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三、解答题
19. 计算：
(1) $(x - 2y)^2 · (x - 2y)^{m-1} · (x - 2y)^{m+2}$；
(2) $(b - a)(a - b)^3(b - a)^5$；
(3) $(-2a^2b^3)^4 + (-a)^8 · (2b^4)^3$；
(4) $(-\dfrac{5}{12})^{2024} $
$ × (2\dfrac{2}{5})^{2025}$；
19. 计算：
(1) $(x - 2y)^2 · (x - 2y)^{m-1} · (x - 2y)^{m+2}$；
(2) $(b - a)(a - b)^3(b - a)^5$；
(3) $(-2a^2b^3)^4 + (-a)^8 · (2b^4)^3$；
(4) $(-\dfrac{5}{12})^{2024} $
$ × (2\dfrac{2}{5})^{2025}$；答案
19. (1)$(x-2y)^{2m+3}$ (2)$(a-b)^9$ (3)$24a^8b^{12}$
(4)$\dfrac{12}{5}$
(4)$\dfrac{12}{5}$
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算法则，各小题解题思路如下：
(1) 三个因式的底数均为$(x-2y)$，直接用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，将所有指数求和即可。
(2) 底数有$(b-a)$和$(a-b)$，先利用相反数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数的性质统一底数为$(a-b)$，再用同底数幂乘法法则计算，注意符号的运算。
(3) 先分别计算两个乘方项，利用积的乘方（把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）、幂的乘方（底数不变，指数相乘）法则展开，再合并同类项即可。
(4) 先将带分数化为假分数，把高次幂拆成相同指数的幂乘一次幂的形式，逆用积的乘方法则：$a^n·b^n=(ab)^n$，先算底数乘积的高次幂，再计算剩余部分，简化运算。
【解析】
(1) 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
$\begin{aligned}原式&=(x-2y)^{2+(m-1)+(m+2)}\\&=(x-2y)^{2+m-1+m+2}\\&=(x-2y)^{2m+3}\end{aligned}$
(2) 先统一底数为$(a-b)$，其中$b-a=-(a-b)$，$(b-a)^5=[-(a-b)]^5=-(a-b)^5$：
$\begin{aligned}原式&=-(a-b)·(a-b)^3·[-(a-b)^5]\\&=(-1)×(-1)·(a-b)^{1+3+5}\\&=(a-b)^9\end{aligned}$
(3) 先计算乘方项，再合并同类项：
$\begin{aligned}(-2a^2b^3)^4&=(-2)^4·(a^2)^4·(b^3)^4=16a^8b^{12}\\(-a)^8·(2b^4)^3&=a^8·2^3·(b^4)^3=8a^8b^{12}\\原式&=16a^8b^{12}+8a^8b^{12}=24a^8b^{12}\end{aligned}$
(4) 先将带分数$2\dfrac{2}{5}$化为假分数$\dfrac{12}{5}$，拆分高次幂逆用积的乘方法则：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{5}{12})^{2024}×(\dfrac{12}{5})^{2024}×\dfrac{12}{5}\\&=[(-\dfrac{5}{12})×\dfrac{12}{5}]^{2024}×\dfrac{12}{5}\\&=(-1)^{2024}×\dfrac{12}{5}\\&=1×\dfrac{12}{5}=\dfrac{12}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-2y)^{2m+3}$；(2)$(a-b)^9$；(3)$24a^8b^{12}$；(4)$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，解题关键是熟练掌握幂的各类运算法则，注意统一底数时的符号处理，灵活逆用运算公式可大幅简化运算，避免直接计算高次幂。
【难度系数】
0.7
本题考查幂的相关运算法则，各小题解题思路如下：
(1) 三个因式的底数均为$(x-2y)$，直接用同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加，将所有指数求和即可。
(2) 底数有$(b-a)$和$(a-b)$，先利用相反数的偶次幂相等、奇次幂互为相反数的性质统一底数为$(a-b)$，再用同底数幂乘法法则计算，注意符号的运算。
(3) 先分别计算两个乘方项，利用积的乘方（把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）、幂的乘方（底数不变，指数相乘）法则展开，再合并同类项即可。
(4) 先将带分数化为假分数，把高次幂拆成相同指数的幂乘一次幂的形式，逆用积的乘方法则：$a^n·b^n=(ab)^n$，先算底数乘积的高次幂，再计算剩余部分，简化运算。
【解析】
(1) 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加：
$\begin{aligned}原式&=(x-2y)^{2+(m-1)+(m+2)}\\&=(x-2y)^{2+m-1+m+2}\\&=(x-2y)^{2m+3}\end{aligned}$
(2) 先统一底数为$(a-b)$，其中$b-a=-(a-b)$，$(b-a)^5=[-(a-b)]^5=-(a-b)^5$：
$\begin{aligned}原式&=-(a-b)·(a-b)^3·[-(a-b)^5]\\&=(-1)×(-1)·(a-b)^{1+3+5}\\&=(a-b)^9\end{aligned}$
(3) 先计算乘方项，再合并同类项：
$\begin{aligned}(-2a^2b^3)^4&=(-2)^4·(a^2)^4·(b^3)^4=16a^8b^{12}\\(-a)^8·(2b^4)^3&=a^8·2^3·(b^4)^3=8a^8b^{12}\\原式&=16a^8b^{12}+8a^8b^{12}=24a^8b^{12}\end{aligned}$
(4) 先将带分数$2\dfrac{2}{5}$化为假分数$\dfrac{12}{5}$，拆分高次幂逆用积的乘方法则：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{5}{12})^{2024}×(\dfrac{12}{5})^{2024}×\dfrac{12}{5}\\&=[(-\dfrac{5}{12})×\dfrac{12}{5}]^{2024}×\dfrac{12}{5}\\&=(-1)^{2024}×\dfrac{12}{5}\\&=1×\dfrac{12}{5}=\dfrac{12}{5}\end{aligned}$
【答案】
(1)$(x-2y)^{2m+3}$；(2)$(a-b)^9$；(3)$24a^8b^{12}$；(4)$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；幂的运算逆用
【点评】
本题是幂运算的基础综合题，解题关键是熟练掌握幂的各类运算法则，注意统一底数时的符号处理，灵活逆用运算公式可大幅简化运算，避免直接计算高次幂。
【难度系数】
0.7
20.若$(a^m b^n b)^3 = a^9 b^{15}$，求$2^{m+n}$的值.
答案
20. $128$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要运用幂的相关运算法则化简等式左边的式子，再根据“两个相等的单项式中，相同字母的指数对应相等”的性质，列出关于m、n的方程，求解得到m、n的值后，代入代数式$2^{m+n}$计算即可。具体思路为：第一步先合并括号内的同底数幂，第二步运用积的乘方和幂的乘方法则展开化简，第三步列方程求m、n，第四步代入求值。
【解析】
解：先化简等式左边：
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$b^n · b = b^{n+1}$，因此括号内的式子可整理为$a^m b^{n+1}$。
再根据积的乘方法则（积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）和幂的乘方法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘），可得：
$\begin{aligned}(a^m b^{n+1})^3 &= (a^m)^3 · (b^{n+1})^3 \\&= a^{3m} b^{3(n+1)} \\&= a^{3m} b^{3n+3}\end{aligned}$
已知$(a^m b^n b)^3 = a^9 b^{15}$，因此等式两边相同字母的指数相等，可列方程：
$3m = 9$，$3n + 3 = 15$
分别解方程：
由$3m=9$得$m=3$；
由$3n+3=15$，移项得$3n=12$，解得$n=4$。
将$m=3$、$n=4$代入$2^{m+n}$得：
$2^{m+n}=2^{3+4}=2^7=128$
【答案】
$128$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；代数式求值
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，解题核心是熟练掌握幂的各类运算法则，通过等式两边相同字母指数相等建立方程求解参数，再代入计算目标代数式的值，掌握这类题型能为后续整式运算的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要运用幂的相关运算法则化简等式左边的式子，再根据“两个相等的单项式中，相同字母的指数对应相等”的性质，列出关于m、n的方程，求解得到m、n的值后，代入代数式$2^{m+n}$计算即可。具体思路为：第一步先合并括号内的同底数幂，第二步运用积的乘方和幂的乘方法则展开化简，第三步列方程求m、n，第四步代入求值。
【解析】
解：先化简等式左边：
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$b^n · b = b^{n+1}$，因此括号内的式子可整理为$a^m b^{n+1}$。
再根据积的乘方法则（积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）和幂的乘方法则（幂的乘方，底数不变，指数相乘），可得：
$\begin{aligned}(a^m b^{n+1})^3 &= (a^m)^3 · (b^{n+1})^3 \\&= a^{3m} b^{3(n+1)} \\&= a^{3m} b^{3n+3}\end{aligned}$
已知$(a^m b^n b)^3 = a^9 b^{15}$，因此等式两边相同字母的指数相等，可列方程：
$3m = 9$，$3n + 3 = 15$
分别解方程：
由$3m=9$得$m=3$；
由$3n+3=15$，移项得$3n=12$，解得$n=4$。
将$m=3$、$n=4$代入$2^{m+n}$得：
$2^{m+n}=2^{3+4}=2^7=128$
【答案】
$128$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；代数式求值
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，解题核心是熟练掌握幂的各类运算法则，通过等式两边相同字母指数相等建立方程求解参数，再代入计算目标代数式的值，掌握这类题型能为后续整式运算的学习打好基础。
【难度系数】
0.7
21.先化简，再求值：$a^3 · (-b^3)^2 + (-\frac{1}{2}ab^2)^3$，其中$a=\frac{1}{4},b=4.$
答案
21. $56$
解析
【分析】
本题为整式化简求值题，解题可按三步思考：第一步先处理乘方运算，依据幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算两个乘方项，注意负数偶次幂为正、奇次幂为负的符号规则；第二步合并同类项，将原式化为最简整式；第三步代入数值计算，代值时可利用积的乘方的逆运算简化高次幂的计算，减少运算失误。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算乘方项：
$a^3 · (-b^3)^2 = a^3 · (b^{3×2}) = a^3b^6$
$(-\frac{1}{2}ab^2)^3 = (-\frac{1}{2})^3 · a^3 · (b^2)^3 = -\frac{1}{8}a^3b^6$
2. 合并同类项：
原式$= a^3b^6 - \frac{1}{8}a^3b^6 = \frac{7}{8}a^3b^6$
3. 代入$a=\frac{1}{4},b=4$计算：
$\frac{7}{8}a^3b^6 = \frac{7}{8} × (\frac{1}{4})^3 × 4^6$
逆用积的乘方变形：$(\frac{1}{4})^3 × 4^6 = (\frac{1}{4}×4)^3 × 4^3 = 1^3 × 64 = 64$
因此原式$= \frac{7}{8} × 64 = 56$
【答案】
$56$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整式化简求值
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的应用，解题时要严格遵循运算顺序，先算乘方再算乘法，最后合并同类项，代值时灵活运用运算性质变形，能有效降低计算难度，提升正确率。
【难度系数】
0.8
本题为整式化简求值题，解题可按三步思考：第一步先处理乘方运算，依据幂的乘方、积的乘方运算法则分别计算两个乘方项，注意负数偶次幂为正、奇次幂为负的符号规则；第二步合并同类项，将原式化为最简整式；第三步代入数值计算，代值时可利用积的乘方的逆运算简化高次幂的计算，减少运算失误。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算乘方项：
$a^3 · (-b^3)^2 = a^3 · (b^{3×2}) = a^3b^6$
$(-\frac{1}{2}ab^2)^3 = (-\frac{1}{2})^3 · a^3 · (b^2)^3 = -\frac{1}{8}a^3b^6$
2. 合并同类项：
原式$= a^3b^6 - \frac{1}{8}a^3b^6 = \frac{7}{8}a^3b^6$
3. 代入$a=\frac{1}{4},b=4$计算：
$\frac{7}{8}a^3b^6 = \frac{7}{8} × (\frac{1}{4})^3 × 4^6$
逆用积的乘方变形：$(\frac{1}{4})^3 × 4^6 = (\frac{1}{4}×4)^3 × 4^3 = 1^3 × 64 = 64$
因此原式$= \frac{7}{8} × 64 = 56$
【答案】
$56$
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，整式化简求值
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的应用，解题时要严格遵循运算顺序，先算乘方再算乘法，最后合并同类项，代值时灵活运用运算性质变形，能有效降低计算难度，提升正确率。
【难度系数】
0.8
22. 光在真空中的速度约是$3×10^8$ m/s，光在真空中穿行1年的距离称为1光年. 请你算算：1年以$3×10^7$ s计算，5光年约是多少千米？
答案
22. $4.5×10^{13}$千米
解析
【分析】
解题时首先明确光年是距离单位，对应光1年行走的路程，我们可以按照“先算1光年的距离→单位换算为千米→乘以5得到5光年距离”的思路解题：首先根据路程=速度×时间，代入光的速度和1年的时间算出1光年的米数，再根据1千米=10³米换算单位，最后乘5，计算过程中运用同底数幂的运算法则即可，最终结果要写成规范的科学记数法。
【解析】
解：首先计算1光年的距离（单位：米）：
根据路程公式 $ s = vt $，代入数据得：
$ 1\mathrm{光年} = 3×10^8 \mathrm{m/s} × 3×10^7 \mathrm{s} = (3×3)×(10^8×10^7) \mathrm{m} = 9×10^{15} \mathrm{m} $
进行单位换算，将米转换为千米：
因为 $ 1\mathrm{km}=10^3\mathrm{m} $，所以 $ 9×10^{15} \mathrm{m} = 9×10^{15} ÷ 10^3 \mathrm{km} = 9×10^{12} \mathrm{km} $
计算5光年的距离：
$ 5\mathrm{光年} = 5×9×10^{12} \mathrm{km} = 45×10^{12} \mathrm{km} = 4.5×10^{13} \mathrm{km} $
【答案】
$ 4.5×10^{13} $千米
【知识点】
同底数幂的运算，科学记数法，单位换算
【点评】
本题结合“光年”的概念考察幂的运算实际应用，解题关键是牢记路程计算公式，注意米和千米的单位转换，同时要保证科学记数法的书写规范，即a的取值范围为1≤a＜10。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确光年是距离单位，对应光1年行走的路程，我们可以按照“先算1光年的距离→单位换算为千米→乘以5得到5光年距离”的思路解题：首先根据路程=速度×时间，代入光的速度和1年的时间算出1光年的米数，再根据1千米=10³米换算单位，最后乘5，计算过程中运用同底数幂的运算法则即可，最终结果要写成规范的科学记数法。
【解析】
解：首先计算1光年的距离（单位：米）：
根据路程公式 $ s = vt $，代入数据得：
$ 1\mathrm{光年} = 3×10^8 \mathrm{m/s} × 3×10^7 \mathrm{s} = (3×3)×(10^8×10^7) \mathrm{m} = 9×10^{15} \mathrm{m} $
进行单位换算，将米转换为千米：
因为 $ 1\mathrm{km}=10^3\mathrm{m} $，所以 $ 9×10^{15} \mathrm{m} = 9×10^{15} ÷ 10^3 \mathrm{km} = 9×10^{12} \mathrm{km} $
计算5光年的距离：
$ 5\mathrm{光年} = 5×9×10^{12} \mathrm{km} = 45×10^{12} \mathrm{km} = 4.5×10^{13} \mathrm{km} $
【答案】
$ 4.5×10^{13} $千米
【知识点】
同底数幂的运算，科学记数法，单位换算
【点评】
本题结合“光年”的概念考察幂的运算实际应用，解题关键是牢记路程计算公式，注意米和千米的单位转换，同时要保证科学记数法的书写规范，即a的取值范围为1≤a＜10。
【难度系数】
0.7
