登录
24. 如图，直线$PQ // MN$，一副三角板（$∠ ABC = ∠ CDE = 90°$，$∠ ACB = ∠ A = 45°$，$∠ DEC = 60°$，$∠ DCE = 30°$）按如图1放置，其中点$E$在直线$PQ$上，点$B,C$均在直线$MN$上，且$CE$平分$∠ ACN$。
(1)求$∠ DEQ$的度数.
(2)如图2，若将$△ ABC$绕点$B$以每秒$5°$的速度按逆时针方向旋转（$A,C$的对应点分别为$F,G$），设旋转时间为$t(\mathrm{s})(0 ≤ t ≤ 18)$.
①在旋转过程中，若边$BG // CD$，求$t$的值.
②如图3，若在$△ ABC$绕点$B$旋转的同时，$△ CDE$绕点$E$以每秒$2°$的速度按顺时针方向旋转（$C,D$的对应点为$H,K$）.当边$FG$与边$HK$互相平行时，请直接写出$t$的值.
(1)求$∠ DEQ$的度数.
(2)如图2，若将$△ ABC$绕点$B$以每秒$5°$的速度按逆时针方向旋转（$A,C$的对应点分别为$F,G$），设旋转时间为$t(\mathrm{s})(0 ≤ t ≤ 18)$.
①在旋转过程中，若边$BG // CD$，求$t$的值.
②如图3，若在$△ ABC$绕点$B$旋转的同时，$△ CDE$绕点$E$以每秒$2°$的速度按顺时针方向旋转（$C,D$的对应点为$H,K$）.当边$FG$与边$HK$互相平行时，请直接写出$t$的值.
答案
24.解:(1)$\because ∠ ACB=45°,$
$\therefore ∠ ACN=135°.$
$\because CE$ 平分 $∠ ACN,$
$\therefore ∠ ECN=67.5°.$
$\because PQ// MN,$
$\therefore ∠ QEC=180°-∠ ECN=180°-67.5°=112.5°.$
$\because ∠ DEC=60°,\therefore ∠ DEQ=∠ QEC-∠ DEC=112.5°-60°=52.5°.$(3分)
(2)①$\because ∠ DCE=30°,$
$\therefore ∠ DCN=67.5°-30°=37.5°.$
$\because BG// CD,$
$\therefore ∠ CBG=∠ DCN,$
$\therefore 5t=37.5°,$
$\therefore t=7.5$秒.(6分)
②$\frac{165}{14}$ 【解析】当 $FG// HK$ 时,延长 $FG$ 至 $L$,延长 $BG$ 交 $HE$ 于点 $I$,交 $PQ$ 于点 $J$,交 $HK$ 于点 $O$,如图所示:
$\therefore ∠ JGL=∠ FGB=45°.$
$\because FG// HK,$
$\therefore ∠ JOK=∠ JGL=45°.$
$\because ∠ EHK=30°,$
$\therefore ∠ HIO=∠ JIE=15°.$
$\because ∠ DEQ=52.5°,$
$\therefore ∠ QEK=52.5°+2t,$
$\therefore ∠ JEI=180°-(52.5°+2t+60°),$
$\therefore ∠ PJB=180°-(52.5°+2t+60°)+15°,$
$\therefore 5t=180°-(52.5°+2t+60°)+15°,$
解得 $t=\frac{165}{14}$秒.(8分)
解析
【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：先利用等腰直角三角板的角度求出∠ACN，结合角平分线定义得到∠ECN，再根据平行线PQ//MN的同旁内角互补求出∠QEC，最后减去直角三角板的∠DEC，即可得到∠DEQ的度数。
2. 第(2)①问：△ABC绕点B逆时针旋转，旋转t秒后∠CBG=5t°，当BG//CD时，根据平行线内错角相等，∠CBG等于∠DCN，先算出∠DCN的度数，进而列方程求出t的值。
3. 第(2)②问：△ABC和△CDE同时旋转，FG与HK平行时，通过作辅助线构造角度关系，利用平行线的性质和旋转后的角度变化，建立关于t的方程，求解得到t的值。
【解析】
(1)
∵ ∠ACB=45°，
∴ ∠ACN=180° - ∠ACB=180° - 45°=135°。
∵ CE平分∠ACN，
∴ ∠ECN=½∠ACN=½×135°=67.5°。
∵ PQ//MN，
∴ ∠QEC + ∠ECN=180°，
∴ ∠QEC=180° - 67.5°=112.5°。
又
∵ ∠DEC=60°，
∴ ∠DEQ=∠QEC - ∠DEC=112.5° - 60°=52.5°。
(2) ①
∵ ∠DCE=30°，
∴ ∠DCN=∠ECN - ∠DCE=67.5° - 30°=37.5°。
∵ BG//CD，
∴ ∠CBG=∠DCN=37.5°。
又
∵ △ABC绕点B逆时针旋转速度为5°/秒，旋转时间为t秒，
∴ ∠CBG=5t°，
∴ 5t=37.5，解得t=7.5。
② 当FG//HK时，延长FG至L，延长BG交HE于点I，交PQ于点J，交HK于点O，如图所示：
∴ ∠JGL=∠FGB=45°。
∵ FG//HK，
∴ ∠JOK=∠JGL=45°。
∵ ∠EHK=30°，
∴ ∠HIO=∠JIE=15°。
∵ ∠DEQ=52.5°，△CDE绕点E顺时针旋转速度为2°/秒，
∴ ∠QEK=52.5° + 2t，
∴ ∠JEI=180° - (∠QEK + ∠DEK)=180° - (52.5° + 2t + 60°)，
∴ ∠PJB=180° - ∠JEI + ∠HIO=180° - [180° - (52.5° + 2t + 60°)] + 15°。
又
∵ ∠PJB=∠CBG=5t°，
∴ 5t=180° - (52.5° + 2t + 60°) + 15°，
解得t=165/14。
【答案】
(1) 52.5°；
(2) ① t=7.5；
② t=165/14；
【知识点】
平行线性质、角平分线、旋转性质
【点评】
本题综合考查平行线性质、角平分线定义及旋转性质，需理清旋转过程中角度变化，结合平行线角度关系建立方程求解，是几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题分为三小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：先利用等腰直角三角板的角度求出∠ACN，结合角平分线定义得到∠ECN，再根据平行线PQ//MN的同旁内角互补求出∠QEC，最后减去直角三角板的∠DEC，即可得到∠DEQ的度数。
2. 第(2)①问：△ABC绕点B逆时针旋转，旋转t秒后∠CBG=5t°，当BG//CD时，根据平行线内错角相等，∠CBG等于∠DCN，先算出∠DCN的度数，进而列方程求出t的值。
3. 第(2)②问：△ABC和△CDE同时旋转，FG与HK平行时，通过作辅助线构造角度关系，利用平行线的性质和旋转后的角度变化，建立关于t的方程，求解得到t的值。
【解析】
(1)
∵ ∠ACB=45°，
∴ ∠ACN=180° - ∠ACB=180° - 45°=135°。
∵ CE平分∠ACN，
∴ ∠ECN=½∠ACN=½×135°=67.5°。
∵ PQ//MN，
∴ ∠QEC + ∠ECN=180°，
∴ ∠QEC=180° - 67.5°=112.5°。
又
∵ ∠DEC=60°，
∴ ∠DEQ=∠QEC - ∠DEC=112.5° - 60°=52.5°。
(2) ①
∵ ∠DCE=30°，
∴ ∠DCN=∠ECN - ∠DCE=67.5° - 30°=37.5°。
∵ BG//CD，
∴ ∠CBG=∠DCN=37.5°。
又
∵ △ABC绕点B逆时针旋转速度为5°/秒，旋转时间为t秒，
∴ ∠CBG=5t°，
∴ 5t=37.5，解得t=7.5。
② 当FG//HK时，延长FG至L，延长BG交HE于点I，交PQ于点J，交HK于点O，如图所示：
∴ ∠JGL=∠FGB=45°。
∵ FG//HK，
∴ ∠JOK=∠JGL=45°。
∵ ∠EHK=30°，
∴ ∠HIO=∠JIE=15°。
∵ ∠DEQ=52.5°，△CDE绕点E顺时针旋转速度为2°/秒，
∴ ∠QEK=52.5° + 2t，
∴ ∠JEI=180° - (∠QEK + ∠DEK)=180° - (52.5° + 2t + 60°)，
∴ ∠PJB=180° - ∠JEI + ∠HIO=180° - [180° - (52.5° + 2t + 60°)] + 15°。
又
∵ ∠PJB=∠CBG=5t°，
∴ 5t=180° - (52.5° + 2t + 60°) + 15°，
解得t=165/14。
【答案】
(1) 52.5°；
(2) ① t=7.5；
② t=165/14；
【知识点】
平行线性质、角平分线、旋转性质
【点评】
本题综合考查平行线性质、角平分线定义及旋转性质，需理清旋转过程中角度变化，结合平行线角度关系建立方程求解，是几何综合题，难度适中。
【难度系数】
0.5
