1. $(2+1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×\dots×(2^{64}+1)-1$ 的个位数字是________.

1. 4 【解析】原式$=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×\dots×(2^{64}+1)-1$
$=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×\dots×(2^{64}+1)-1$
$=(2^4-1)×(2^4+1)×\dots×(2^{64}+1)-1$
$=(2^8-1)×\dots×(2^{64}+1)-1$
$=2^{128}-1-1$
$=2^{128}-2$
$2^n$ 的尾数规律为 2,4,8,6,2,4…,由此可知,$2^n$ 的尾数是四个一循环,$128÷4=32$,可得 $2^{128}$ 的尾数为 6,
∴$2^{128}-2$ 的尾数为:6-2=4.
故填:4.

【分析】
要计算该式的个位数字，直接计算复杂，可利用平方差公式简化连乘部分：先给原式乘以值为1的$(2-1)$，不改变原式结果，再依次应用平方差公式逐步化简，得到简化后的式子后，结合2的幂次的个位循环规律，即可快速求出个位数字。
【解析】
原式=$(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×\dots×(2^{64}+1)-1$
$=(2-1)×(2+1)×(2^2+1)×(2^4+1)×\dots×(2^{64}+1)-1$
$=(2^2-1)×(2^2+1)×(2^4+1)×\dots×(2^{64}+1)-1$
$=(2^4-1)×(2^4+1)×\dots×(2^{64}+1)-1$
……
连续应用平方差公式后，最终化简为：
$=2^{128}-1-1=2^{128}-2$
观察$2^n$的个位数字规律：2、4、8、6，每4个一循环。
计算$128÷4=32$，无余数，故$2^{128}$的个位数字为循环中的最后一个数6。
则$2^{128}-2$的个位数字为$6-2=4$。
【答案】
4
【知识点】
平方差公式；幂的个位规律
【点评】
本题通过补项构造平方差公式简化复杂连乘，再利用幂的个位周期性快速求解，是代数运算中常用的技巧方法，需掌握平方差公式的灵活应用。
【难度系数】
0.4

2. 若$(a^2 + b^2 - 1)(a^2 + b^2 + 1) = 35$，则$a^2 + b^2 =$.

2. 6 【解析】设$a^2+b^2=x$,则$(x-1)(x+1)=35$,$x^2-1=35$,$x^2=36$,$\therefore x=\pm6$.
$\because a^2+b^2≥0$,$\therefore x=6$,$a^2+b^2=6$.
故填:6.

【分析】本题可运用换元法简化计算，观察到式子中重复出现$a^2 + b^2$，将其设为整体$x$，把原式转化为关于$x$的方程，再结合平方的非负性筛选出符合条件的解。
【解析】设$a^2 + b^2 = x$，由于平方数非负，故$x≥0$，原方程可化为：$(x - 1)(x + 1) = 35$。根据平方差公式$(m-n)(m+n)=m^2 -n^2$，展开得$x^2 - 1 = 35$，移项后得$x^2 = 36$，解得$x = \pm6$。结合$x≥0$，舍去$x = -6$，因此$x = 6$，即$a^2 + b^2 = 6$。
【答案】6
【知识点】换元法、平方差公式、平方的非负性
【点评】本题通过整体换元简化了复杂的代数式子，体现了整体思想的应用，解题关键是利用平方差公式化简方程，同时需注意平方数的非负性以排除错误解，属于基础代数运算题。
【难度系数】0.6

二、解答题(10 分)
3. 已知$AB// CD$，点 E 在 AB 上，点 F 在 DC 上，点 G 为射线 EF 上一点.

(1)(基础问题)如图 1,试说明:$∠AGD=∠A+∠D$.(完成图中的填空部分)
证明:过点 G 作直线$MN// AB$,
又$\because AB// CD$,
$\therefore MN// CD$,()
$\therefore ∠D=$.()
$\because MN// AB$,
$\therefore ∠A=$.
$\therefore ∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D$.
(2)(类比探究)如图 2,当点 G 在线段 EF 延长线上时,请写出$∠AGD$、$∠A$、$∠D$三者之间的数量关系并说明理由.
(3)(应用拓展)如图 3,AH 平分$∠GAB$,DH 交 AH 于点 H,且$∠GDH=2∠HDC,∠HDC=20°,∠H=30°$,求$∠DGA$的度数.

3. 解:(1)平行于同一直线的两条直线互相平行，
∠DGM,两直线平行,内错角相等，
∠AGM.
(2)$∠AGD=∠A-∠D$,理由如下：
如图 2,过点 G 作直线$MN// AB$.则$∠A=∠MGA$,
$\because AB// CD$,
$\therefore MN// CD$,
$\therefore ∠D=∠MGD$,
$\therefore ∠AGD=∠AGM-∠DGM=∠A-∠D$.

(3)如图 3,过点 G 作直线$MN// AB$,过点 H 作直线$PQ// AB$,
$\therefore ∠MGA=∠GAB,∠PHA=∠HAB$.
$\because AB// CD$,
$\therefore MN// CD,PQ// CD$,
$\therefore ∠MGD=∠GDC,∠PHD=∠HDC$,
$\therefore ∠DGA=∠MGA-∠MGD=∠GAB-∠GDC$,
$∠DHA=∠PHA-∠PHD=∠HAB-∠HDC$.
$\because ∠DHA=30°,∠HDC=20°$,
$\therefore ∠HAB=∠DHA+∠HDC=30°+20°=50°$.
$\because AH$ 平分$∠GAB$,
$\therefore ∠GAB=2∠HAB=2×50°=100°$.
$\because ∠GDH=2∠HDC,∠HDC=20°$,
$\therefore ∠GDH=2×20°=40°$,
$\therefore ∠GDC=∠GDH+∠HDC=40°+20°=60°$.
$\because ∠DGA=∠GAB-∠GDC$,
$\therefore ∠DGA=100°-60°=40°$.

【分析】
本题围绕平行线的性质展开，核心方法是通过作平行于AB的辅助线，利用“平行于同一直线的两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”转化分散的角。第(1)问为基础应用，直接填空；第(2)问类比第(1)问推导角的关系；第(3)问需作两条辅助线，结合角平分线定义逐步计算，最终求出目标角。
【解析】
(1) 证明：过点G作直线$MN//AB$，
$\because AB//CD$，
$\therefore MN//CD$（平行于同一直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠D=∠DGM$（两直线平行，内错角相等），
$\because MN//AB$，
$\therefore ∠A=∠AGM$，
$\therefore ∠AGD=∠AGM+∠DGM=∠A+∠D$。
(2) 数量关系：$\boldsymbol{∠AGD=∠A-∠D}$，理由如下：
如图2，过点G作直线$MN//AB$，则$∠A=∠MGA$，
$\because AB//CD$，
$\therefore MN//CD$，
$\therefore ∠D=∠MGD$，
$\therefore ∠AGD=∠AGM-∠DGM=∠A-∠D$。
(3) 如图3，过点G作直线$MN//AB$，过点H作直线$PQ//AB$，
$\therefore ∠MGA=∠GAB$，$∠PHA=∠HAB$，
$\because AB//CD$，
$\therefore MN//CD$，$PQ//CD$，
$\therefore ∠MGD=∠GDC$，$∠PHD=∠HDC$，
$\therefore ∠DGA=∠MGA-∠MGD=∠GAB-∠GDC$，
$∠DHA=∠PHA-∠PHD=∠HAB-∠HDC$。
已知$∠DHA=30°$，$∠HDC=20°$，
$\therefore ∠HAB=∠DHA+∠HDC=30°+20°=50°$，
$\because AH$平分$∠GAB$，
$\therefore ∠GAB=2∠HAB=2×50°=100°$，
又$\because ∠GDH=2∠HDC$，$∠HDC=20°$，
$\therefore ∠GDH=2×20°=40°$，
$\therefore ∠GDC=∠GDH+∠HDC=40°+20°=60°$，
$\therefore ∠DGA=∠GAB-∠GDC=100°-60°=40°$。
【答案】
(1) 平行于同一直线的两条直线互相平行；$∠DGM$；两直线平行，内错角相等；$∠AGM$；
(2) $∠AGD=∠A-∠D$；
(3) $∠DGA=40°$；

【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线性质与角平分线的应用，通过作辅助线转化角，体现了几何中的转化思想，各小问由易到难，逐步考查学生的逻辑推理能力，是典型的中档几何解答题。
【难度系数】
0.5