（2025·南京期中）探究等腰三角形全等的条件.
(1)下列命题中,是真命题的有（填序号）；
①两腰分别相等的两个等腰三角形全等；
②两个底角分别相等的两个等腰三角形全等；
③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形全等；
④顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等.
(2)如图,已知$∠ α$和线段$m$,从以下三个条件中任选一个,用直尺和圆规作一个等腰三角形:
①底角为$α$,腰上的高为$m$；
②底角为$α$,从底角顶点作角平分线交对边(腰)所得线段的长为$m$；
③底角为$α$,腰上的中线为$m$.（要求:保留作图痕迹,并写出必要的文字说明,不写作法）

(3)证明:底边上的高和一腰上的高分别相等的两个等腰三角形全等.
已知:如图,$△ ABC$与$△ A'B'C'$是等腰三角形,$AB=AC,A'B'=A'C'$,$AD$与$CE$是$△ ABC$的高,$A'D'$与$C'E'$是$△ A'B'C'$的高,且$AD=A'D'$,$CE=C'E'$.
求证:$△ ABC≌ △ A'B'C'$.
【知识补充】如图②,若点$D$和$E$分别为$AB,AC$的中点,则$DE// BC,DE=\frac{1}{2}BC$.

(1) ③④
解析:①两腰分别相等的两个等腰三角形,因为顶角不一定相等,不能判定两个三角形全等,不是真命题;②两个底角分别相等的两个等腰三角形,也就是说两个三角形三个角对应相等,不能判定两个三角形全等,不是真命题;③一腰与底边分别相等的两个等腰三角形,利用SSS能判定两个三角形全等,是真命题;④顶角和底边对应相等的两个等腰三角形,则两个三角形中三个角对应相等,并且底边对应相等,那么可以利用ASA或者AAS来证明两个三角形全等,是真命题.综上所述,③④是真命题.
(2) ①作$∠ MAN=α$,在$AM$上取点$D$,作$DE ⊥ AM$并在$DE$上截取$DE=m$,作$EB ⊥ DE$交$AN$于点$B$,作$BF ⊥ BE$交$AM$于点$F$,此时$BF=m$,作$∠ CBA=∠ A$交$AM$于点$C$,$△ ABC$即为所求.

②作$∠ MAN = α$,作$AE$平分$∠ MAN$,在射线$AE$上截取线段$AD$,使得$AD=m$,作$DT // AM$交$AN$于点$T$,以$D$为圆心,$DT$为半径画弧,交$AN$于点$B$,连接$BD$,延长$BD$交$AM$于点$C$,$△ ABC$即为所求.

③作$∠ MAN=α$,以$A$为圆心,$m$为半径作弧交$∠ MAN$的两边于$P$和$Q$,在$AN$上取点$D$,作$∠ EDA=α$交$AM$于点$E$,以$E$为圆心,$AD$为半径作弧与以$D$为圆心,$AE$为半径作的弧交于点$F$,连接$AF$,分别交$\overset{\frown}{PQ}$和$DE$于点$G$和$H$,再作$∠ FGB=∠ EHA$并交$AN$于点$B$,延长$BG$交$AM$于点$C$,$△ ABC$即为所求.

(3) 证明:取$BE$的中点$F$,连接$DF$,作$DG ⊥ AC$于点$G$,取$B'E'$的中点$F'$,连接$D'F'$,作$D'G' ⊥ A'C'$于点$G'$.$\because △ ABC$与$△ A'B'C'$是等腰三角形,$AD$是$△ ABC$的高,$AB=AC$,$A'B'=A'C'$,$A'D'$是$△ A'B'C'$的高,$\therefore BD=CD$,$B'D'=C'D'$,$∠ BAD=∠ CAD$,$∠ B'A'D' = ∠ C'A'D'$,$\therefore DF // CE$,$D'F' // C'E'$,$DF = \frac{1}{2} CE$,$D'F'=\frac{1}{2} C'E'$.$\because CE$是$△ ABC$的高,$C'E'$是$△ A'B'C'$的高,$\therefore DF ⊥ AB$,$D'F' ⊥ A'B'$,$\therefore DF=DG$,$D'F'=D'G'$.$\because CE=C'E'$,$\therefore DF=DG=D'F'=D'G'$.$\because AD=A'D'$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ADF ≌ \mathrm{Rt}△ A'D'F'(\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ FAD=∠ F'A'D'$,$\therefore ∠ EAC=∠ E'A'C'$.
$\because ∠ AEC= ∠ A'E'C' = 90°$,$CE = C'E'$,$\therefore △ AEC ≌ △ A'E'C'(\mathrm{AAS})$,$\therefore AC = A'C'$,$\therefore AB = AC = A'C' = A'B'$.$\because ∠ BAC = ∠ B'A'C'$,$\therefore △ BAC≌△ B'A'C'(\mathrm{SAS})$.