7. 定义:如图,点M,N(点M在N的左侧)把线段AB分割成AM,MN,NB.若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,BN,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=30,AM=5,求BN的长.

7. (1)是.理由:$\because AM^2+BN^2=1.5^2+2^2=6.25,MN^2=2.5^2=6.25$,
$\therefore AM^2+NB^2=MN^2,\therefore$ 以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,$\therefore$ 点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设$BN=x$,则$MN=30-AM-BN=25-x$,①当$MN$为最长线段时,依题意$MN^2=AM^2+NB^2$,即$(25-x)^2=x^2+25$,解得$x=12$;
②当$BN$为最长线段时,依题意$BN^2=AM^2+MN^2$,即$x^2=25+(25-x)^2$,解得$x=13$,综上所述,$BN=12$或13.

8. 综合与实践:刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究.
问题模型:在等腰三角形 $ABC$ 中,$∠ BAC = 120°$,$AB = AC = 2$.
(1)探究1:如图①,点 $D$ 为等腰三角形 $ABC$ 底边 $BC$ 上一个动点,连接 $AD$,则 $AD$ 的最小值为 ______;
(2)探究2:在探究1的结论下,继续探究,如图②,作$∠ BAD$的平分线 $AE$ 交 $BC$ 于点 $E$,点 $F,G$ 分别为 $AE,AD$ 上一个动点,求 $DF+FG$ 的最小值;
(3)探究3:在探究1的结论下,继续探究,如图③,点 $M$ 为线段 $CD$ 上一个动点,连接 $AM$,将 $AM$ 顺时针旋转 $60°$,得到线段 $AN$,连接 $ND$,求线段 $DN$ 的最小值.

＞＞ 对点专练 P106
＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习

8. (1)1 解析:当$AD⊥BC$时,如图①,由垂线段最短,此时AD有最小值,$\because △ABC$为等腰三角形,$∠BAC=120°,AB=AC=2$,
$\therefore ∠B=∠C=30°,\therefore AD=\frac{1}{2}AB=1$.
(2)作$EH⊥AB$于点H,过点H作$HG'⊥AD$于点$G'$,连接HF,如图②,$\because ∠BAD$的平分线AE交BC于点E,$ED⊥AD,EH⊥AB$,
$\therefore EH=ED.\because AE=AE,\therefore Rt△AHE≌Rt△ADE(\mathrm{HL}),\therefore$ 点D与点H关于AE成轴对称,$AH=AD=1,HF=DF,\therefore DF+FG=HF+FG≥HG$,当H,F,G三点共线时取得最小值,即为$HG'$,如图③,
$\because HG'⊥AD,AD⊥BC,\therefore HG'// BC,\therefore ∠AHG'=∠B=30°$,
$\therefore AG'=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2},\therefore$ 由勾股定理得,$HG'=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore DF+FG$的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(3)如图④,在AC上取一点K,使得$AK=AD=1$,连接MK,DK.由题意得$∠NAM=60°,NA=MA,\because ∠ADC=90°,∠C=30°$,
$\therefore ∠DAK=60°,\therefore ∠NAM=∠DAK,\therefore ∠NAD=∠MAK.\because NA=MA,AD=AK,\therefore △NAD≌△MAK(\mathrm{SAS}),\therefore DN=MK,\therefore$ 当$MK⊥DC$时,MK的值最小.$\because AC=2,AK=1,\therefore KC=1.\because ∠C=30°$,
$\therefore MK=\frac{1}{2}KC=\frac{1}{2},\therefore$ 此时MK的最小值为$\frac{1}{2}$,即线段DN的最小值为$\frac{1}{2}$.