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11. 已知方程 $5x + y = 10$，请用关于 $x$ 的代数式表示 $y$，则 $y=\_\_\_\_\_\_$。
答案
11.$10-5x$
解析
【分析】要想用关于x的代数式表示y，需将方程中的y单独分离，通过移项操作把含x的项移到等号另一侧，即可得到y的表达式。
【解析】已知方程$5x + y = 10$，将$5x$移到等号右边，移项时符号改变，因此$y = 10 - 5x$。
【答案】10-5x
【知识点】二元一次方程的变形、用代数式表示未知数
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，考查移项的基本操作，属于代数入门的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】已知方程$5x + y = 10$，将$5x$移到等号右边，移项时符号改变，因此$y = 10 - 5x$。
【答案】10-5x
【知识点】二元一次方程的变形、用代数式表示未知数
【点评】本题是二元一次方程的基础变形题，考查移项的基本操作，属于代数入门的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.9
12. 若某组数据的频率是0.3，样本容量是120，则这组数据的频数是
36
.答案
12.36
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确频数、频率、样本容量三者的关系：频率=频数÷样本容量，已知频率和样本容量，将公式变形为“频数=频率×样本容量”，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据频数、频率与样本容量的关系：频数 = 频率 × 样本容量，将题目中给出的频率0.3、样本容量120代入公式，计算得：0.3×120 = 36。
【答案】
36
【知识点】
频数与频率
【点评】
本题考查频数、频率、样本容量的基本关系，属于基础概念题，只需牢记核心公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需明确频数、频率、样本容量三者的关系：频率=频数÷样本容量，已知频率和样本容量，将公式变形为“频数=频率×样本容量”，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据频数、频率与样本容量的关系：频数 = 频率 × 样本容量，将题目中给出的频率0.3、样本容量120代入公式，计算得：0.3×120 = 36。
【答案】
36
【知识点】
频数与频率
【点评】
本题考查频数、频率、样本容量的基本关系，属于基础概念题，只需牢记核心公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
13. 已知$\dfrac{x}{y}=3$，则分式$\dfrac{x-y}{x+y}$的值为________.
答案
13.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】已知两个变量的比值，求分式的值，可通过比例关系将一个变量用另一个变量表示，再代入分式化简，约去公共变量后得到结果。具体思路：由$\frac{x}{y}=3$得$x=3y$，将其代入所求分式，分子分母均含$y$（$y≠0$），约去$y$后计算结果。
【解析】因为$\frac{x}{y}=3$，所以$x=3y$（$y≠0$，否则原分式无意义）。将$x=3y$代入$\frac{x-y}{x+y}$，得：
$\frac{3y - y}{3y + y} = \frac{2y}{4y} = \frac{1}{2}$（$y≠0$，约去$y$）。
【答案】$\frac{1}{2}$
【知识点】分式的化简求值、比例的性质
【点评】本题为基础题型，考查利用比例关系替换变量求解分式的值，解题关键是将已知比例转化为变量关系，代入后约去公共字母简化计算，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】因为$\frac{x}{y}=3$，所以$x=3y$（$y≠0$，否则原分式无意义）。将$x=3y$代入$\frac{x-y}{x+y}$，得：
$\frac{3y - y}{3y + y} = \frac{2y}{4y} = \frac{1}{2}$（$y≠0$，约去$y$）。
【答案】$\frac{1}{2}$
【知识点】分式的化简求值、比例的性质
【点评】本题为基础题型，考查利用比例关系替换变量求解分式的值，解题关键是将已知比例转化为变量关系，代入后约去公共字母简化计算，难度较低。
【难度系数】0.8
14. 如图为《天工开物》记载用于舂（chōng）捣谷物的工具“碓（duì）”的平面结构示意图，AB与水平线$ l $相交于点$ O $，$ AB ⊥ CD $于点$ B $，$ CF ⊥ l $于点$ F $，$ OE ⊥ l $。若$ ∠ BOE = 60° $，则$ ∠ BCF $的大小为
150
度。答案
14.150
解析
【分析】
要计算∠BCF的度数，需先利用垂直的性质求出OB与水平线l的夹角，再结合四边形内角和定理推导结果。首先根据OE⊥l和∠BOE=60°算出∠BOF，再结合CF⊥l、AB⊥CD得到两个直角，最后利用四边形内角和为360°计算∠BCF。
【解析】
1. 因为OE⊥l，根据垂直的定义，得∠EOF=90°。
2. 已知∠BOE=60°，所以∠BOF=∠EOF - ∠BOE=90° - 60°=30°。
3. 由CF⊥l，得∠CFB=90°；又AB⊥CD，得∠OBC=90°。
4. 在四边形CFBO中，根据四边形内角和为360°，则：
∠BCF = 360° - ∠CFB - ∠OBC - ∠BOF = 360° - 90° - 90° - 30° = 150°。
【答案】
150
【知识点】
垂直的性质，四边形内角和
【点评】
本题结合实际工具结构考查几何角度计算，核心是利用垂直的性质和四边形内角和定理，需找准各角的位置关系，难度适中。
【难度系数】
0.3
要计算∠BCF的度数，需先利用垂直的性质求出OB与水平线l的夹角，再结合四边形内角和定理推导结果。首先根据OE⊥l和∠BOE=60°算出∠BOF，再结合CF⊥l、AB⊥CD得到两个直角，最后利用四边形内角和为360°计算∠BCF。
【解析】
1. 因为OE⊥l，根据垂直的定义，得∠EOF=90°。
2. 已知∠BOE=60°，所以∠BOF=∠EOF - ∠BOE=90° - 60°=30°。
3. 由CF⊥l，得∠CFB=90°；又AB⊥CD，得∠OBC=90°。
4. 在四边形CFBO中，根据四边形内角和为360°，则：
∠BCF = 360° - ∠CFB - ∠OBC - ∠BOF = 360° - 90° - 90° - 30° = 150°。
【答案】
150
【知识点】
垂直的性质，四边形内角和
【点评】
本题结合实际工具结构考查几何角度计算，核心是利用垂直的性质和四边形内角和定理，需找准各角的位置关系，难度适中。
【难度系数】
0.3
15. 贴福字是春节传统习俗.小明准备裁剪一张长方形彩纸(如图 1),为一幅边长为 $a$ 的正方形福字作品四周镶边(如图 2),镶边要求正方形的四周边宽都为 $b$.已知长方形彩纸的一边长为 $2b$,且裁剪镶边均不浪费、无重叠(接缝处忽略不计).则长方形彩纸的另一边长为 ______.
(用含 $a$ ,$b$ 的代数式表示)
(用含 $a$ ,$b$ 的代数式表示)
答案
15.$2a+2b$
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确长方形彩纸的面积等于镶边部分的面积（裁剪无浪费）。首先计算镶边部分的面积：镶边后形成的大正方形边长为福字边长加两侧边宽，再结合长方形面积公式，用镶边面积除以已知边长，即可求出长方形彩纸的另一边长。
【解析】
1. 计算镶边部分的面积：
镶边后大正方形的边长为 $ a + 2b $（福字边长 $ a $，左右各加边宽 $ b $，上下各加边宽 $ b $），其面积为 $ (a + 2b)^2 $；福字面积为 $ a^2 $，因此镶边面积为：
$(a + 2b)^2 - a^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 = 4ab + 4b^2$
2. 求长方形彩纸的另一边长：
已知长方形彩纸的一边长为 $ 2b $，设另一边长为 $ x $，根据长方形面积公式 $ S = 长 × 宽 $，得：
$2b · x = 4ab + 4b^2$
两边同时除以 $ 2b $，化简得：
$x = \frac{4ab + 4b^2}{2b} = 2a + 2b$
【答案】
$ 2a + 2b $
【知识点】
整式运算、代数式应用
【点评】
本题结合镶边的实际场景，考查整式的化简与代数式的应用，核心是理清“彩纸面积=镶边面积”的关系，计算时需注意因式分解和约分的运用，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需明确长方形彩纸的面积等于镶边部分的面积（裁剪无浪费）。首先计算镶边部分的面积：镶边后形成的大正方形边长为福字边长加两侧边宽，再结合长方形面积公式，用镶边面积除以已知边长，即可求出长方形彩纸的另一边长。
【解析】
1. 计算镶边部分的面积：
镶边后大正方形的边长为 $ a + 2b $（福字边长 $ a $，左右各加边宽 $ b $，上下各加边宽 $ b $），其面积为 $ (a + 2b)^2 $；福字面积为 $ a^2 $，因此镶边面积为：
$(a + 2b)^2 - a^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 = 4ab + 4b^2$
2. 求长方形彩纸的另一边长：
已知长方形彩纸的一边长为 $ 2b $，设另一边长为 $ x $，根据长方形面积公式 $ S = 长 × 宽 $，得：
$2b · x = 4ab + 4b^2$
两边同时除以 $ 2b $，化简得：
$x = \frac{4ab + 4b^2}{2b} = 2a + 2b$
【答案】
$ 2a + 2b $
【知识点】
整式运算、代数式应用
【点评】
本题结合镶边的实际场景，考查整式的化简与代数式的应用，核心是理清“彩纸面积=镶边面积”的关系，计算时需注意因式分解和约分的运用，难度适中。
【难度系数】
0.5
16. 已知 m,n 均为正整数，且$ M = m^2 + 9 $，$ N = (n + 1)^2 + 100 $。若 M = N ，则 mn 的值为___________ 。
答案
16.20或2024
【解析】$\because M=N$，
$\therefore m^2+9=(n+1)^2+100$，
$\therefore m^2-(n+1)^2=100-9=91$，
$\therefore [m+(n+1)][m-(n+1)]=91$。
$\because 91$的正整数因数对为:$1×91$和$7×13$，
$\therefore \begin{cases} m-(n+1)=1, \\ m+(n+1)=91 \end{cases}$或$\begin{cases} m-(n+1)=7, \\ m+(n+1)=13. \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=46, \\ n=44 \end{cases}$或$\begin{cases} m=10, \\ n=2. \end{cases}$
综上所述，$mn=46×44=2024$或$mn=10×2=20$，
故填:20或2024。
【解析】$\because M=N$，
$\therefore m^2+9=(n+1)^2+100$，
$\therefore m^2-(n+1)^2=100-9=91$，
$\therefore [m+(n+1)][m-(n+1)]=91$。
$\because 91$的正整数因数对为:$1×91$和$7×13$，
$\therefore \begin{cases} m-(n+1)=1, \\ m+(n+1)=91 \end{cases}$或$\begin{cases} m-(n+1)=7, \\ m+(n+1)=13. \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=46, \\ n=44 \end{cases}$或$\begin{cases} m=10, \\ n=2. \end{cases}$
综上所述，$mn=46×44=2024$或$mn=10×2=20$，
故填:20或2024。
解析
【分析】
首先根据M=N的条件列出等式，通过移项将等式变形为平方差的形式，利用平方差公式分解因式；由于m、n是正整数，分解后的两个因式均为正整数，且它们的乘积为91，因此找出91的所有正整数因数对，结合两个因式的大小关系（m+(n+1) ＞ m-(n+1)）列出二元一次方程组，求解得到m、n的值，最后计算mn即可得到结果。
【解析】
∵ M = N，
∴ m² + 9 = (n + 1)² + 100，
移项得：m² - (n + 1)² = 100 - 9 = 91，
根据平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，可得：
[m + (n + 1)][m - (n + 1)] = 91。
∵ m、n均为正整数，
∴ m + (n + 1)和m - (n + 1)都是正整数，且m + (n + 1) ＞ m - (n + 1)，91的正整数因数对为(1,91)和(7,13)，因此分两种情况：
情况1：
$\begin{cases} m - (n + 1) = 1 \\ m + (n + 1) = 91 \end{cases}$
两式相加得：2m = 92 → m = 46，代入得n + 1 = 91 - 46 = 45 → n = 44；
情况2：
$\begin{cases} m - (n + 1) =7 \\ m + (n +1)=13 \end{cases}$
两式相加得：2m=20 → m=10，代入得n +1=13 -10=3 →n=2；
计算mn：
当m=10，n=2时，mn=10×2=20；
当m=46，n=44时，mn=46×44=2024；
综上，mn的值为20或2024。
【答案】
20或2024
【知识点】
平方差公式，二元一次方程组，正整数因数分解
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，以及利用正整数的性质求解二元一次方程组，解题关键是将等式变形为平方差形式后，结合正整数的因数分解找出所有可能的因数对，避免漏解，难度适中，需要学生掌握因式分解和方程组的解法。
【难度系数】
0.5
首先根据M=N的条件列出等式，通过移项将等式变形为平方差的形式，利用平方差公式分解因式；由于m、n是正整数，分解后的两个因式均为正整数，且它们的乘积为91，因此找出91的所有正整数因数对，结合两个因式的大小关系（m+(n+1) ＞ m-(n+1)）列出二元一次方程组，求解得到m、n的值，最后计算mn即可得到结果。
【解析】
∵ M = N，
∴ m² + 9 = (n + 1)² + 100，
移项得：m² - (n + 1)² = 100 - 9 = 91，
根据平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，可得：
[m + (n + 1)][m - (n + 1)] = 91。
∵ m、n均为正整数，
∴ m + (n + 1)和m - (n + 1)都是正整数，且m + (n + 1) ＞ m - (n + 1)，91的正整数因数对为(1,91)和(7,13)，因此分两种情况：
情况1：
$\begin{cases} m - (n + 1) = 1 \\ m + (n + 1) = 91 \end{cases}$
两式相加得：2m = 92 → m = 46，代入得n + 1 = 91 - 46 = 45 → n = 44；
情况2：
$\begin{cases} m - (n + 1) =7 \\ m + (n +1)=13 \end{cases}$
两式相加得：2m=20 → m=10，代入得n +1=13 -10=3 →n=2；
计算mn：
当m=10，n=2时，mn=10×2=20；
当m=46，n=44时，mn=46×44=2024；
综上，mn的值为20或2024。
【答案】
20或2024
【知识点】
平方差公式，二元一次方程组，正整数因数分解
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用，以及利用正整数的性质求解二元一次方程组，解题关键是将等式变形为平方差形式后，结合正整数的因数分解找出所有可能的因数对，避免漏解，难度适中，需要学生掌握因式分解和方程组的解法。
【难度系数】
0.5
三、解答题(第 17~21 题各8分,第22、23题各10分,第24题12分,共72分)
17. 计算:
(1)$(\sqrt{3}-1)^0 + (\frac{1}{2})^{-1} + (-1)^{2025}$.
(2)$(4a^2b - 2a) ÷ a$.
17. 计算:
(1)$(\sqrt{3}-1)^0 + (\frac{1}{2})^{-1} + (-1)^{2025}$.
(2)$(4a^2b - 2a) ÷ a$.
答案
17.(1)解:原式$=1+2+(-1)$(3分)
$=2$.(4分)
(2)解:原式$=4ab-2$.(4分)
$=2$.(4分)
(2)解:原式$=4ab-2$.(4分)
解析
【分析】第(1)小题需分别运用零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算法则计算各项，再求和；第(2)小题利用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果。
【解析】(1)根据零指数幂的运算法则：非零数的0次幂为1，得$(\sqrt{3}-1)^0=1$；根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\frac{1}{2})^{-1}=2$；根据-1的奇数次幂为-1，得$(-1)^{2025}=-1$。因此原式$=1+2+(-1)=2$。
(2)根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式：$(4a^2b - 2a)÷a = 4a^2b÷a - 2a÷a = 4ab - 2$。
【答案】(1)2；(2)$4ab - 2$
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、多项式除以单项式
【点评】本题为代数基础计算题，考查幂运算与整式除法的基本法则，题型简单，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】0.8
【解析】(1)根据零指数幂的运算法则：非零数的0次幂为1，得$(\sqrt{3}-1)^0=1$；根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\frac{1}{2})^{-1}=2$；根据-1的奇数次幂为-1，得$(-1)^{2025}=-1$。因此原式$=1+2+(-1)=2$。
(2)根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式：$(4a^2b - 2a)÷a = 4a^2b÷a - 2a÷a = 4ab - 2$。
【答案】(1)2；(2)$4ab - 2$
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、多项式除以单项式
【点评】本题为代数基础计算题，考查幂运算与整式除法的基本法则，题型简单，侧重基础知识点的应用。
【难度系数】0.8
