创始人.他发明对数是在
指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler，1707—1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地，若$a^x = N(a＞0$且$a≠1)$，那么$x$叫作以$a$为底$N$的对数，记作$x=\log_a N$，比如指数式$2^4=16$可以转化为对数式$4=\log_2 16$，对数式$2=\log_3 9$可以转化为指数式$3^2=9$.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：$\log_a (M·N)=\log_a M+\log_a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)$.理由如下：
设$\log_a M=m,\log_a N=n$，则$M=a^m,N=a^n,\therefore M·N=a^m·a^n=a^{m+n}$，
由对数的定义，得$m+n=\log_a (M·N)$.
又$m+n=\log_a M+\log_a N$，
$\therefore \log_a (M·N)=\log_a M+\log_a N$.
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
(1)填空：①$\log_2 32=$
(2)求证：$\log_a \frac{M}{N}=\log_a M - \log_a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)$；
(3)拓展运用：计算$\log_5 125+\log_5 6 - \log_5 30$.
苏格兰数学家纳皮尔(J. Napier，1550—1617年)是对数的创始人.他发明对数是在
指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler，1707—1783年)才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地，若$a^x = N(a＞0$且$a≠1)$，那么$x$叫作以$a$为底$N$的对数，记作$x=\log_a N$，比如指数式$2^4=16$可以转化为对数式$4=\log_2 16$，对数式$2=\log_3 9$可以转化为指数式$3^2=9$.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：$\log_a (M·N)=\log_a M+\log_a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)$.理由如下：
设$\log_a M=m,\log_a N=n$，则$M=a^m,N=a^n,\therefore M·N=a^m·a^n=a^{m+n}$，
由对数的定义，得$m+n=\log_a (M·N)$.
又$m+n=\log_a M+\log_a N$，
$\therefore \log_a (M·N)=\log_a M+\log_a N$.
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
(1)填空：①$\log_2 32=$
$5$
，②$\log_3 27=$$3$
，③$\log_7 2401=$$4$
；(2)求证：$\log_a \frac{M}{N}=\log_a M - \log_a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)$；
(3)拓展运用：计算$\log_5 125+\log_5 6 - \log_5 30$.
答案
25. (1)①$5$ ②$3$ ③$4$
(2)设$\log_a M=m,\log_a N=n,$
则$M=a^m,N=a^n,\therefore \dfrac{M}{N}=\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.$
由对数的定义，得$m-n=\log_a \dfrac{M}{N}.$
又$m-n=\log_a M - \log_a N,\therefore \log_a \dfrac{M}{N}=\log_a M - \log_a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0).$
(3)$原式=\log_5(125×6÷30)=\log_5 25=2.$
(2)设$\log_a M=m,\log_a N=n,$
则$M=a^m,N=a^n,\therefore \dfrac{M}{N}=\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.$
由对数的定义，得$m-n=\log_a \dfrac{M}{N}.$
又$m-n=\log_a M - \log_a N,\therefore \log_a \dfrac{M}{N}=\log_a M - \log_a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0).$
(3)$原式=\log_5(125×6÷30)=\log_5 25=2.$
解析
【分析】
本题是结合数学文化的新定义类题型，解题思路如下：1. 解决第(1)问时，根据材料给出的对数定义：若$a^x=N(a＞0且a≠1)$，则$x=\log_a N$，只需分别找出2的几次方等于32、3的几次方等于27、7的几次方等于2401，即可得到对应对数的值；2. 解决第(2)问时，可仿照材料中证明积的对数性质的方法，先设两个对数分别为$m$、$n$，转化为指数形式后，利用同底数幂的除法法则表示出$\frac{M}{N}$，再转化回对数形式即可完成证明；3. 解决第(3)问时，直接运用前两问得到的对数加减运算性质，将对数的加减转化为真数的乘除运算，再结合对数定义计算结果即可。
【解析】
(1) ① 因为$2^5=32$，根据对数定义可得$\log_2 32=5$；
② 因为$3^3=27$，根据对数定义可得$\log_3 27=3$；
③ 因为$7^4=2401$，根据对数定义可得$\log_7 2401=4$。
(2) 证明：设$\log_a M=m$，$\log_a N=n$，
根据对数的定义可得$M=a^m$，$N=a^n$，
$\therefore \frac{M}{N}=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$，
由对数的定义，得$m-n=\log_a \frac{M}{N}$，
又$\because m-n=\log_a M - \log_a N$，
$\therefore \log_a \frac{M}{N}=\log_a M - \log_a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)$，得证。
(3) 解：根据对数的运算性质可得：
$\log_5 125+\log_5 6 - \log_5 30=\log_5(125×6÷30)=\log_5 25$，
$\because 5^2=25$，$\therefore \log_5 25=2$。
【答案】
(1) ①$5$；②$3$；③$4$；(2) 证明见上述解析；(3)$2$
【知识点】
对数的定义，对数的运算性质，同底数幂的运算法则
【点评】
本题以数学文化为背景考查新定义运算，重点考查阅读理解能力和知识迁移能力，解题核心是读懂对数的定义，仿照给定的证明方法推导相关性质，再运用性质解决计算问题，属于基础的新定义题型。
【难度系数】
0.7
本题是结合数学文化的新定义类题型，解题思路如下：1. 解决第(1)问时，根据材料给出的对数定义：若$a^x=N(a＞0且a≠1)$，则$x=\log_a N$，只需分别找出2的几次方等于32、3的几次方等于27、7的几次方等于2401，即可得到对应对数的值；2. 解决第(2)问时，可仿照材料中证明积的对数性质的方法，先设两个对数分别为$m$、$n$，转化为指数形式后，利用同底数幂的除法法则表示出$\frac{M}{N}$，再转化回对数形式即可完成证明；3. 解决第(3)问时，直接运用前两问得到的对数加减运算性质，将对数的加减转化为真数的乘除运算，再结合对数定义计算结果即可。
【解析】
(1) ① 因为$2^5=32$，根据对数定义可得$\log_2 32=5$；
② 因为$3^3=27$，根据对数定义可得$\log_3 27=3$；
③ 因为$7^4=2401$，根据对数定义可得$\log_7 2401=4$。
(2) 证明：设$\log_a M=m$，$\log_a N=n$，
根据对数的定义可得$M=a^m$，$N=a^n$，
$\therefore \frac{M}{N}=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$，
由对数的定义，得$m-n=\log_a \frac{M}{N}$，
又$\because m-n=\log_a M - \log_a N$，
$\therefore \log_a \frac{M}{N}=\log_a M - \log_a N(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0)$，得证。
(3) 解：根据对数的运算性质可得：
$\log_5 125+\log_5 6 - \log_5 30=\log_5(125×6÷30)=\log_5 25$，
$\because 5^2=25$，$\therefore \log_5 25=2$。
【答案】
(1) ①$5$；②$3$；③$4$；(2) 证明见上述解析；(3)$2$
【知识点】
对数的定义，对数的运算性质，同底数幂的运算法则
【点评】
本题以数学文化为背景考查新定义运算，重点考查阅读理解能力和知识迁移能力，解题核心是读懂对数的定义，仿照给定的证明方法推导相关性质，再运用性质解决计算问题，属于基础的新定义题型。
【难度系数】
0.7
