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24. 预备知识:“三角形三个内角和等于$180°$”,这个知识在小学的学习中经常用到.
如图,三角形$ABC$中,过点$A$作$DE // BC$,由两直线平行,内错角相等,得:$∠ C = ∠ 3$,$∠ B = ∠ 1$,$\because ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$,$\therefore ∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$,$\therefore$三角形三个内角和等于$180°$.(说明:以下题目若有用到此结论,可以直接用)
探究:如图,点$E$、$F$分别在直线$AB$、$CD$上,且$AB // CD$,点$P$为$AB$、$CD$之间一点,连接$EP$,过点$P$作$PG // EF$,交$CD$于点$G$.
(1)如图1,若$∠ AEF = 55°$,则$∠ DGP =$
(2)如图2,若$EF$平分$∠ AEP$,延长$EP$交直线$CD$于点$M$,点$H$为射线$MD$上一点,连结$PH$.
①若$∠ DHP - ∠ PEF = 100°$,求$∠ HPG$的度数.
②如图3,$HQ$平分$∠ PHC$,交$PG$于点$Q$,若$∠ HPE = α°$,直接写出$∠ HQP$的度数为
如图,三角形$ABC$中,过点$A$作$DE // BC$,由两直线平行,内错角相等,得:$∠ C = ∠ 3$,$∠ B = ∠ 1$,$\because ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$,$\therefore ∠ B + ∠ C + ∠ BAC = 180°$,$\therefore$三角形三个内角和等于$180°$.(说明:以下题目若有用到此结论,可以直接用)
探究:如图,点$E$、$F$分别在直线$AB$、$CD$上,且$AB // CD$,点$P$为$AB$、$CD$之间一点,连接$EP$,过点$P$作$PG // EF$,交$CD$于点$G$.
(1)如图1,若$∠ AEF = 55°$,则$∠ DGP =$
55°
.(2)如图2,若$EF$平分$∠ AEP$,延长$EP$交直线$CD$于点$M$,点$H$为射线$MD$上一点,连结$PH$.
①若$∠ DHP - ∠ PEF = 100°$,求$∠ HPG$的度数.
②如图3,$HQ$平分$∠ PHC$,交$PG$于点$Q$,若$∠ HPE = α°$,直接写出$∠ HQP$的度数为
$\dfrac{1}{2}α°$
(结果用含$α$的式子表示).答案
24. 解:(1)$55°.$(2分)
(2)
①设$∠AEF=x,∠DHP=y$，
$\because EF$平分$∠AEP$，$\therefore ∠MEF=∠AEF=x.$
又$\because AB// CD,PG// EF$，
$\therefore ∠MFE=∠AEF=x,∠MPG=∠MEF=x$，
$\therefore ∠HME=∠MEF+∠MFE=x+x=2x$，
$\therefore ∠MPH=∠DHP-∠HME=y-2x.$
又$\because ∠DHP-∠PEF=100°$，即$y-x=100°$，
$\therefore ∠HPG=∠MPH+∠MPG=y-2x+x=y-x=100°.$(5分)
②$∠HQP=\dfrac{1}{2}α°.$(8分)
【解析】设$∠AEF=∠MEF=x,∠GHQ=∠PHQ=y$，
$\because AB// CD,PG// EF$，
$\therefore ∠AEF=∠MFE=∠HGP=x$，
$\therefore ∠HQP=∠HGP+∠GHQ=x+y.$
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠AEM=∠HME=2x$，
$\therefore ∠HPE=∠HME+∠GHP=2x+2y=α°$，
$\therefore x+y=\dfrac{1}{2}α°$，
$\therefore ∠HQP=\dfrac{1}{2}α°.$
故填:$\dfrac{1}{2}α°.$
解析
【分析】
本题围绕平行线的性质、角平分线的定义展开，解题思路为：(1)利用平行线的内错角相等，直接推导角的等量关系求∠DGP；(2)通过设未知数表示相关角，结合角平分线定义、平行线性质，转化角的关系求解①，再推导∠HQP与∠HPE的关系得到②的结果。
【解析】
(1) 因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠AEF = ∠EFG = 55°。又PG//EF，同理得∠DGP = ∠EFG，故∠DGP = 55°。
(2) ① 设∠AEF = x，∠DHP = y。
∵EF平分∠AEP，
∴∠MEF = ∠AEF = x。
∵AB//CD，PG//EF，
∴∠MFE = ∠AEF = x，∠MPG = ∠MEF = x。
∠HME是△MEF的外角，故∠HME = ∠MEF + ∠MFE = 2x。
∠MPH = ∠DHP - ∠HME = y - 2x，
∴∠HPG = ∠MPH + ∠MPG = (y - 2x) + x = y - x。
已知∠DHP - ∠PEF = 100°，即y - x = 100°，故∠HPG = 100°。
② 设∠AEF = ∠MEF = x，∠GHQ = ∠PHQ = y。
∵AB//CD，PG//EF，
∴∠HGP = ∠AEF = x，故∠HQP = ∠HGP + ∠GHQ = x + y。
∵AB//CD，
∴∠HME = ∠AEM = 2x，∠PHC = 2y，
∴∠HPE = ∠HME + ∠GHP = 2x + 2y = α°，即x + y = $\dfrac{1}{2}α°$，
故∠HQP = $\dfrac{1}{2}α°$。
【答案】
(1) $55°$；(2) ① $100°$；② $\dfrac{1}{2}α°$
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质
【点评】
本题重点考查平行线性质与角平分线的综合应用，通过设未知数转化角的等量关系是解题核心，需学生熟练运用平行线推导角的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题围绕平行线的性质、角平分线的定义展开，解题思路为：(1)利用平行线的内错角相等，直接推导角的等量关系求∠DGP；(2)通过设未知数表示相关角，结合角平分线定义、平行线性质，转化角的关系求解①，再推导∠HQP与∠HPE的关系得到②的结果。
【解析】
(1) 因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠AEF = ∠EFG = 55°。又PG//EF，同理得∠DGP = ∠EFG，故∠DGP = 55°。
(2) ① 设∠AEF = x，∠DHP = y。
∵EF平分∠AEP，
∴∠MEF = ∠AEF = x。
∵AB//CD，PG//EF，
∴∠MFE = ∠AEF = x，∠MPG = ∠MEF = x。
∠HME是△MEF的外角，故∠HME = ∠MEF + ∠MFE = 2x。
∠MPH = ∠DHP - ∠HME = y - 2x，
∴∠HPG = ∠MPH + ∠MPG = (y - 2x) + x = y - x。
已知∠DHP - ∠PEF = 100°，即y - x = 100°，故∠HPG = 100°。
② 设∠AEF = ∠MEF = x，∠GHQ = ∠PHQ = y。
∵AB//CD，PG//EF，
∴∠HGP = ∠AEF = x，故∠HQP = ∠HGP + ∠GHQ = x + y。
∵AB//CD，
∴∠HME = ∠AEM = 2x，∠PHC = 2y，
∴∠HPE = ∠HME + ∠GHP = 2x + 2y = α°，即x + y = $\dfrac{1}{2}α°$，
故∠HQP = $\dfrac{1}{2}α°$。
【答案】
(1) $55°$；(2) ① $100°$；② $\dfrac{1}{2}α°$
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质
【点评】
本题重点考查平行线性质与角平分线的综合应用，通过设未知数转化角的等量关系是解题核心，需学生熟练运用平行线推导角的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
