【问题】在圆柱表面,蚂蚁怎么爬行路径最短?(计算过程中的π取3)
素材1 如图①,圆柱形纸盒的高AC为12厘米,底面直径BC为6厘米,在圆柱下底面圆周上的A点处有一只蚂蚁,它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.
(1)若蚂蚁沿图①中的折线A→C→B爬行的路径记为“路线一”,此时爬行的路程是12+6=18(厘米).将圆柱沿着AC将侧面展开得到图②,请在图②中画出蚂蚁爬行的最短路径(此路径记为“路线二”),此时爬行的路程是厘米.比较可知:蚂蚁爬行的最短路径是路线(用“一”或“二”填空).

(1) 15 二 解析:画出蚂蚁爬行的最短路径如图所示,展开后,半圆长为$\frac{1}{2}π d=\frac{1}{2}×3×6=9$(厘米),此时爬行的路程是$\sqrt{12^2+9^2}=15$(厘米),
∵15＜18,
∴蚂蚁爬行的最短路径是路线二.

素材2 如图③所示的实践活动器材包括:底面直径为6厘米,高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线(借助细线来反映爬行的路线)、直尺,通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的,(1)中两种路线路程的长度如下表所示(单位:厘米):

(2)填空:表格中a的值是;表格中b表示的大小关系是.
(3)经历上述探究后,请你思考:若圆柱的半径为r,圆柱的高为h.在r不变的情况下,当圆柱半径r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时,蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?

(2)9 $x＜y$ 解析:$a=3+6=9$,
∵9＜9.49,
∴表格中b表示的大小关系是$x＜y$.
(3)根据题意可得 $h+2r=\sqrt{h^2+(3r)^2}$,即 $h^2+4hr+4r^2=h^2+9r^2$,
∴ $h=\frac{5}{4}r$,故当 $h=\frac{5}{4}r$ 时,蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等.