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1. 数学文化 首证“对顶角相等” 首证“对顶角相等”
泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的。论证“对顶角相等”使用的依据是(
A.等角的补角相等
B.同角的余角相等
C.等角的余角相等
D.同角的补角相等
泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的。论证“对顶角相等”使用的依据是(
D
)。A.等角的补角相等
B.同角的余角相等
C.等角的余角相等
D.同角的补角相等
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路推导：首先明确两条直线相交形成的角的关系，相邻的两个角组成平角，和为180°，互为邻补角；其次区分余角和补角的概念，余角是和为90°的两个角，补角是和为180°的两个角，可先排除涉及余角的选项；最后区分“同角”和“等角”的差异，同角指同一个角，等角指相等的不同角，对顶角都和同一个邻角互补，据此即可判断论证依据。
【解析】
设两条直线相交形成的一组对顶角为∠1、∠2，二者共有的邻补角为∠3：
∵ 平角的度数为180°，
∴ ∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°
由此可知∠1和∠2都是∠3的补角，根据“同角的补角相等”，可推出∠1=∠2
因此论证“对顶角相等”的依据是同角的补角相等，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 补角的性质 2. 对顶角的性质
【点评】
本题结合数学文化背景设题，既能让学生了解几何定理的起源，也能考查对基础几何概念、性质的辨析能力，需要准确区分余角和补角、同角和等角的差异，理解几何定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可按以下思路推导：首先明确两条直线相交形成的角的关系，相邻的两个角组成平角，和为180°，互为邻补角；其次区分余角和补角的概念，余角是和为90°的两个角，补角是和为180°的两个角，可先排除涉及余角的选项；最后区分“同角”和“等角”的差异，同角指同一个角，等角指相等的不同角，对顶角都和同一个邻角互补，据此即可判断论证依据。
【解析】
设两条直线相交形成的一组对顶角为∠1、∠2，二者共有的邻补角为∠3：
∵ 平角的度数为180°，
∴ ∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°
由此可知∠1和∠2都是∠3的补角，根据“同角的补角相等”，可推出∠1=∠2
因此论证“对顶角相等”的依据是同角的补角相等，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 补角的性质 2. 对顶角的性质
【点评】
本题结合数学文化背景设题，既能让学生了解几何定理的起源，也能考查对基础几何概念、性质的辨析能力，需要准确区分余角和补角、同角和等角的差异，理解几何定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.8
2. 下列图形中，可以记为“直线AB”的有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
C
).A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
2.C
解析
【分析】
首先回忆直线、射线、线段的核心特征：直线没有端点，可向两端无限延伸；射线有1个端点，仅可向一端无限延伸；线段有2个端点，无法延伸。另外直线的表示规则为：只要两个点在同一条直线上，就可以用这两个点的大写字母表示这条直线。接下来我们逐个判断4个图形是否符合“直线AB”的记法即可。
【解析】
我们依次分析每个图形：
1. 图（1）：线的两端没有端点，属于直线，A、B是直线上的两点，可以记为直线AB，符合要求；
2. 图（2）：A处有端点，B处无端点，属于射线AB，不是直线，不符合要求；
3. 图（3）：A、B处都有端点，属于线段AB，不是直线，不符合要求；
4. 图（4）：线的两端没有端点，属于直线，A、B是直线上的两点，可记为直线AB（也可记为直线AC、直线BC），符合要求。
综上，符合要求的图形共2个。
【答案】
C
【知识点】
直线的表示；直线、射线、线段的区别
【点评】
本题易错点有两个，一是混淆三种线的端点特征，错把射线、线段当成直线；二是误认为直线上存在其他点时，就不能用其中两个点表示这条直线，解题时要避开这两个误区。
【难度系数】
0.7
首先回忆直线、射线、线段的核心特征：直线没有端点，可向两端无限延伸；射线有1个端点，仅可向一端无限延伸；线段有2个端点，无法延伸。另外直线的表示规则为：只要两个点在同一条直线上，就可以用这两个点的大写字母表示这条直线。接下来我们逐个判断4个图形是否符合“直线AB”的记法即可。
【解析】
我们依次分析每个图形：
1. 图（1）：线的两端没有端点，属于直线，A、B是直线上的两点，可以记为直线AB，符合要求；
2. 图（2）：A处有端点，B处无端点，属于射线AB，不是直线，不符合要求；
3. 图（3）：A、B处都有端点，属于线段AB，不是直线，不符合要求；
4. 图（4）：线的两端没有端点，属于直线，A、B是直线上的两点，可记为直线AB（也可记为直线AC、直线BC），符合要求。
综上，符合要求的图形共2个。
【答案】
C
【知识点】
直线的表示；直线、射线、线段的区别
【点评】
本题易错点有两个，一是混淆三种线的端点特征，错把射线、线段当成直线；二是误认为直线上存在其他点时，就不能用其中两个点表示这条直线，解题时要避开这两个误区。
【难度系数】
0.7
3. 如图,下列式子中不能表示“射线OC是∠AOB的平分线”的是(
A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB
C.∠AOB=2∠COB
D.∠AOC+∠COB=∠AOB
D
).A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB
C.∠AOB=2∠COB
D.∠AOC+∠COB=∠AOB
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查角平分线的判定，解题思路如下：首先回忆角平分线的定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线叫做这个角的角平分线。接下来逐一分析每个选项，判断选项描述是否能推出OC将∠AOB分成两个相等的角，尤其注意D选项的描述是角的和差关系，只要OC在∠AOB内部就恒成立，无法说明两个角相等。
【解析】
根据角平分线的定义：若射线OC是∠AOB的平分线，则满足∠AOC=∠BOC，该式可等价变形为∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB、∠AOB=2∠BOC、∠AOB=2∠AOC。
对各选项逐一分析：
A. ∠AOC=∠BOC，直接符合角平分线的定义，可表示OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
B. 由∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB，可推出∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，即∠AOC=∠BOC，可表示OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
C. 由∠AOB=2∠COB，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB，可推出∠AOC=∠COB，可表示OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
D. 只要射线OC在∠AOB的内部，就满足∠AOC+∠COB=∠AOB，无法说明∠AOC和∠COB相等，因此不能表示OC是∠AOB的平分线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.角平分线的定义
2.角的和差关系
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确掌握角平分线的判定条件，注意区分普通的角的和差关系和角平分线特有的等分角的特征，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
本题考查角平分线的判定，解题思路如下：首先回忆角平分线的定义：从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线叫做这个角的角平分线。接下来逐一分析每个选项，判断选项描述是否能推出OC将∠AOB分成两个相等的角，尤其注意D选项的描述是角的和差关系，只要OC在∠AOB内部就恒成立，无法说明两个角相等。
【解析】
根据角平分线的定义：若射线OC是∠AOB的平分线，则满足∠AOC=∠BOC，该式可等价变形为∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB、∠AOB=2∠BOC、∠AOB=2∠AOC。
对各选项逐一分析：
A. ∠AOC=∠BOC，直接符合角平分线的定义，可表示OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
B. 由∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB，可推出∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，即∠AOC=∠BOC，可表示OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
C. 由∠AOB=2∠COB，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB，可推出∠AOC=∠COB，可表示OC是∠AOB的平分线，不符合题意；
D. 只要射线OC在∠AOB的内部，就满足∠AOC+∠COB=∠AOB，无法说明∠AOC和∠COB相等，因此不能表示OC是∠AOB的平分线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.角平分线的定义
2.角的和差关系
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是准确掌握角平分线的判定条件，注意区分普通的角的和差关系和角平分线特有的等分角的特征，避免混淆概念出错。
【难度系数】
0.8
4.如图，$AB ⊥ AC$，$AD ⊥ BC$，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
D
）.A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
答案
4.D
解析
【分析】
解题的核心是先明确点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。我们可以结合题目给出的垂直条件（AB⊥AC，AD⊥BC），按顺序逐个排查每个点到对应直线的垂线段，避免遗漏即可得出结果。
【解析】
根据点到直线距离的定义，逐一列举符合要求的线段：
1. 点A到直线BC的距离：线段AD；
2. 点B到直线AC的距离：线段AB；
3. 点B到直线AD的距离：线段BD；
4. 点C到直线AB的距离：线段AC；
5. 点C到直线AD的距离：线段CD。
综上，共有5条符合要求的线段，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离，垂直的定义
【点评】
本题重点考查对基础概念的理解，解题时要按照固定顺序排查不同点对应的垂线段，避免因遗漏或重复计数导致错误。
【难度系数】
0.6
解题的核心是先明确点到直线距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。我们可以结合题目给出的垂直条件（AB⊥AC，AD⊥BC），按顺序逐个排查每个点到对应直线的垂线段，避免遗漏即可得出结果。
【解析】
根据点到直线距离的定义，逐一列举符合要求的线段：
1. 点A到直线BC的距离：线段AD；
2. 点B到直线AC的距离：线段AB；
3. 点B到直线AD的距离：线段BD；
4. 点C到直线AB的距离：线段AC；
5. 点C到直线AD的距离：线段CD。
综上，共有5条符合要求的线段，故选D。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离，垂直的定义
【点评】
本题重点考查对基础概念的理解，解题时要按照固定顺序排查不同点对应的垂线段，避免因遗漏或重复计数导致错误。
【难度系数】
0.6
5. 如图,点C在线段AB上,D是AC的中点,E是BC的中点,若ED=6,则AB的长为(
A.6
B.8
C.12
D.16
C
).A.6
B.8
C.12
D.16
答案
5.C
解析
【分析】
首先观察题目给出的条件，出现了两个线段中点，我们可以先回忆线段中点的性质：中点将线段分为长度相等的两段，每段长度是原线段的$\frac{1}{2}$。再看图形，线段ED由DC和CE两段组成，我们可以先把DC、CE分别用对应的原线段AC、BC表示，再将两段相加，就能找到ED和整条线段AB的数量关系，进而根据已知的ED长度求出AB的长。
【解析】
解：
∵ D是AC的中点，
∴ $DC = \frac{1}{2}AC$，
∵ E是BC的中点，
∴ $CE = \frac{1}{2}BC$，
∵ 点C在线段AB上，
∴ $AC + BC = AB$，
又
∵ $ED = DC + CE$，
∴ $ED = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC) = \frac{1}{2}AB$，
已知$ED=6$，
∴ $AB = 2ED = 2×6 = 12$。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是利用线段中点的性质，把分散的线段转化为和所求线段相关的整体，建立已知量和未知量的联系即可快速求解，需要熟练掌握这种整体转化的思路。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的条件，出现了两个线段中点，我们可以先回忆线段中点的性质：中点将线段分为长度相等的两段，每段长度是原线段的$\frac{1}{2}$。再看图形，线段ED由DC和CE两段组成，我们可以先把DC、CE分别用对应的原线段AC、BC表示，再将两段相加，就能找到ED和整条线段AB的数量关系，进而根据已知的ED长度求出AB的长。
【解析】
解：
∵ D是AC的中点，
∴ $DC = \frac{1}{2}AC$，
∵ E是BC的中点，
∴ $CE = \frac{1}{2}BC$，
∵ 点C在线段AB上，
∴ $AC + BC = AB$，
又
∵ $ED = DC + CE$，
∴ $ED = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC) = \frac{1}{2}AB$，
已知$ED=6$，
∴ $AB = 2ED = 2×6 = 12$。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是利用线段中点的性质，把分散的线段转化为和所求线段相关的整体，建立已知量和未知量的联系即可快速求解，需要熟练掌握这种整体转化的思路。
【难度系数】
0.8
6. 小明离家时发现，钟面上的时针与分针的夹角为$75°$，这个时间可能是(
A.$1:30$
B.$2:30$
C.$3:30$
D.$4:30$
C
).A.$1:30$
B.$2:30$
C.$3:30$
D.$4:30$
答案
6.C
解析
【分析】
要解决钟面时针与分针夹角的问题，首先明确钟面的基本特征：钟面为周角360°，平均分成12个大格，每个大格对应角度为$360°÷12=30°$；时针每小时走1个大格（30°），每分钟走0.5°，分针每分钟走6°。解题时分别计算每个选项中时针、分针对应的角度，求两者的夹角是否为75°即可。
【解析】
首先计算基础角度：每个大格对应$360°÷12=30°$，时针每分钟走$30°÷60=0.5°$，分针每分钟走$360°÷60=6°$。
逐个分析选项：
A. $1:30$时，分针指向6，对应角度为$6×30°=180°$；时针从1的位置走了30分钟，对应角度为$1×30°+30×0.5°=45°$，夹角为$180°-45°=135°$，不符合要求。
B. $2:30$时，分针角度为$180°$，时针角度为$2×30°+30×0.5°=75°$，夹角为$180°-75°=105°$，不符合要求。
C. $3:30$时，分针角度为$180°$，时针角度为$3×30°+30×0.5°=105°$，夹角为$180°-105°=75°$，符合要求。
D. $4:30$时，分针角度为$180°$，时针角度为$4×30°+30×0.5°=135°$，夹角为$180°-135°=45°$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
钟面角计算、角的度量
【点评】
本题是钟面夹角的典型基础题，解题核心是牢记钟面每个大格的角度，以及时针、分针的转动规律，分别计算出对应时刻两针的角度再求差即可，解题时注意不要忽略时针随分钟的偏移。
【难度系数】
0.7
要解决钟面时针与分针夹角的问题，首先明确钟面的基本特征：钟面为周角360°，平均分成12个大格，每个大格对应角度为$360°÷12=30°$；时针每小时走1个大格（30°），每分钟走0.5°，分针每分钟走6°。解题时分别计算每个选项中时针、分针对应的角度，求两者的夹角是否为75°即可。
【解析】
首先计算基础角度：每个大格对应$360°÷12=30°$，时针每分钟走$30°÷60=0.5°$，分针每分钟走$360°÷60=6°$。
逐个分析选项：
A. $1:30$时，分针指向6，对应角度为$6×30°=180°$；时针从1的位置走了30分钟，对应角度为$1×30°+30×0.5°=45°$，夹角为$180°-45°=135°$，不符合要求。
B. $2:30$时，分针角度为$180°$，时针角度为$2×30°+30×0.5°=75°$，夹角为$180°-75°=105°$，不符合要求。
C. $3:30$时，分针角度为$180°$，时针角度为$3×30°+30×0.5°=105°$，夹角为$180°-105°=75°$，符合要求。
D. $4:30$时，分针角度为$180°$，时针角度为$4×30°+30×0.5°=135°$，夹角为$180°-135°=45°$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
钟面角计算、角的度量
【点评】
本题是钟面夹角的典型基础题，解题核心是牢记钟面每个大格的角度，以及时针、分针的转动规律，分别计算出对应时刻两针的角度再求差即可，解题时注意不要忽略时针随分钟的偏移。
【难度系数】
0.7
7. 一个角的余角和这个角的补角也互为补角，那么这个角的度数等于(
A.$90°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$15°$
C
).A.$90°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$15°$
答案
7.C
解析
【分析】解题时首先要明确余角、补角的基本定义，我们可以通过设未知数的方法求解：先设这个角的度数为x，分别表示出它的余角和补角，再根据“余角和补角互为补角”的等量关系列方程，最后解方程得出结果即可。
【解析】设这个角的度数为$ x $。
1. 根据余角定义，两个角和为$90°$则互为余角，可得这个角的余角为：$90° - x$
2. 根据补角定义，两个角和为$180°$则互为补角，可得这个角的补角为：$180° - x$
3. 已知该角的余角和补角互为补角，即二者和为$180°$，列方程：
$(90° - x)+(180° - x)=180°$
化简得：$270° - 2x=180°$
移项计算得：$2x=90°$，解得$x=45°$
【答案】C
【知识点】余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】本题是基础概念应用题，核心是熟练掌握余角和补角的定义，用设未知数列方程的方法是解决这类角度计算问题的常用思路，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】0.8
【解析】设这个角的度数为$ x $。
1. 根据余角定义，两个角和为$90°$则互为余角，可得这个角的余角为：$90° - x$
2. 根据补角定义，两个角和为$180°$则互为补角，可得这个角的补角为：$180° - x$
3. 已知该角的余角和补角互为补角，即二者和为$180°$，列方程：
$(90° - x)+(180° - x)=180°$
化简得：$270° - 2x=180°$
移项计算得：$2x=90°$，解得$x=45°$
【答案】C
【知识点】余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】本题是基础概念应用题，核心是熟练掌握余角和补角的定义，用设未知数列方程的方法是解决这类角度计算问题的常用思路，计算时注意角度运算的准确性即可。
【难度系数】0.8
8. 过多边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成三角形，可以分成4个三角形的是（
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.七边形
C
）.A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.七边形
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确过n边形的一个顶点，连接其余各顶点后，分割得到的三角形个数与多边形边数n的对应规律。我们可以先从简单的多边形推导规律：过四边形一个顶点连线，可分成2个三角形，即4-2=2；过五边形一个顶点连线，可分成3个三角形，即5-2=3，由此可得通用规律：过n边形一个顶点分割得到的三角形个数为n-2。已知题目中分割得到4个三角形，我们只需代入规律求出边数n，就能确定是哪种多边形。
【解析】
设该多边形的边数为n，根据过n边形一个顶点分割三角形的规律可得：
分割得到的三角形个数 = n - 2
已知可分成4个三角形，代入得：
n - 2 = 4
解得n = 6，即该多边形为六边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线性质；多边形分三角形的规律
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查多边形对角线分割三角形的数量规律，熟记规律即可快速得出答案，运算量小。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确过n边形的一个顶点，连接其余各顶点后，分割得到的三角形个数与多边形边数n的对应规律。我们可以先从简单的多边形推导规律：过四边形一个顶点连线，可分成2个三角形，即4-2=2；过五边形一个顶点连线，可分成3个三角形，即5-2=3，由此可得通用规律：过n边形一个顶点分割得到的三角形个数为n-2。已知题目中分割得到4个三角形，我们只需代入规律求出边数n，就能确定是哪种多边形。
【解析】
设该多边形的边数为n，根据过n边形一个顶点分割三角形的规律可得：
分割得到的三角形个数 = n - 2
已知可分成4个三角形，代入得：
n - 2 = 4
解得n = 6，即该多边形为六边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形对角线性质；多边形分三角形的规律
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查多边形对角线分割三角形的数量规律，熟记规律即可快速得出答案，运算量小。
【难度系数】
0.8
9. 一个角的余角为$40°$，那么这个角的度数为
50°
。答案
9.50°
解析
【分析】
解决本题首先要明确余角的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。已知所求角的余角是40°，只需用互余两角的总和90°减去已知余角的度数，即可求出这个角的度数。
【解析】
解：根据余角的性质，互为余角的两个角的和为90°。
设这个角的度数为x，可得：
$x + 40° = 90°$
$x = 90° - 40°$
$x = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
余角的定义、角度的运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要准确掌握余角的基本性质就能快速求解，是平面图形初步认识模块的典型基础题。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确余角的定义：若两个角的度数之和为90°，则这两个角互为余角。已知所求角的余角是40°，只需用互余两角的总和90°减去已知余角的度数，即可求出这个角的度数。
【解析】
解：根据余角的性质，互为余角的两个角的和为90°。
设这个角的度数为x，可得：
$x + 40° = 90°$
$x = 90° - 40°$
$x = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
余角的定义、角度的运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要准确掌握余角的基本性质就能快速求解，是平面图形初步认识模块的典型基础题。
【难度系数】
0.9
10. $22.5° =$
$12°24' =$
22
° 30
′；$12°24' =$
4
°答案
10. 22 30 12.4
解析
【分析】
首先要明确度和分的换算进率为：1°=60′，换算分两种情况思考：①将带小数的度换算为度、分组合形式时，整数部分直接作为度的数值，小数部分乘60即可得到对应的分数值；②将度、分组合形式换算为纯度的形式时，把分的数值除以60转换为度，再加到原有的度的数值上即可得到结果。
【解析】
解：已知度和分的换算关系为$\boldsymbol{1°=60'}$
1. 换算$22.5°$：
$22.5°$的整数部分是$22°$，剩余小数部分为$0.5°$，将其转换为分：
$0.5°=0.5×60'=30'$
因此$22.5°=22°30'$。
2. 换算$12°24'$：
先将$24'$转换为度：
$24'=24÷60°=0.4°$
再和原有的度相加：$12°+0.4°=12.4°$
因此$12°24'=12.4°$。
【答案】
22；30；12.4
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题是角的单位换算的基础题型，核心是掌握度与分之间60进制的换算规则，做题时注意区分“度转分乘进率、分转度除以进率”的换算逻辑即可，不容易出错。
【难度系数】
0.9
首先要明确度和分的换算进率为：1°=60′，换算分两种情况思考：①将带小数的度换算为度、分组合形式时，整数部分直接作为度的数值，小数部分乘60即可得到对应的分数值；②将度、分组合形式换算为纯度的形式时，把分的数值除以60转换为度，再加到原有的度的数值上即可得到结果。
【解析】
解：已知度和分的换算关系为$\boldsymbol{1°=60'}$
1. 换算$22.5°$：
$22.5°$的整数部分是$22°$，剩余小数部分为$0.5°$，将其转换为分：
$0.5°=0.5×60'=30'$
因此$22.5°=22°30'$。
2. 换算$12°24'$：
先将$24'$转换为度：
$24'=24÷60°=0.4°$
再和原有的度相加：$12°+0.4°=12.4°$
因此$12°24'=12.4°$。
【答案】
22；30；12.4
【知识点】
度分秒的换算
【点评】
本题是角的单位换算的基础题型，核心是掌握度与分之间60进制的换算规则，做题时注意区分“度转分乘进率、分转度除以进率”的换算逻辑即可，不容易出错。
【难度系数】
0.9
11.如图,若$CB=4\ \mathrm{cm}$,$DB=7\ \mathrm{cm}$,且$D$是$AC$的中点,则$AC=$
6 cm
答案
11.6 cm
解析
【分析】
解题时先明确同一直线上线段的和差关系，首先根据已知的DB、CB长度，求出线段DC的长度，再利用D是AC中点的性质：中点将线段分为长度相等的两段，即AC=2DC，即可求出AC的长度。
【解析】
解：由图可知，线段DB由DC和CB组成，因此
$DC = DB - CB = 7\ \mathrm{cm} - 4\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$
∵D是AC的中点，根据线段中点的定义，$AC=2DC$
∴$AC=2×3\ \mathrm{cm}=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
6 cm
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的性质
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的关键是先通过线段和差求出中间线段DC的长度，再结合中点性质推导所求线段长度，掌握基础的线段运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
解题时先明确同一直线上线段的和差关系，首先根据已知的DB、CB长度，求出线段DC的长度，再利用D是AC中点的性质：中点将线段分为长度相等的两段，即AC=2DC，即可求出AC的长度。
【解析】
解：由图可知，线段DB由DC和CB组成，因此
$DC = DB - CB = 7\ \mathrm{cm} - 4\ \mathrm{cm} = 3\ \mathrm{cm}$
∵D是AC的中点，根据线段中点的定义，$AC=2DC$
∴$AC=2×3\ \mathrm{cm}=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
6 cm
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的性质
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题的关键是先通过线段和差求出中间线段DC的长度，再结合中点性质推导所求线段长度，掌握基础的线段运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
12. 要将一根木条固定在墙上，至少要钉
2
枚钉，依据是两点确定一条直线
。答案
12.2 两点确定一条直线
解析
【分析】
我们可以结合生活经验逐步思考：如果只钉1枚钉子，木条会绕着这枚钉子自由转动，没办法固定；如果钉2枚钉子，木条就不能再移动了。我们把钉子对应成点、木条对应成直线，就能联系到对应的直线基本性质得到结论。
【解析】
若仅钉1枚钉子，木条可绕该钉子转动，无法固定；当钉2枚钉子时，根据直线的基本事实，两个点能确定唯一的一条直线，这2枚钉子（两个点）确定的直线就是木条所在的直线，此时木条无法转动或移位，可被稳定固定。因此固定木条至少需要2枚钉子，依据是两点确定一条直线。
【答案】
2；两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题是数学原理在生活中的实际应用，需要将生活场景和数学知识结合起来解答，考查对直线基本性质的理解，贴合实际，容易上手。
【难度系数】
0.9
我们可以结合生活经验逐步思考：如果只钉1枚钉子，木条会绕着这枚钉子自由转动，没办法固定；如果钉2枚钉子，木条就不能再移动了。我们把钉子对应成点、木条对应成直线，就能联系到对应的直线基本性质得到结论。
【解析】
若仅钉1枚钉子，木条可绕该钉子转动，无法固定；当钉2枚钉子时，根据直线的基本事实，两个点能确定唯一的一条直线，这2枚钉子（两个点）确定的直线就是木条所在的直线，此时木条无法转动或移位，可被稳定固定。因此固定木条至少需要2枚钉子，依据是两点确定一条直线。
【答案】
2；两点确定一条直线
【知识点】
两点确定一条直线
【点评】
本题是数学原理在生活中的实际应用，需要将生活场景和数学知识结合起来解答，考查对直线基本性质的理解，贴合实际，容易上手。
【难度系数】
0.9
13. 新情境 数学与生活融合 如图，这是校园中的一块长方形草坪，但时间不长，拐角ABC处的草坪就被部分同学践踏损坏了.因为他们不是沿着A→B→C的路径行走，而是沿着A→C的路径行走的，虽然他们方便了自己（原因是
（第13题）
两点之间线段最短
），但这样做显然是不可取的，应该坚决杜绝类似不文明的行为.（第13题）答案
13.两点之间线段最短
解析
【分析】
这道题结合校园里抄近路的实际场景，解题时首先对比两条行走路径的特征：A→B→C是经过两次拐弯的折线路径，A→C是直接连接A、C两点的线段。再回忆线段相关的基本性质，就能对应得出路径更短的原理。
【解析】
沿A→B→C行走的路径是折线，总长度为AB与BC的长度之和；沿A→C行走的路径是连接A、C两点的线段。根据几何中的基本事实：两点之间的所有连线中，线段的长度最短，因此走A→C的路径路程更短，更节省路程。
【答案】
两点之间线段最短
【知识点】
线段的性质
【点评】
本题将数学基础知识点和生活实际场景结合，既考查了对几何基本原理的掌握，也传递了文明爱护公共环境的观念，兼具知识性和教育性。
【难度系数】
0.9
这道题结合校园里抄近路的实际场景，解题时首先对比两条行走路径的特征：A→B→C是经过两次拐弯的折线路径，A→C是直接连接A、C两点的线段。再回忆线段相关的基本性质，就能对应得出路径更短的原理。
【解析】
沿A→B→C行走的路径是折线，总长度为AB与BC的长度之和；沿A→C行走的路径是连接A、C两点的线段。根据几何中的基本事实：两点之间的所有连线中，线段的长度最短，因此走A→C的路径路程更短，更节省路程。
【答案】
两点之间线段最短
【知识点】
线段的性质
【点评】
本题将数学基础知识点和生活实际场景结合，既考查了对几何基本原理的掌握，也传递了文明爱护公共环境的观念，兼具知识性和教育性。
【难度系数】
0.9
