1. 如图①,已知A,B为直线MN同侧的两点,连接AP,BP,若$∠ APM=∠ BPN$,则称点P为点A,B关于直线MN的“等角点”.如图②,在$△ ABC$中,$∠ ABC,∠ BAC$的平分线交于点O,点O到AC的距离为2,直线$l$垂直平分边BC,点P为点O,B关于直线$l$的“等角点”,连接OP,BP,当$∠ ACB=60°$时,$OP+BP$的值为________.

1. 4

2. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形.
【初步尝试】
(1)如图①,$△ ABD$与$△ ACD$是偏等积三角形,$AB=2,AC=6$,且线段$AD$的长度为正整数,则$AD$的长度为.
【理解探究】
(2)如图②,已知$△ ABC$为直角三角形,$∠ ACB=90°$,分别以$AB,AC$为边向外作正方形$ABDE$,正方形$ACFG$,连接$EG$.求证:$△ ABC$与$△ AEG$为偏等积三角形.
(3)如图③,将$△ ABC$分别以$AB,BC,AC$为边向外作正方形$ABDE$,正方形$BCFG$,正方形$ACMN$,连接$DG,FM,NE$,则图中有组偏等积三角形.
【综合运用】
(4)如图④,四边形$ABED$是一片绿色花园,$△ ACB,△ DCE$是等腰直角三角形,$∠ ACB=∠ DCE=90°(0°＜∠ BCE＜90°)$,已知$BE=60\ \mathrm{m}$,$△ ACD$的面积为$2\ 100\ \mathrm{m}^2$.计划修建一条经过点$C$的笔直的小路$CF$,点$F$在$BE$边上,$FC$的延长线经过$AD$的中点$G$.若小路每米造价$600$元,请计算修建小路的总造价.

2. (1) 3
解析:
∵ △ABD 与 △ACD 是偏等积三角形,且△ABD 与 △ACD 在 BC 边上的高相等,
∴ BD = CD. 过 C 作CE//AB 交 AD 的延长线于 E, 如图①,,
∴ ∠E = ∠BAD. 在△ECD 和 △ABD 中, $\begin{cases} ∠E=∠BAD, \\ ∠EDC=∠ADB, \\ CD=BD, \end{cases}$
∴ △ECD ≌ △ABD(AAS),
∴ ED=AD,EC=AB=2.
∵ AC=6,AE=2AD,
∴ 6-2＜2AD＜6+2,
∴ 4＜2AD＜8,
∴ 2＜AD＜4.
∵ 线段 AD 的长度为正整数,
∴ AD=3.
(2)作EH⊥AG,交 GA 的延长线于 H,如图②.
∵ 四边形 ABDE是正方形,
∴ AB=AE,∠BAE=90°.
∵ 四边形 ACFG 是正方形,
∴ AC=AG,∠CAG=90°,
∴ ∠CAH=90°,
∴ ∠BAC=∠EAH=90°-∠BAH. 在 △ABC 和 △AEH 中, $\begin{cases} ∠ACB=∠H, \\ ∠CAB=∠HAE, \\ AB=AE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△AEH(AAS),
∴ HE = BC.
∵ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC$, $S_{△AGE}=\frac{1}{2}EH·AG$,
∴ $S_{△ABC}=S_{△AGE}$,
∴ △ABC 与 △AEG 为偏等积三角形.
(3)6
解析:延长 NA 到点 H,使得 AH=AN,连接 EH,如图③,,
∴ $S_{△AEN}=S_{△AEH}$.
∵ 四边形 ABDE,四边形 ACMN 是正方形,
∴ AB=AE,AN=AC,∠BAE=∠CAN=90°,
∴ AN=AC=AH,∠CAH=90°.
∵ ∠EAH + ∠HAB = ∠BAC + ∠HAB = 90°,
∴ ∠EAH= ∠BAC. 在 △AEH 和 △ABC 中, $\begin{cases} AE=AB, \\ ∠EAH=∠BAC, \\ AH=AC, \end{cases}$
∴ △AEH≌△ABC(SAS),
∴ $S_{△AEH}=S_{△ABC}$,
∴ $S_{△AEN}=S_{△ABC}$,
∴ △AEN 与 △ABC 是偏等积三角形. 同理可得 $S_{△CMF}=S_{△AEH}=S_{△ABC}=S_{△BDG}$,
∴ 偏等积三角形有 △ABC 与 △CMF,△AEN 与 △ABC,△BDG 与 △ABC,△AEN 与 △CMF,△BDG 与 △CMF,△BDG 与 △AEN,
∴ 共有 6 组.
(4)由(3)同理得,$S_{△ACD}=S_{△BCE}$,如图④,过点 A 作 AM//CD,交 CG 的延长线于 M,
∴ ∠M = ∠DCG.
∵ 点 G 为 AD 的中点,
∴ DG=AG.在△AGM 和 △DGC 中, $\begin{cases} ∠M=∠DCG, \\ ∠AGM=∠DGC, \\ AG=DG, \end{cases}$,
∴ △AGM≌△DGC(AAS),
∴ AM=CD=CE.
∵ AM//CD,
∴ ∠MAC+∠DCA=180°.
∵ ∠ACD+∠BCE=180°,
∴ ∠MAC=∠BCE. 在 △MAC 和△ECB 中, $\begin{cases} MA=EC, \\ ∠MAC=∠ECB, \\ AC=CB, \end{cases}$,
∴ △MAC ≌ △ECB ( SAS ),
∴ ∠ACM=∠CBF.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACM + ∠BCF = 90°,
∴ ∠BCF+∠CBE=90°,
∴ ∠CFB=90°,即 CF ⊥ BE.
∵ $S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BE×CF=2100,BE=60\ \mathrm{m}$,
∴ $CF=\frac{2×2100}{60}=70(\mathrm{m})$,
∴ 70×600=42000(元),
∴ 修建小路的总造价为 42000 元.