|数形结合思想 探寻“勾股数”：
满足关系$a^2+b^2=c^2$的正整数$a,b,c$称为勾股数.通过学习我们知道勾股数有无数组,那么勾股数有规律吗?下面我们利用点图来探寻一类勾股数的计算公式.如图,从点图的左上角构造正方形,把含有$n^2$个点的正方形称为$n$阶正方形.

(1)探寻规律:
①2阶正方形比1阶正方形多3个点;3阶正方形比2阶正方形多5个点;4阶正方形比3阶正方形多个点.
②$(a+1)$阶正方形比$a$阶正方形多个点.
(2)利用$(a+1)$阶正方形与$a$阶正方形探寻勾股数.如果$(a+1)$阶正方形比$a$阶正方形多的点数为平方数,那么就可以得到一组勾股数,比如5阶正方形比4阶正方形多9个点,9是平方数,于是能得到$16+9=25$,即$4^2+3^2=5^2$,因此得到一组勾股数为$a=4,b=3,c=5$,请利用该方法再写出一组勾股数.
(3)设$(a+1)$阶正方形比$a$阶正方形多$n^2$个点,用字母$n$表示这组勾股数,写出求解过程,并指出$n$是奇数还是偶数.

(1)①7 ②$(2a+1)$
解析:1阶正方形:$1×1=1^2=1$,1个点,
2阶正方形:$2×2=2^2=4$,4个点,3阶正方形:$3×3=3^2=9$,9个点……n阶正方形:$n× n=n^2$,$n^2$个点,
∴4阶正方形比3阶正方形多$4^2-3^2=16-9=7$(个)点,$(a+1)$阶正方形比$a$阶正方形多$(a+1)^2-a^2=(2a+1)$个点.
(2)13阶正方形有$13^2=169$(个)点,12阶正方形有$12^2=144$(个)点,则$169-144=25$,
∵25是平方数,$144+25=169$,即$12^2+5^2=13^2$,
∴得到一组勾股数为$a=12,b=5,c=13$.(答案不唯一)
(3)根据题意可知$(a+1)^2-a^2=n^2$,整理得$a=\frac{n^2-1}{2}$,
∴$a+1=\frac{n^2-1}{2}+1=\frac{n^2}{2}-\frac{1}{2}+1=\frac{n^2+1}{2}$,
∴这组勾股数为$\frac{n^2-1}{2},n,\frac{n^2+1}{2}$.
∵$\frac{n^2-1}{2}$为整数,
∴$n^2-1$为偶数,
∴$n^2$为奇数,
∴n为奇数.