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18. 因式分解：
(1)$8a^{2}b - 4a$.
(2)$(a + b)^{2} + 6a + 6b + 9$.
(1)$8a^{2}b - 4a$.
(2)$(a + b)^{2} + 6a + 6b + 9$.
答案
18.(1)解:$8a^2b-4a$
$=4a(2ab-1)$.(4分)
(2)解:$(a+b)^2+6a+6b+9$
$=(a+b)^2+6(a+b)+9$(2分)
$=(a+b+3)^2$.(4分)
$=4a(2ab-1)$.(4分)
(2)解:$(a+b)^2+6a+6b+9$
$=(a+b)^2+6(a+b)+9$(2分)
$=(a+b+3)^2$.(4分)
解析
【分析】
第(1)题是两项式的因式分解，先观察两项的公因式，确定公因式后用提公因式法分解；第(2)题的多项式中，6a+6b可变形为6(a+b)，将(a+b)看作整体后，式子符合完全平方公式的结构，用公式法分解。
【解析】
(1) 多项式$8a^2b - 4a$的两项公因式为$4a$，提取公因式得：
$8a^2b - 4a = 4a(2ab - 1)$
(2) 先将$6a + 6b$变形为$6(a + b)$，原式变为：
$(a + b)^2 + 6(a + b) + 9$
把$(a + b)$看作整体，符合完全平方公式$x^2 + 2xy + y^2=(x+y)^2$（其中$x=a+b$，$y=3$），分解得：
$(a + b + 3)^2$
【答案】
(1) $4a(2ab - 1)$；(2) $(a + b + 3)^2$
【知识点】
因式分解（提公因式法）、因式分解（公式法）
【点评】
本题为基础因式分解题，分别考查提公因式法和整体思想结合完全平方公式的应用，解题关键是准确提取公因式，以及对多项式进行合理变形后运用公式，是初中因式分解的核心基础题型。
【难度系数】
0.6
第(1)题是两项式的因式分解，先观察两项的公因式，确定公因式后用提公因式法分解；第(2)题的多项式中，6a+6b可变形为6(a+b)，将(a+b)看作整体后，式子符合完全平方公式的结构，用公式法分解。
【解析】
(1) 多项式$8a^2b - 4a$的两项公因式为$4a$，提取公因式得：
$8a^2b - 4a = 4a(2ab - 1)$
(2) 先将$6a + 6b$变形为$6(a + b)$，原式变为：
$(a + b)^2 + 6(a + b) + 9$
把$(a + b)$看作整体，符合完全平方公式$x^2 + 2xy + y^2=(x+y)^2$（其中$x=a+b$，$y=3$），分解得：
$(a + b + 3)^2$
【答案】
(1) $4a(2ab - 1)$；(2) $(a + b + 3)^2$
【知识点】
因式分解（提公因式法）、因式分解（公式法）
【点评】
本题为基础因式分解题，分别考查提公因式法和整体思想结合完全平方公式的应用，解题关键是准确提取公因式，以及对多项式进行合理变形后运用公式，是初中因式分解的核心基础题型。
【难度系数】
0.6
19. 解方程(组)：
(1)$\begin{cases} x + y = 5, \\ 2x - y = 1. \end{cases}$
(2)$\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{-2x}{1 - x}.$
(1)$\begin{cases} x + y = 5, \\ 2x - y = 1. \end{cases}$
(2)$\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{-2x}{1 - x}.$
答案
19.(1)解$\begin{cases} x+y=5,① \\ 2x-y=1.② \end{cases}$
①+②,得$3x=6$,(1分)
解得$x=2$.(2分)
把$x=2$代入①,得$y=3$.(3分)
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=3. \end{cases}$(4分)
(2)解:$\frac{x+1}{x-1}-1=\frac{-2x}{1-x}$,
去分母,得$(x+1)-(x-1)=2x$,(2分)
去括号,得$x+1-x+1=2x$,
合并同类项,得$2x=2$,
两边都除以2,得$x=1$.(3分)
经检验,$x=1$是增根.
$\therefore$原分式方程无解.(4分)
①+②,得$3x=6$,(1分)
解得$x=2$.(2分)
把$x=2$代入①,得$y=3$.(3分)
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=3. \end{cases}$(4分)
(2)解:$\frac{x+1}{x-1}-1=\frac{-2x}{1-x}$,
去分母,得$(x+1)-(x-1)=2x$,(2分)
去括号,得$x+1-x+1=2x$,
合并同类项,得$2x=2$,
两边都除以2,得$x=1$.(3分)
经检验,$x=1$是增根.
$\therefore$原分式方程无解.(4分)
解析
【分析】第(1)题是二元一次方程组，两个方程中y的系数互为相反数，适合用加减消元法，将两式相加消去y，先求出x的值，再代入原方程求出y的值；第(2)题是分式方程，分母1-x与x-1互为相反数，先转化分母，去分母化为整式方程求解，最后必须检验解是否使分母为0，判断是否为增根。
【解析】(1)解方程组$\begin{cases} x + y = 5,① \\ 2x - y = 1.② \end{cases}$
①+②，得$3x = 6$，
解得$x = 2$，
把$x = 2$代入①，得$2 + y = 5$，解得$y = 3$，
∴原方程组的解为$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$。
(2)解分式方程$\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{-2x}{1 - x}$，
将方程变形为$\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{2x}{x - 1}$，
去分母（两边同乘$x - 1$，$x≠1$），得$x + 1 = 2x$，
移项、合并同类项得$x = 1$，
经检验，$x = 1$时，分母$x - 1 = 0$，是增根，
∴原分式方程无解。
【答案】(1)$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$；(2)无解。
【知识点】二元一次方程组的解法、分式方程的解法、增根的检验。
【点评】本题为基础解方程题型，分别考察加减消元法解二元一次方程组和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验增根，这是易错点。
【难度系数】0.7
【解析】(1)解方程组$\begin{cases} x + y = 5,① \\ 2x - y = 1.② \end{cases}$
①+②，得$3x = 6$，
解得$x = 2$，
把$x = 2$代入①，得$2 + y = 5$，解得$y = 3$，
∴原方程组的解为$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$。
(2)解分式方程$\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{-2x}{1 - x}$，
将方程变形为$\dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{2x}{x - 1}$，
去分母（两边同乘$x - 1$，$x≠1$），得$x + 1 = 2x$，
移项、合并同类项得$x = 1$，
经检验，$x = 1$时，分母$x - 1 = 0$，是增根，
∴原分式方程无解。
【答案】(1)$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$；(2)无解。
【知识点】二元一次方程组的解法、分式方程的解法、增根的检验。
【点评】本题为基础解方程题型，分别考察加减消元法解二元一次方程组和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验增根，这是易错点。
【难度系数】0.7
20. 先化简,再求值:$\frac{12m}{m^2 - 9} - \frac{6}{m + 3}$,其中$m = 2$.
小文的部分解答过程如下:
请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.
小文的部分解答过程如下:
请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.
答案
20.解:最早出现错误步骤的序号是①.(2分)
原式$=\frac{12m}{(m+3)(m-3)}-\frac{6(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{12m-6m+18}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6m+18}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6}{m-3}$.(5分)
当$m=2$时,原式$=\frac{6}{m-3}=\frac{6}{2-3}=-6$.(8分)
原式$=\frac{12m}{(m+3)(m-3)}-\frac{6(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{12m-6m+18}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6m+18}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6}{m-3}$.(5分)
当$m=2$时,原式$=\frac{6}{m-3}=\frac{6}{2-3}=-6$.(8分)
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确分式化简求值的正确步骤：分式减法需先通分，找到最简公分母后对各分式变形，再合并化简，最后代入求值。观察小文的步骤，其最早错误出现在通分环节，未正确对第二个分式变形，导致后续结果错误。
【解析】
最早出现错误步骤的序号是①。
正确解答过程：
原式$=\frac{12m}{(m+3)(m-3)} - \frac{6(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{12m - 6(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{12m -6m +18}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6m +18}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6}{m-3}$
当$m=2$时，原式$=\frac{6}{2-3}=-6$。
【答案】
最早错误步骤序号是①；当$m=2$时，原式的值为$-6$。
【知识点】
分式通分、分式化简求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，关键是掌握通分规则：分式的分子分母需同乘同一个不为0的整式，小文的错误是通分时误将第二个分式的分母乘了$(m+3)(m-3)$，而非仅乘$(m-3)$，属于通分变形错误，需注意通分的准确性。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需先明确分式化简求值的正确步骤：分式减法需先通分，找到最简公分母后对各分式变形，再合并化简，最后代入求值。观察小文的步骤，其最早错误出现在通分环节，未正确对第二个分式变形，导致后续结果错误。
【解析】
最早出现错误步骤的序号是①。
正确解答过程：
原式$=\frac{12m}{(m+3)(m-3)} - \frac{6(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{12m - 6(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{12m -6m +18}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6m +18}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{6}{m-3}$
当$m=2$时，原式$=\frac{6}{2-3}=-6$。
【答案】
最早错误步骤序号是①；当$m=2$时，原式的值为$-6$。
【知识点】
分式通分、分式化简求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，关键是掌握通分规则：分式的分子分母需同乘同一个不为0的整式，小文的错误是通分时误将第二个分式的分母乘了$(m+3)(m-3)$，而非仅乘$(m-3)$，属于通分变形错误，需注意通分的准确性。
【难度系数】
0.5
