22. 数学文化 欧拉公式 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察如图所示的
几种简单多面体模型，解答下列问题：

(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求$x+y$的值。

22.(1)6 6 E=V+F-2 (2)20
(3)由题意,得V=24,E=(24×3)÷2=36,F=x+y,由E=V+F-2,得36=24+x+y-2,所以x+y=14.

【分析】
(1) 先通过观察多面体特征数出对应空格的数值：四面体的棱可直接计数得6，正八面体的顶点数计数得6；再将四组顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的数值代入验证，即可总结出三者的数量关系式。
(2) 已知面数比顶点数大8、棱数为30，将顶点数用面数表示后代入(1)得到的关系式，列简易方程求解即可得到面数。
(3) 先计算总棱数：每个顶点处有3条棱，每条棱连接2个顶点，因此总棱数=顶点数×3÷2；再将V、E、F=x+y代入欧拉公式，即可求出x+y的值。
【解析】
(1) 观察可得：四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6。
将四组V、F、E的数值代入验证：
四面体：$4+4-2=6$，和棱数相等；
长方体：$8+6-2=12$，和棱数相等；
正八面体：$6+8-2=12$，和棱数相等；
正十二面体：$20+12-2=30$，和棱数相等；
因此顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的关系式为$\boldsymbol{E=V+F-2}$。
(2) 设该多面体的面数为$F$，则顶点数$V=F-8$，已知棱数$E=30$，代入$E=V+F-2$得：
$30=(F-8)+F-2$
$30=2F-10$
解得$F=20$。
(3) 由题意得：顶点数$V=24$，
因为每个顶点处有3条棱，每条棱被2个顶点共用，所以总棱数$E=(24×3)÷2=36$，
面数$F=x+y$，代入欧拉公式$E=V+F-2$得：
$36=24+(x+y)-2$
解得$x+y=14$。
【答案】
(1)6；6；$E=V+F-2$ (2)20 (3)14
【知识点】
欧拉公式；多面体棱数计数；方程应用
【点评】
本题结合经典数学文化欧拉公式命题，既考查了对多面体基本构成元素的认识，又考查了规律总结能力与公式的实际应用能力，第三问需注意棱数计算时避免重复计数，整体考查逻辑推理能力，综合性适中。
【难度系数】
0.7